2023版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十一章概率11.3幾何概型教師用書文新人教版

PAGEPAGE152022版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十一章概率11.3幾何概型教師用書文新人教版1．幾何概型如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，那么稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型．2．幾何概型中，事件A的概率的計(jì)算公式P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長度面積或體積,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度面積或體積).3．幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)根本特點(diǎn)(1)無限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性．4．隨機(jī)模擬方法(1)使用計(jì)算機(jī)或者其他方式進(jìn)行的模擬試驗(yàn)，以便通過這個(gè)試驗(yàn)求出隨機(jī)事件的概率的近似值的方法就是模擬方法．(2)用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器模擬試驗(yàn)的方法為隨機(jī)模擬方法．這個(gè)方法的根本步驟是①用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生某個(gè)范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，并賦予每個(gè)隨機(jī)數(shù)一定的意義；②統(tǒng)計(jì)代表某意義的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)M和總的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)N；③計(jì)算頻率fn(A)＝eq\f(M,N)作為所求概率的近似值．【思考辨析】判斷以下結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊台暬颉啊哩?(1)在一個(gè)正方形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)的概率是零．(√)(2)幾何概型中，每一個(gè)根本領(lǐng)件就是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的時(shí)機(jī)相等．(√)(3)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形．(√)(4)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率．(√)(5)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān)．(×)(6)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，取到1的概率是P＝eq\f(1,9).(×)1．(教材改編)在線段[0,3]上任投一點(diǎn)，那么此點(diǎn)坐標(biāo)小于1的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D．1答案B解析坐標(biāo)小于1的區(qū)間為[0,1]，長度為1，[0,3]區(qū)間長度為3，故所求概率為eq\f(1,3).2．(2022·山東)在區(qū)間[0,2]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，那么事件“－1≤≤1〞發(fā)生的概率為()A.eq\f(3,4)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,4)答案A解析由－1≤≤1，得eq\f(1,2)≤x＋eq\f(1,2)≤2，∴0≤x≤eq\f(3,2).∴由幾何概型的概率計(jì)算公式得所求概率P＝eq\f(\f(3,2)－0,2－0)＝eq\f(3,4).3．(教材改編)有四個(gè)游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，假設(shè)小球落在陰影局部，那么可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)時(shí)機(jī)，應(yīng)選擇的游戲盤是()答案A解析∵P(A)＝eq\f(3,8)，P(B)＝eq\f(2,8)，P(C)＝eq\f(2,6)，P(D)＝eq\f(1,3)，∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．4．(2022·濟(jì)南月考)一個(gè)長方體空屋子，長，寬，高分別為5米，4米，3米，地面三個(gè)角上各裝有一個(gè)捕蠅器(大小忽略不計(jì))，可捕捉距其一米空間內(nèi)的蒼蠅，假設(shè)一只蒼蠅從位于另外一角處的門口飛入，并在房間內(nèi)盤旋，那么蒼蠅被捕捉的概率是()A.eq\f(π,180)B.eq\f(π,150)C.eq\f(π,120)D.eq\f(π,90)答案C解析屋子的體積為5×4×3＝60(立方米)，捕蠅器能捕捉到的空間體積為eq\f(1,8)×eq\f(4,3)π×13×3＝eq\f(π,2)(立方米)．故蒼蠅被捕捉的概率是eq\f(\f(π,2),60)＝eq\f(π,120).5.假設(shè)將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如下圖的長方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，那么質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是________．答案eq\f(π,4)解析設(shè)質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)為事件A，那么P(A)＝eq\f(陰影面積,長方形面積)＝eq\f(\f(1,2)π·12,1×2)＝eq\f(π,4).題型一與長度、角度有關(guān)的幾何概型例1(1)(2022·全國甲卷)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒．假設(shè)一名行人來到該路口遇到紅燈，那么至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A.eq\f(7,10)B.eq\f(5,8)C.eq\f(3,8)D.eq\f(3,10)(2)(2022·太原調(diào)研)在區(qū)間[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，那么cosx的值介于0到eq\f(1,2)之間的概率為________．