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.../課程設(shè)計(jì)任務(wù)書學(xué)生姓名:韓新穎專業(yè)班級(jí):電信1203班指導(dǎo)教師:闕大順王虹工作單位:信息工程學(xué)院題目:序列的卷積和快速卷積運(yùn)算的編程實(shí)現(xiàn)初始條件:Matlab6.5以上版本軟件;課程設(shè)計(jì)輔導(dǎo)資料:"Matlab語言基礎(chǔ)及使用入門"、"數(shù)字信號(hào)處理原理與實(shí)現(xiàn)"、"Matlab及在電子信息課程中的應(yīng)用"等;先修課程:信號(hào)與系統(tǒng)、數(shù)字信號(hào)處理、Matlab應(yīng)用實(shí)踐及信號(hào)處理類課程等。要求完成的主要任務(wù):〔包括課程設(shè)計(jì)工作量及其技術(shù)要求,以及說明書撰寫等具體要求課程設(shè)計(jì)時(shí)間:1周〔課內(nèi)實(shí)踐;課程設(shè)計(jì)內(nèi)容:序列的卷積和快速卷積運(yùn)算的編程實(shí)現(xiàn),具體包括:直接卷積及應(yīng)用、快速卷積方法及實(shí)現(xiàn)、兩者的比較分析等;本課程設(shè)計(jì)統(tǒng)一技術(shù)要求:研讀輔導(dǎo)資料對(duì)應(yīng)章節(jié),對(duì)選定的設(shè)計(jì)題目進(jìn)行理論分析,針對(duì)具體設(shè)計(jì)部分的原理分析、建模、必要的推導(dǎo)和可行性分析,畫出程序設(shè)計(jì)框圖,編寫程序代碼〔含注釋,上機(jī)調(diào)試運(yùn)行程序,記錄實(shí)驗(yàn)結(jié)果〔含計(jì)算結(jié)果和圖表,并對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析和總結(jié);課程設(shè)計(jì)說明書按學(xué)校"課程設(shè)計(jì)工作規(guī)范"中的"統(tǒng)一書寫格式"撰寫,具體包括:目錄;與設(shè)計(jì)題目相關(guān)的理論分析、歸納和總結(jié);與設(shè)計(jì)內(nèi)容相關(guān)的原理分析、建模、推導(dǎo)、可行性分析;程序設(shè)計(jì)框圖、程序代碼〔含注釋、程序運(yùn)行結(jié)果和圖表、實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析和總結(jié);課程設(shè)計(jì)的心得體會(huì)〔至少500字;參考文獻(xiàn);其它必要內(nèi)容等。指導(dǎo)教師簽名:年月日系主任〔或責(zé)任教師簽名:年月日摘要卷積在數(shù)字信號(hào)處理中有著重要的作用。然而直接計(jì)算卷積的運(yùn)算量非常大,它與序列長(zhǎng)度的平方成反比,因此制約了卷積的應(yīng)用??焖倬矸e是實(shí)現(xiàn)卷積的一種快速算法,減少了運(yùn)算量,節(jié)約了時(shí)間。通過分析我們可在MATLAB里編程實(shí)現(xiàn)。關(guān)鍵詞:卷積;快速卷積;MATLAB。目錄1、直接卷積及應(yīng)用11.1卷積的定義11.2、卷積的運(yùn)用12、快速卷積方法及實(shí)現(xiàn)22.1快速卷積運(yùn)算原理22.2實(shí)現(xiàn)方法3重疊相加法3重疊保留法33、直接卷積和快速卷積的分析比較44、程序設(shè)計(jì)及仿真結(jié)果分析45、心得體會(huì)116、參考文獻(xiàn)121、直接卷積及應(yīng)用1.1卷積的定義設(shè):f<x>,g<x>是R1上的兩個(gè)可積函數(shù),作積分:可以證明,關(guān)于幾乎所有的實(shí)數(shù)x,上述積分是存在的。