專題01兩個(gè)計(jì)數(shù)原理（原卷版）

/07/7/專題01兩個(gè)計(jì)數(shù)原理復(fù)習(xí)概念復(fù)習(xí)技巧復(fù)習(xí)鞏固考點(diǎn)一：分類加法計(jì)數(shù)原理考點(diǎn)二：分步乘法計(jì)數(shù)原理考點(diǎn)三：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用考點(diǎn)四：抽取(分配)問題考點(diǎn)五：組數(shù)問題考點(diǎn)六：涂色與種植問題提升難點(diǎn)一：有約束條件的文化素養(yǎng)綜合問題難點(diǎn)二：復(fù)雜的種植問題難點(diǎn)三：含邏輯推理的分類分步計(jì)數(shù)原理難點(diǎn)四：高斯圓內(nèi)整點(diǎn)問題難點(diǎn)五：與其他知識(shí)綜合問題難點(diǎn)六：空間幾何體涂色問題小測(cè)單選：共6題多選：共2題填空：共2題解答：共3題一、復(fù)習(xí)【概念復(fù)習(xí)】一般地，有如下分類加法計(jì)數(shù)原理：(1)完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法.(2)推廣：如果完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，……，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法.一般地，有如下分步乘法計(jì)數(shù)原理：(1)完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法.(2)推廣：完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，則完成這件事共有N＝m1·m2·…·mn種不同的方法.分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題.區(qū)別在于：(1)分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事.(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問題，各個(gè)步驟中的方法相互依存，只有每一個(gè)步驟都完成才算做完這件事.【技巧復(fù)習(xí)】1.分類時(shí)，首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下分類，要做到分類“不重不漏”.2.利用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)時(shí)的解題步驟.（1）分類：將完成這件事的方法分成若干類（2）計(jì)數(shù)：求出每一類的方法數(shù)（3）結(jié)論：將每一類的方法數(shù)相加得出結(jié)果3.應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理時(shí)，完成這件事情要分幾個(gè)步驟，只有每個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事情，每個(gè)步驟缺一不可.利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路.(1)分步：將完成這件事的過程分成若干步；(2)計(jì)數(shù)：求出每一步中的方法數(shù)；(3)結(jié)論：將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果.4.在處理具體的應(yīng)用題時(shí)，首先必須弄清是“分類”還是“分步”，其次要搞清“分類”或“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么，選擇合理的標(biāo)準(zhǔn)處理事件，關(guān)鍵是看能否獨(dú)立完成這件事，避免計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏.5.對(duì)于一些比較復(fù)雜的既要運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理又要運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理的問題，我們可以恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，使問題更加直觀、清晰.二、鞏固【考點(diǎn)一】分類加法計(jì)數(shù)原理【典例】如圖，電路中共有3個(gè)電阻與1個(gè)燈泡，若燈泡不亮，則因電阻斷路的情況共有________種?！咀兪健吭O(shè)a，b，c∈{1,2,3,4}，若以a，b，c為三條邊的長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，則這樣的三角形有________個(gè)?！究键c(diǎn)二】分步乘法計(jì)數(shù)原理【典例】將3封不同的信投到4個(gè)不同的郵箱,則不同的投法種數(shù)為 ()A.7 B.12 C.81 D.64【變式】某市汽車牌照號(hào)碼可以上網(wǎng)自編,但規(guī)定從左到右第二個(gè)號(hào)碼只能從字母B,C,D中選擇,其他四個(gè)號(hào)碼可以從0~9這十個(gè)數(shù)字中選擇(數(shù)字可以重復(fù)),某車主第一個(gè)號(hào)碼(從左到右)只想在數(shù)字3、5、6、8、9中選擇,其他號(hào)碼只想在1、3、6、9中選擇,則他的車牌號(hào)碼可選的所有可能情況有 ()A.180種 B.360種C.720種 D.960種【考點(diǎn)三】?jī)蓚€(gè)計(jì)數(shù)原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用【典例】現(xiàn)有5幅不同的國(guó)畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫．(1)從中任選一幅畫布置房間，有幾種不同的選法？(2)從這些國(guó)畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有幾種不同的選法？(3)從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有幾種不同的選法？【變式】集合A＝{1,2，－3}，B＝{－1，－2,3,4}，從A，B中各取1個(gè)元素，作為點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)．(1)可以得到多少個(gè)不同的點(diǎn)？(2)這些點(diǎn)中，位于第一象限的有幾個(gè)？【考點(diǎn)四】抽取(分配)問題【典例】高三年級(jí)的三個(gè)班到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，其中工廠甲必須有班級(jí)去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有()A．16種 B．18種C．37種 D．