全等三角形證明之二次全等學(xué)案

全等三角形證明之二次全等學(xué)案知識(shí)梳理1.遇到與角有關(guān)的計(jì)算和證明時(shí)，常見的思考角度：由平行想到同位角；內(nèi)錯(cuò)角；同旁內(nèi)角；由垂直想到直角三角形兩銳角互余；同角或等角的余角相等；由外角想到三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和例1：已知：如圖，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，且BD=CE，BE交CD于點(diǎn)O．求證：AO平分∠BAC．【思路分析】讀題標(biāo)注：梳理思路：要證AO平分∠BAC，則需證明∠DAO=∠EAO．要證∠DAO=∠EAO，則需證明△AOD≌△AOE．要證△AOD≌△AOE，需找三組條件，其中必須有一組邊．分析發(fā)現(xiàn)，AO=AO，∠ADO=∠AEO=90°，已經(jīng)有了兩組條件，還需要一組條件．從已知條件出發(fā)，發(fā)現(xiàn)BD=CE，∠BDO=∠CEO=90°，又因?yàn)椤?=∠2，可證明△BOD≌△COE．由△BOD≌△COE，可為上面的全等準(zhǔn)備一組條件OD=OE．至此，在△AOD和△AOE中三組條件找全，利用HL可以證明全等，從而得出結(jié)論．【過程書寫】證明：如圖∵CD⊥AB，BE⊥AC∴∠ADO=∠AEO=∠BDO=∠CEO=90°在△BOD和△COE中∴△BOD≌△COE（AAS）∴OD=OE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在Rt△AOD和Rt△AOE中∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL）∴∠DAO=∠EAO（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）∴AO平分∠BAC練習(xí)題已連接AN交CM于點(diǎn)E，連接BM交CN于點(diǎn)F．求證：①△CAN≌△CMB；②△CEN≌△CFB．已知：如圖，在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠ABC=∠BAD=90°，E，F(xiàn)分別為CD，BC邊上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)G，使BG=DE，連接EF，AG．求證：①△ADE≌△ABG；②EF=DE+BF．已知：如圖，∠A=∠D=90°，AC，BD相交于點(diǎn)E，BE=CE．求證：△ABC≌△DCB．已知：如圖，點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在同一直線上，AE=CF，過點(diǎn)E，F(xiàn)分別作ED⊥AC于點(diǎn)E，F(xiàn)B⊥AC于點(diǎn)F，連接AB，CD，BD，BD交AC于點(diǎn)G，AB=CD．求證：△DEG≌△BFG．已知：如圖，AB=AC，BD=CD，AD與BC相交于點(diǎn)O．求證：AD⊥BC．已知：如圖，在Rt△ABE和Rt△ACF中，∠E=∠F=90°，BE=CF．BE與AC相交于點(diǎn)M，與CF相交于點(diǎn)D，AB與CF相交于點(diǎn)N，∠EAC=∠FAB．求證：AM=AN．已知：如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E．試猜想AB和AC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．已知：如圖，△ABC是等邊三角形，AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC邊上，∠EDF=60°，BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°，∠BDC=120°，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)G，使CG=BE．求證：①△EBD≌△GCD；②△EFD≌△GFD．已知：如圖，AB=AC，BD=CD，E是線段AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．求證：△ABE≌△ACE．已知：如圖，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BC，CE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AB于點(diǎn)F．求證：CE=DF．已知：如圖，點(diǎn)C，D在線段BE上，BD=EC，CA⊥AB于點(diǎn)A，DF⊥EF于點(diǎn)F，且AB=EF．求證：CF=DA．已知：如圖，在△PBC中，D為PB上一點(diǎn)，PD=PC，延長(zhǎng)PC到點(diǎn)A，使得PA=PB，連接AD，交BC于點(diǎn)O，連接PO．求證：OD=OC．【參考答案】證明：如圖，①∵∠ACM=∠BCN=60°∴∠MCN=60°∴∠ACN=∠MCB=120°在△CAN和△CMB中，∴△CAN≌△CMB（SAS）②∵△CAN≌△CMB∴∠ANC=∠MBC（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）∵∠ECN=60°；∠FCB=60°∴∠ECN=∠FCB在△CEN和△CFB中，∴△CEN≌△CFB（ASA）證明：如圖，①∵∠D=∠ABC=90°∴∠ABG=90°∴∠D=∠ABG在△ADE和△ABG中，∴△ADE≌△ABG（SAS）②∵△ADE≌△ABG（已證）∴AE=AG（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∠EAD∠GAB（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）∵∠EAF45°；∠BAD=90°∴∠BAF+∠EAD=45°∴∠BAF+∠GAB=45°即∠GAF=∠45°∴∠GAF=∠EAF在△AFE和△AFG中，∴△AFE≌△AFG（SAS）∴EF=GF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵GF=BG+BF∴EF=DE+BF證明：如圖，在△AEB和△DEC中，∴△AEB≌△DEC（AAS）∴AB=DC（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在Rt△ABC和Rt△DCB中，∴△ABC≌△DCB（HL）證明：如圖，∵AECF∴AE+EFCF+EF即AF=CE∵DE⊥AC；BF⊥AC∴∠AFB=∠CED=90°在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）∴BF=DE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在△DEG和△BFG中，∴△DEG≌△BFG（AAS）證明：如圖，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠BAD=∠CAD（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）在△BAO和△CAO中，∴△BAO≌△CAO（SAS）∴∠AOB=∠AOC（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）∵∠AOB+∠AOC=180°∴∠AOB=90°∴AD⊥BC證明：如圖，∵∠EAC=∠FAB∴∠EAC+∠BAC=∠FAB+∠BAC即∠BAE=∠CAF在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF（AAS）∴AE=AF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在△AEM和△AFN中；∴△AEM≌△AFN（ASA）∴AM=AN（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）AB=AC，理由如下：證明：如圖，∵DF⊥AB；DE⊥AC∴∠AFD=∠AED=∠BFD=∠CED=90°∵AD平分∠BAC∴∠FAD=∠EAD在△AFD和△AED中；∴△AFD≌△AED（AAS）∴DF=DE，AF=AE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)∴BD=CD在Rt△BFD和Rt△CED中∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL）∴BF=CE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∴AF+BF=AE+CE即AB=AC證明：如圖，①∵∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°∴∠DBE=∠ABC+∠DBC=90°∠DCG=180°∠ACB∠DCB=90°∴∠DBE=∠DCG在△EBD和△GCD中，∴△EBD≌△GCD（SAS）②∵△EBD≌△GCD（已證）∴DE=DG（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∠EDB=∠GDC（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）∵∠BDC=120°，∠EDF=60°∴∠EDB+∠CDF=60°∴∠GDC+∠CDF=60°即∠GDF=60°∴∠EDF=∠GDF在△EFD和△GFD中，∴△EFD≌△GFD（SAS）證明：如圖，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠BAD=∠CAD（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）在△ABE和△ACE中，∴△ABE≌△ACE（SAS）證明：如圖，在Rt△ACB和Rt△BDA中，∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL）∴AC=BD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∠CAB=∠DBA（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）∵CE⊥AB，DF⊥AB∴∠CEA=∠DFB=90°在△ACE和△BDF中，∴△ACE≌△BDF（AAS）∴CE=DF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）證明：如圖，∵CA⊥AB，DF⊥EF∴∠CAB=∠DFE=90°∵BD=EC∴BD+DC=EC+DC即BC=ED在Rt△ABC和Rt△FED中，∴Rt△ABC≌Rt△FED（HL）∴∠B=∠E（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）在△ABD和