這樣,隨著x的不同取值,這個(gè)積分就定義了一個(gè)新函數(shù)h<x>,稱為函數(shù)f與g的卷積,記為h<x>=<f*g><x>。1.2、卷積的運(yùn)用卷積是數(shù)字信號(hào)處理中最常見,也是最重要的運(yùn)算之一,利用卷積可以實(shí)現(xiàn)相關(guān)計(jì)算和FIR濾波等等,正因?yàn)榫矸e如此重要,所以半個(gè)世紀(jì)以來,學(xué)者們提出了多種不同卷積實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)。設(shè)輸入信號(hào)為x〔t,其頻譜函數(shù)為X〔jΩ該信號(hào)通過濾波器h〔t后,其輸出信號(hào)y〔t的頻譜函數(shù)Y〔jΩ是頻譜函數(shù)x〔jΩ與濾波器的頻譜函數(shù)H〔jΩ的乘積,即:Y〔jΩ=X〔jΩH〔jΩ而在時(shí)域,輸出信號(hào)y<t>實(shí)際是輸入信號(hào)x<t>與濾波器h<t>的卷積,就是說頻譜函數(shù)的乘積相當(dāng)于時(shí)間函數(shù)的卷積,反之亦然,即:y<t>=x<t>*h<t>在數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)中,無論在時(shí)域還是頻域都離不開卷積運(yùn)算和快速傅里葉運(yùn)算,Matlab具有強(qiáng)大的矩陣運(yùn)算能力。方便實(shí)用的繪圖功能和語言的高度集成性。在DSP開發(fā)中,使用Matlab可以快速對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真運(yùn)算。2、快速卷積方法及實(shí)現(xiàn)2.1快速卷積運(yùn)算原理在信號(hào)處理中,許多具體的應(yīng)用是以線性卷積為基礎(chǔ)的。當(dāng)滿足一定條件時(shí),可以用圓周卷積來計(jì)算線性卷積。由圓周卷積定理知道,圓周卷積可以借助DFT來運(yùn)算,因此DFT的快速算法FFT就可以用來計(jì)算線性卷積。設(shè)x1〔n與x2〔n分別是長(zhǎng)度為N與M的有限長(zhǎng)序列,它們的線性卷積為yl〔n,L點(diǎn)的圓周卷積為yc〔n,它們的關(guān)系為yc〔n=∑yl<n+rL>Rl<n>由上式可知圓周卷積是線性卷積以L為周期進(jìn)行延拓后,再取主值序列的結(jié)果。當(dāng)滿足L>M+N-1時(shí),周期延拓不發(fā)生混疊,就可以用圓周卷積來計(jì)算線性卷積。由圓周卷積定義可知,可以用FFT分別求出x1〔n與x2〔n的L點(diǎn)DFTX1〔k與X2〔k,即X1〔k=DFT[x1<n],X2〔k=DFT[x2<n>],再用IFFT計(jì)算X1<kX2<k>的L點(diǎn)IDFT得yc〔n,也就是x1〔n與x2〔n的線性卷積為yl<n>,即yl<n>=yc<n>=IDFT[X1<k>·X2〔k]下圖為上述過程的示意圖L點(diǎn)的FFTx1<n>L點(diǎn)的FFTL點(diǎn)的IFFTyc<n=yl<n>L點(diǎn)的IFFTL點(diǎn)的FFTx2<n>L點(diǎn)的FFT2.2實(shí)現(xiàn)方法在實(shí)際應(yīng)用中,常遇到的問題是參加卷積的兩個(gè)序列的長(zhǎng)度相差較大,這樣長(zhǎng)度小的序列就需補(bǔ)很多的零點(diǎn),這樣就需要大的存儲(chǔ)量,運(yùn)算時(shí)間也會(huì)變長(zhǎng)。常用的解決方法有兩種,一是重疊相加法,另一種是重疊保留法。重疊相加法設(shè)序列x1〔n為無限長(zhǎng)序列,序列x2〔n是長(zhǎng)度為M的序列,由x1<n>構(gòu)成長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列x1k<n>=x1<n>,kN<n<<k+1>N-1=0其他〔式2.1因此x1k<n>=∑x1k<n>〔式2.2將式子代入卷積公式有Y<n>=x1<n>*x2<n>=x2<n>*∑x1k<n>=∑x1k<n>*x2<n>=∑yk<n>〔式2.3式中,yk<n>=x2<n>*xk<n>=∑x2<m>xk<n-m>〔式2.4式〔2.3表示,計(jì)算x1<n>與x2〔n的線性卷積y<n>時(shí),可以先分段計(jì)算yk<n>,然后再疊加起來即可。