答案(1)B(2)eq\f(1,3)解析(1)至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為eq\f(40－15,40)＝eq\f(5,8)，應(yīng)選B.(2)當(dāng)－eq\f(π,2)≤x≤eq\f(π,2)時(shí)，由0≤cosx≤eq\f(1,2)，得－eq\f(π,2)≤x≤－eq\f(π,3)或eq\f(π,3)≤x≤eq\f(π,2)，根據(jù)幾何概型概率公式得所求概率為eq\f(1,3).(3)如下圖，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝eq\r(3)，在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，求BM<1的概率．解因?yàn)椤螧＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°.在Rt△ABD中，AD＝eq\r(3)，∠B＝60°，所以BD＝eq\f(AD,tan60°)＝1，∠BAD＝30°.記事件N為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，使BM<1〞，那么可得∠BAM<∠BAD時(shí)事件N發(fā)生．由幾何概型的概率公式，得P(N)＝eq\f(30°,75°)＝eq\f(2,5).引申探究1．本例(2)中，假設(shè)將“cosx的值介于0到eq\f(1,2)〞改為“cosx的值介于0到eq\f(\r(3),2)〞，那么概率如何？解當(dāng)－eq\f(π,2)≤x≤eq\f(π,2)時(shí)，由0≤cosx≤eq\f(\r(3),2)，得－eq\f(π,2)≤x≤－eq\f(π,6)或eq\f(π,6)≤x≤eq\f(π,2)，根據(jù)幾何概型概率公式得所求概率為eq\f(2,3).2．本例(3)中，假設(shè)將“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M〞改為“在線段BC上找一點(diǎn)M〞，求BM<1的概率．解依題意知BC＝BD＋DC＝1＋eq\r(3)，P(BM<1)＝eq\f(1,1＋\r(3))＝eq\f(\r(3)－1,2).思維升華求解與長度、角度有關(guān)的幾何概型的方法求與長度(角度)有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長度(角度)，然后求解．要特別注意“長度型〞與“角度型〞的不同．解題的關(guān)鍵是構(gòu)建事件的區(qū)域(長度或角度)．(1)(2022·全國乙卷)某公司的班車在7：00，8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，那么他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)(2)集合A＝{x|－1<x<5}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,3－x)>0))))，在集合A中任取一個(gè)元素x，那么事件“x∈(A∩B)〞的概率是________．答案(1)B(2)eq\f(1,6)解析(1)如下圖，畫出時(shí)間軸．小明到達(dá)的時(shí)間會隨機(jī)的落在圖中線段AB中，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段AC或DB時(shí)，才能保證他等車的時(shí)間不超過10分鐘，根據(jù)幾何概型得所求概率P＝eq\f(10＋10,40)＝eq\f(1,2)，應(yīng)選B.(2)由題意得A＝{x|－1<x<5}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2<x<3))))，故A∩B＝{x|2<x<3}．由幾何概型知，在集合A中任取一個(gè)元素x，那么x∈(A∩B)的概率為P＝eq\f(1,6).題型二與面積有關(guān)的幾何概型命題點(diǎn)1與平面圖形面積有關(guān)的問題例2(2022·全國甲卷)從區(qū)間[0,1]隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個(gè)，那么用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為()A.eq\f(4n,m)B.eq\f(2n,m)C.eq\f(4m,n)D.eq\f(2m,n)答案C解析由題意得(xi，yi)(i＝1,2，…，n)在如下圖方格中，而平方和小于1的點(diǎn)均在如下圖的陰影中，由幾何概型概率計(jì)算公式知eq\f(\f(π,4),1)＝eq\f(m,n)，∴π＝eq\f(4m,n)，應(yīng)選C.命題點(diǎn)2與線性規(guī)劃知識交匯命題的問題例3(2022·武漢模擬)由不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y≥0，,y－x－2≤0))確定的平面區(qū)域記為Ω1，由不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤1，,x＋y≥－2))確定的平面區(qū)域記為Ω2，假設(shè)在Ω1中隨機(jī)取一點(diǎn)，那么該點(diǎn)恰好在Ω2內(nèi)的概率為________．答案eq\f(7,8)解析如圖，平面區(qū)域Ω1就是三角形區(qū)域OAB，平面區(qū)域Ω2與平面區(qū)域Ω1的重疊局部就是區(qū)域OACD，易知C(－eq\f(1,2)，eq\f(3,2))，故由幾何概型的概率公式，得所求概率P＝eq\f(S四邊形OACD,S△OAB)＝eq\f(2－\f(1,4),2)＝eq\f(7,8).思維升華求解與面積有關(guān)的幾何概型的注意點(diǎn)求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解．(1)(2022·昌平模擬)設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋2≥0，,x≤4，,y≥－2))表示的平面區(qū)域?yàn)镈.在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，那么此點(diǎn)到直線y＋2＝0的距離大于2的概率是()A.eq\f(4,13)B.eq\f(5,13)C.eq\f(8,25)D.eq\f(9,25)(2)(2022·福建)如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x＜0))的圖象上．