48種【變式】一體育老師把9個(gè)相同的足球放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)箱子中，要求每個(gè)箱子放球的個(gè)數(shù)不少于其編號(hào)，則不同的放球方法有()A.10種 B.9種C.8種 D.6種【考點(diǎn)五】組數(shù)問題【典例】用0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字,(1)可以排出多少個(gè)三位數(shù)字的電話號(hào)碼?(2)可以排成多少個(gè)三位數(shù)?(3)可以排成多少個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?【變式】從1到200這200個(gè)自然數(shù)中,各個(gè)數(shù)位上都不含數(shù)字8的共有多少個(gè)?【考點(diǎn)六】涂色與種植問題【典例】如圖，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有________種．【變式】從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，則有________種不同的種植方法.三、提升【難點(diǎn)一】有約束條件的文化素養(yǎng)綜合問題【典例】古代“五行”學(xué)說認(rèn)為：物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金。將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列，則屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰的排法共有________種?！倦y點(diǎn)二】復(fù)雜的種植問題【典例】將3種作物全部種植在如圖所示的5塊試驗(yàn)田中,每塊種植一種作物,且相鄰的試驗(yàn)田不能種同一種作物,則不同的種植方法共有________種.?【難點(diǎn)三】含邏輯推理的分類分步計(jì)數(shù)原理【典例】甲、乙、丙、丁和戊5名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)能力比賽，決出第一到第五名的名次(無并列名次)。甲、乙兩名同學(xué)去詢問成績(jī)，老師說：“雖然你們都不是第一名，但你們也都不是最后一名?！睆纳鲜龌卮鸱治?，5人的名次不同的情況有()A．36種 B．48種C．18種 D．54種【難點(diǎn)四】高斯圓內(nèi)整點(diǎn)問題【典例】數(shù)學(xué)家高斯曾經(jīng)研究過這樣一個(gè)問題：在一個(gè)給定半徑的圓內(nèi)有多少個(gè)坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)？這在后來被稱為“高斯圓內(nèi)整點(diǎn)問題”．我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)于1963年在《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》上發(fā)表《圓內(nèi)整點(diǎn)問題》而受到華羅庚賞識(shí)被調(diào)到中科院．設(shè)圓x2＋y2＝5，則圓內(nèi)(包括圓上)整點(diǎn)有多少個(gè)？【難點(diǎn)五】與其他知識(shí)綜合問題【典例】已知集合A＝{－1,2,3,4}，m，n∈A，則對(duì)于方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的說法正確的是()A．可表示3個(gè)不同的圓B．可表示6個(gè)不同的橢圓C．可表示3個(gè)不同的雙曲線D．表示焦點(diǎn)位于x軸上的橢圓有3個(gè)【難點(diǎn)六】空間幾何體涂色問題【典例】如圖所示，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個(gè)端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同染色方法的總數(shù)為________.四、小測(cè)一、【單選】1.某同學(xué)從4本不同的科普雜志，3本不同的文摘雜志，2本不同的娛樂新聞雜志中任選一本閱讀，則不同的選法共有()A．24種 B．9種C．3種 D．26種2.圖書館的書架有3層，第1層有3本不同的數(shù)學(xué)書，第2層有5本不同的語文書，第3層有8本不同的英語書，現(xiàn)從中任取1本書，則不同的取法共有()A．120種 B．16種C．64種 D．39種3.從集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)a＋bi，其中虛數(shù)有()A．30個(gè) B．42個(gè)C．36個(gè) D．35個(gè)4.某城市的電話號(hào)碼由七位升為八位(首位數(shù)字均不為零)，則該城市可增加的電話部數(shù)是()A．9×8×7×6×5×4×3×2B．8×97C．9×107D．8.1×1075.有6種不同的顏色，給圖中的6個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有()A．4320種 B．2880種C．1440種 D．720種6.中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，三位同學(xué)按甲、乙、丙的順序依次選一個(gè)作為禮物，如果讓三位同學(xué)選取的禮物都滿意，那么不同的選法有()A．360種 B．50種C．60種 D．90種二、【多選】7.用0,1,2,3,4這五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位自然數(shù)，如果十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字都小，則稱這個(gè)數(shù)為“凹數(shù)”，如301,423等都是“凹數(shù)”，則下列結(jié)論中正確的是()A．組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為60B．在組成的三位數(shù)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為30C．在組成的三位數(shù)中，“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)為20D．在組成的三位數(shù)中，“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)為308.已知函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，其中a，b，c∈{0，1，2，3，4}，則不同的二次函數(shù)的個(gè)數(shù)可以用式子表示為()A.4×5×5 B.5×5×5C.4×4＋4×4＋4×4×4＋4 D.5×4×3三、【填空】9.若三角形的三邊長(zhǎng)均為正整數(shù)，其中一邊長(zhǎng)為4，另外兩邊長(zhǎng)分別為b，c，且滿足b≤4≤c，則這樣的三角形有________個(gè).10.古人用天干、地支來表示年、月、日、時(shí)的次序.用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成__________組.四、【解答】11.用0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的(1)密碼箱的四位密碼；(2)比2000大的四位偶數(shù)。12.某校學(xué)生會(huì)由高一年