因?yàn)閥k<n>的長(zhǎng)度為M+N-1,因此yk〔n的后N-1個(gè)值與yk+1<n>的前N-1個(gè)值重疊,因此必須把yk<n>的后N-1個(gè)值與yk+1〔n前的N-1個(gè)值相加,因?yàn)榉Q為重疊相加法。重疊保留法為了克服重疊相加法中分段卷積后任然需要相加的缺點(diǎn),人們提出了重疊保留法。與重疊相加法不同的是,在對(duì)無限長(zhǎng)序列x1<n>的后M-1個(gè)抽樣值與后一段xk+1<n>的前M-1個(gè)抽樣值相同,且分段的長(zhǎng)度選圓周卷積的長(zhǎng)度L,這樣形成的分段序列為然后計(jì)算x2〔n與各分段x1k<n>之間的卷積:Yk’=x2<n>*x1k<n>顯然,yk’<n>的前M-1個(gè)值發(fā)生了混疊,不等于x2<n>與x1k<n>的線性卷積。把yk’<n>的前M-1個(gè)值舍去,保留yk’<n>沒有發(fā)生混疊的后N個(gè)值,形成序列X1k=x<n+kN-M+1>,0<n<L-1=0其他最后輸出序列y<n>=∑yk<n-kN+M-1>3、直接卷積和快速卷積的分析比較卷積是數(shù)字信號(hào)處理中最常見的,也是最重要的運(yùn)算之一。利用卷積可以實(shí)現(xiàn)相關(guān)計(jì)算和FIR濾波等等,正因?yàn)榫矸e如此重要,所以半個(gè)世紀(jì)以來,學(xué)者們提出了多種不同卷積實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu),這些結(jié)構(gòu)各有優(yōu)點(diǎn),針對(duì)不同應(yīng)用可以靈活選擇,而其中快速卷積無疑是重要的卷積方法之一。顧名思義,快速卷積重點(diǎn)在一個(gè)"快",如果對(duì)卷積速度要求較高,快速卷積無疑是理想的工具。當(dāng)然,為了提高速度,就要犧牲面積和功耗4、程序設(shè)計(jì)及仿真結(jié)果分析1、已知線性非移變系統(tǒng)的h<n>=[6,2,3,6,4,2],輸入為x<n>=[1,2,3,4,5];<1>用人工計(jì)算系統(tǒng)輸出y<n>;<2>編寫程序輸出y<n>,并作圖。人工計(jì)算:長(zhǎng)度為m的向量序列h和長(zhǎng)度為n的向量序列x,卷積w的向量序列長(zhǎng)度為〔m+n-1,當(dāng)不等于n時(shí),應(yīng)以0補(bǔ)齊階次低的向量的高位后進(jìn)行計(jì)算y<1>=h<1>*x<1>y<2>=h<1>*x<2>+h<2>*x<1>...y<n>=h<1>*x<n>+h<2>*x<n-1>+...+h<n>*x<1>...y<m+n-1>=h<1>*x<m+n-1>+h<2>*x<m+n-2>+...+h<m+n-1>*x<1>那么根據(jù)這個(gè)規(guī)律人工計(jì)算的結(jié)果為y<n>=[6,14,25,36,63,50,55,52,28,10]用matlab仿真編程程序如下:h=[6,2,3,6,4,2];x=[1,2,3,4,5];y=conv<h,x>;stem<y>結(jié)果如圖4.1所示:圖4.1由圖4.1和自己求出的y<n>函數(shù)相比較可以得到,用matlab編寫程序得出的系統(tǒng)輸出函數(shù)與自己人工計(jì)算的結(jié)果相同。2、用函數(shù)conv和FFT計(jì)算長(zhǎng)為1000序列的卷積,比較其計(jì)算時(shí)間。在matlab實(shí)現(xiàn)卷積的.函數(shù)為CONV,對(duì)于N值較小的向量,這是十分有效的對(duì)于N大的向量卷積可用FFT加快計(jì)算速度。