假設(shè)在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，那么此點(diǎn)取自陰影局部的概率等于()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,8)D.eq\f(1,2)答案(1)D(2)B解析(1)作出平面區(qū)域D，可知平面區(qū)域D是以A(4,3)，B(4，－2)，C(－6，－2)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域．當(dāng)點(diǎn)在△AEF區(qū)域內(nèi)時(shí)，點(diǎn)到直線y＋2＝0的距離大于2.∴P＝eq\f(S△AEF,S△ABC)＝eq\f(\f(1,2)×6×3,\f(1,2)×10×5)＝eq\f(9,25).(2)由圖形知C(1,2)，D(－2,2)，∵S四邊形ABCD＝6，S陰＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2)，∴P＝eq\f(\f(3,2),6)＝eq\f(1,4).題型三與體積有關(guān)的幾何概型例4(1)(2022·貴州黔東南州凱里一中期末)一只蜜蜂在一個(gè)棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行，假設(shè)蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個(gè)外表的距離均大于1，那么稱其為“平安飛行〞，那么蜜蜂“平安飛行〞的概率為()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,27)D.eq\f(3,8)(2)正三棱錐S—ABC的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VP—ABC<eq\f(1,2)VS—ABC的概率是()A.eq\f(7,8)B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,4)答案(1)C(2)A解析(1)由題意知小蜜蜂的平安飛行范圍為以這個(gè)正方體的中心為中心，且棱長為1的小正方體內(nèi)．這個(gè)小正方體的體積為1，大正方體的體積為27，故平安飛行的概率為P＝eq\f(1,27).(2)當(dāng)P在三棱錐的三條側(cè)棱的中點(diǎn)所在的平面及下底面構(gòu)成的正三棱臺內(nèi)時(shí)符合要求，由幾何概型知，P＝1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).思維升華求解與體積有關(guān)的幾何概型的注意點(diǎn)對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計(jì)算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復(fù)雜的問題也可利用其對立事件去求．(2022·哈爾濱模擬)在體積為V的三棱錐S－ABC的棱AB上任取一點(diǎn)P，那么三棱錐S－APC的體積大于eq\f(V,3)的概率是________．答案eq\f(2,3)解析如圖，三棱錐S－ABC與三棱錐S－APC的高相同，要使三棱錐S－APC的體積大于eq\f(V,3)，只需△APC的面積大于△ABC的面積的eq\f(1,3).假設(shè)點(diǎn)P′是線段AB靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，記事件M為“三棱錐S－APC的體積大于eq\f(V,3)〞，那么事件M發(fā)生的區(qū)域是線段P′B.從而P(M)＝eq\f(P′B,AB)＝eq\f(2,3).12．幾何概型中的“測度〞典例(1)在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在直角邊BC上任取一點(diǎn)M，那么∠CAM<30°的概率是________．(2)在長為1的線段上任取兩點(diǎn)，那么這兩點(diǎn)之間的距離小于eq\f(1,2)的概率為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4)D.eq\f(7,8)錯(cuò)解展示解析(1)∵∠C＝90°，∠CAM＝30°，∴所求概率為eq\f(30,90)＝eq\f(1,3).(2)兩點(diǎn)之間線段長為eq\f(1,2)時(shí)，占長為1的線段的一半，故所求概率為eq\f(1,2).答案(1)eq\f(1,3)(2)B現(xiàn)場糾錯(cuò)解析(1)因?yàn)辄c(diǎn)M在直角邊BC上是等可能出現(xiàn)的，所以“測度〞是長度．設(shè)直角邊長為a，那么所求概率為eq\f(\f(\r(3),3)a,a)＝eq\f(\r(3),3).(2)設(shè)任取兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為x，y，那么0≤x≤1，且0≤y≤1.由題意知|x－y|<eq\f(1,2)，所以所求概率為P＝eq\f(1－2×\f(1,2)×\f(1,2)×\f(1,2),1)＝eq\f(3,4).答案(1)eq\f(\r(3),3)(2)C糾錯(cuò)心得(1)在線段上取點(diǎn)，那么點(diǎn)在線段上等可能出現(xiàn)；在角內(nèi)作射線，那么射線在角內(nèi)的分布等可能．(2)兩個(gè)變量在某個(gè)范圍內(nèi)取值，對應(yīng)的“測度〞是面積．1．(2022·佛山模擬)如圖，矩形長為6，寬為4，在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)得落在橢圓外的黃豆數(shù)為96，以此實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計(jì)出橢圓的面積約為()A．16.32B．15.32C．8.68D．7.68答案A解析設(shè)橢圓的面積為S，那么eq\f(S,4×6)＝eq\f(300－96,300)，故S＝16.32.2．(2022·南平模擬)設(shè)p在[0,5]上隨機(jī)地取值，那么關(guān)于x的方程x2＋px＋1＝0有實(shí)數(shù)根的概率為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)答案C解析方程有實(shí)數(shù)根，那么Δ＝p2－4≥0，解得p≥2或p≤－2(舍去)，故所求概率為P＝eq\f(5－2,5－0)＝eq\f(3,5)，應(yīng)選C.3．(2022·四川宜賓筠連中學(xué)第三次月考)如下圖，在邊長為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域．在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為eq\f(2,3)，那么陰影區(qū)域的面積為()A.eq\f(4,3)B.eq\f(8,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,3)答案B解析正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率P＝eq\f(S陰影,S正方形).又∵S正方形＝4，∴S陰影＝eq\f(8,3)，應(yīng)選B.4.