若DFT和IDFT均采用FFT和IDFT法,可提高卷積速度。計(jì)算x1<n>和x2<n>的線性卷積的FFT算法可由下面步驟實(shí)現(xiàn):1、計(jì)算X1<k>=FFT[x1<n>];2、計(jì)算X2<k>=FFT[x2<n>];3、Y<k>=X1<k>·X2<k>;4、計(jì)算x1<n>×x2<n>=IFFT[Y<k>]在本題目中計(jì)算的兩個(gè)函數(shù)分別是x1<n>=2*10^n,x2<n>=cos<n^3>。用Matlab編寫的程序如下:L=1000;N=L*2-1;n=1:L;x1=2*<n.^10>;x2=cos<n.^3>;t0=clock;yc=conv<x1,x2>;conv_time=etime<clock,t0>N=pow2<nextpow2<L*2-1>>;t0=clock;yf=ifft<fft<x1,N>.*fft<x2,N>>;fft_time=etime<clock,t0>subplot<221>,stem<x1,'.'>;ylabel<'x<n>'>;subplot<222>,stem<x2,'.'>;ylabel<'h<n>'>;subplot<212>,stem<real<yc>,'.'>;ylabel<'y<n>'>;在Matlab中編程以及得出的完成程序所需的時(shí)間如圖4.2:圖4.2輸出結(jié)果如圖4.3:圖4.3該題要求的是對(duì)用函數(shù)conv和FFT計(jì)算1000點(diǎn)的序列卷積所需的時(shí)間進(jìn)行對(duì)比,通過圖4.2可知,用函數(shù)conv計(jì)算該卷積需要0.0100s,而用FFT計(jì)算該卷積需要0s,由此可以得出:FFT算法所消耗的時(shí)間遠(yuǎn)小于函數(shù)conv要消耗的時(shí)間。3、用快速卷積法計(jì)算和兩個(gè)序列的卷積;并測(cè)試直接卷積和快速卷積的時(shí)間。利用快速卷積原理求兩個(gè)函數(shù)的卷積可以用題目二中所用的方法〔先分別對(duì)兩個(gè)函數(shù)求傅里葉變換得到X<k>與H<k>,再兩個(gè)函數(shù)傅里葉變換的點(diǎn)乘的結(jié)果y<k>,最后直接對(duì)y<k>求傅里葉反變換得到y(tǒng)<n>快速卷積,得到所要求的結(jié)果。因?yàn)樵谶@次題目中與兩個(gè)函數(shù)中M與N沒有給出,所以就分別取M=50,N=30和M=1500,N=1100分別求該題目所說并得到結(jié)果:所用的程序以及輸出結(jié)果分別如下圖所示:〔1M=50,N=30的情況:圖4.4圖4.5〔2M=1500,N=1100的情況:圖4.6圖4.7題目3要求計(jì)算兩序列的卷積,比較直接卷積和快速卷積的時(shí)間對(duì)比由上圖的結(jié)果可知,當(dāng)說算積分的點(diǎn)數(shù)比較少時(shí),快速卷積并不占有優(yōu)勢(shì),反而快速卷積所用時(shí)間多于正常的卷積conv函數(shù)。只有當(dāng)積分的點(diǎn)數(shù)比較多時(shí)才會(huì)有快速卷積所用時(shí)間少于普通卷積的conv函數(shù)。5、心得體會(huì)在得到這次課設(shè)題目以后,我就開始準(zhǔn)備資料了,先是上網(wǎng)查閱基本資料,做一個(gè)大概的了解,然后發(fā)現(xiàn)此次題目卷積和快速卷積在課本上能找到相關(guān)的內(nèi)容,就再在書上進(jìn)行尋找,發(fā)現(xiàn)了書上有介紹快速卷積的方法就進(jìn)行閱讀并學(xué)習(xí),在做好準(zhǔn)備后就開始進(jìn)行課設(shè)的三個(gè)題目了,第一題很好解答很快也完成了,感覺信心倍增,但是在做第二題時(shí),‘’符號(hào)打入Matlab中老是不符合規(guī)范,進(jìn)行了多次改進(jìn)也沒辦
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