如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓．在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，那么此點(diǎn)取自陰影局部的概率是()A.1－eq\f(2,π)B.eq\f(1,2)－eq\f(1,π)C.eq\f(2,π)D.eq\f(1,π)答案A解析設(shè)分別以O(shè)A，OB為直徑的兩個(gè)半圓交于點(diǎn)C，OA的中點(diǎn)為D，如圖，連接OC，DC.不妨令OA＝OB＝2，那么OD＝DA＝DC＝1.在以O(shè)A為直徑的半圓中，空白局部面積S1＝eq\f(π,4)＋eq\f(1,2)×1×1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(1,2)×1×1))＝1，所以整體圖形中空白局部面積S2＝2.又因?yàn)镾扇形OAB＝eq\f(1,4)×π×22＝π，所以陰影局部面積為S3＝π－2.所以P＝eq\f(π－2,π)＝1－eq\f(2,π).5．△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一點(diǎn)D，那么使△ABD為鈍角三角形的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)答案C解析如圖，當(dāng)BE＝1時(shí)，∠AEB為直角，那么點(diǎn)D在線段BE(不包含B、E點(diǎn))上時(shí)，△ABD為鈍角三角形；當(dāng)BF＝4時(shí)，∠BAF為直角，那么點(diǎn)D在線段CF(不包含C、F點(diǎn))上時(shí)，△ABD為鈍角三角形，所以△ABD為鈍角三角形的概率為eq\f(1＋2,6)＝eq\f(1,2).6.歐陽修的?賣油翁?中寫到：“(翁)乃取一葫蘆，置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕〞，可見“行行出狀元〞，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止．假設(shè)銅錢是直徑為3cm的圓，中間有邊長為1cm的正方形孔，假設(shè)隨機(jī)向銅錢上滴一滴油(油滴的直徑忽略不計(jì))，那么正好落入孔中的概率是________．答案eq\f(4,9π)解析依題意，所求概率為P＝eq\f(12,π·\f(3,2)2)＝eq\f(4,9π).7．有一個(gè)底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，那么點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為________．答案eq\f(2,3)解析V圓柱＝2π，V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2,3)π，eq\f(V半球,V圓柱)＝eq\f(1,3)，故點(diǎn)P到O的距離大于1的概率為eq\f(2,3).8．在區(qū)間[1,5]和[2,4]上分別各取一個(gè)數(shù)，記為m和n，那么方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的概率是________．答案eq\f(1,2)解析∵方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，∴m>n.如圖，由題意知，在矩形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)Q(m，n)，點(diǎn)Q落在陰影局部的概率即為所求的概率，易知直線m＝n恰好將矩形平分，∴所求的概率為P＝eq\f(1,2).9．隨機(jī)地向半圓0<y<eq\r(2ax－x2)(a為正常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，那么原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于eq\f(π,4)的概率為______．答案eq\f(1,2)＋eq\f(1,π)解析半圓區(qū)域如下圖．設(shè)A表示事件“原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于eq\f(π,4)〞，由幾何概型的概率計(jì)算公式得P(A)＝eq\f(A的面積,半圓的面積)＝eq\f(\f(1,4)πa2＋\f(1,2)a2,\f(1,2)πa2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,π).10．(2022·湖南衡陽八中月考)隨機(jī)向邊長為5,5,6的三角形中投一點(diǎn)P，那么點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都不小于1的概率是________．答案1－eq\f(π,24)解析由題意作圖，如圖，那么點(diǎn)P應(yīng)落在深色陰影局部，S△＝eq\f(1,2)×6×eq\r(52－32)＝12，三個(gè)小扇形可合并成一個(gè)半圓，故其面積為eq\f(π,2)，故點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都不小于1的概率為eq\f(12－\f(π,2),12)＝1－eq\f(π,24).11．向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)．(1)假設(shè)x，y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時(shí)第一次，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求滿足a·b＝－1的概率；(2)假設(shè)x，y在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值，求滿足a·b<0的概率．解(1)將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所包含的根本領(lǐng)件總數(shù)為6×6＝36，由a·b＝－1得－2x＋y＝－1，所以滿足a·b＝－1的根本領(lǐng)件為(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3個(gè)，故滿足a·b＝－1的概率為eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).(2)假設(shè)x，y在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值，那么全部根本領(lǐng)件的結(jié)果為Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}，滿足a·b<0的根本領(lǐng)件的結(jié)果為A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x