2023年河南省新鄉(xiāng)市輝縣數(shù)學(xué)八下期末綜合測(cè)試試題含解析

2022-2023學(xué)年八下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題(每小題3分,共30分)1．下列式子成立的是()A．=3 B．2﹣=2 C．= D．()2=62．如圖，OA＝，以O(shè)A為直角邊作Rt△OAA1，使∠AOA1＝30°，再以O(shè)A1為直角邊作Rt△OA1A2，使∠A1OA2＝30°，……，依此法繼續(xù)作下去，則A1A2的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．3．如圖，是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是2，直角三角形較長(zhǎng)的直角邊為m，較短的直角邊為n，那么（m+n）2的值為（）A．23 B．24 C．25 D．無(wú)答案4．如圖所示，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BCD=120°，則∠BOD的大小是（）A．80° B．120° C．100° D．90°5．與最接近的整數(shù)是（）A．5 B．1 C．1．5 D．76．河堤橫斷面如圖所示，斜坡AB的坡度=1：，BC=5米，則AC的長(zhǎng)是（）米．A． B．5 C．15 D．7．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，，，則BD的長(zhǎng)是A．2 B．5 C．6 D．48．使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是（）A．x≥0 B． C．x取一切實(shí)數(shù) D．x≥0且9．如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠DAB=60°，則對(duì)角線BD的長(zhǎng)是（）A．1 B． C．2 D．10．已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12，則此直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)為（）A． B．6 C．13 D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．若關(guān)于的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為_(kāi)_________．12．菱形ABCD中，對(duì)角線AC＝8，BD＝6，則菱形的邊長(zhǎng)為_(kāi)____．13．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，點(diǎn)P是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP、DP，則AP+DP的最小值為_(kāi)____．14．如果最簡(jiǎn)二次根式和是同類(lèi)二次根式，那么a=_______15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BDE，連接DC交AB于點(diǎn)F，則△ACF與△BDF的周長(zhǎng)之和為_(kāi)______cm．16．如圖所示，工人師傅做一個(gè)矩形鋁合金窗框分下面三個(gè)步驟進(jìn)行先截出兩對(duì)符合規(guī)格的鋁合金窗料（如圖①所示），使AB＝CD，EF＝GH．（1）擺放成如圖②的四邊形，則這時(shí)窗框的形狀是平行四邊形，它的依據(jù)是．（2）將直尺緊靠窗框的一個(gè)角（如圖③），調(diào)整窗框的邊框，當(dāng)直角尺的兩條直角邊與窗框無(wú)縫隙時(shí)（如圖④，說(shuō)明窗框合格，這時(shí)窗框是矩形，它的依據(jù)是．17．如圖，在中，，，是角平分線，是中線，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)____．18．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠B的平分線BE交AD于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)___________．三、解答題(共66分)19．（10分）某長(zhǎng)途汽車(chē)客運(yùn)公司規(guī)定旅客可免費(fèi)攜帶一定質(zhì)量的行李，當(dāng)行李的質(zhì)量超過(guò)規(guī)定時(shí)，需付的行李費(fèi)y（元）是行李質(zhì)量x（kg）的一次函數(shù)．已知行李質(zhì)量為20kg時(shí)需付行李費(fèi)2元，行李質(zhì)量為50kg時(shí)需付行李費(fèi)8元．（1）當(dāng)行李的質(zhì)量x超過(guò)規(guī)定時(shí)，求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）求旅客最多可免費(fèi)攜帶行李的質(zhì)量．20．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與軸相交于點(diǎn)，與正比例函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.（1）求的值；（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出不等式的解集.21．（6分）已知正比例函數(shù)y1＝mx的圖象與反比例函數(shù)y1＝(m為常數(shù)，m≠0)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1．(1)求m的值；(1)寫(xiě)出當(dāng)y1＜y1時(shí)，自變量x的取值范圍．22．（8分）我們知道平行四邊形有很多性質(zhì)，現(xiàn)在如果我們把平行四邊形沿著它的一條對(duì)角線翻折，會(huì)發(fā)現(xiàn)這其中還有更多的結(jié)論．（發(fā)現(xiàn)與證明）?ABCD中，AB≠BC，將△ABC沿AC翻折至△AB′C，連結(jié)B′D．結(jié)論1：△AB′C與?ABCD重疊部分的圖形是等腰三角形；結(jié)論2：B′D∥AC…（應(yīng)用與探究）在?ABCD中，已知BC=2，∠B=45°，將△ABC沿AC翻折至△AB′C，連結(jié)B′D．若以A、C、D、B′為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，求AC的長(zhǎng)．(要求畫(huà)出圖形)23．（8分）如圖，正方形中，為上的點(diǎn)，是的延長(zhǎng)線的點(diǎn)，且，過(guò)作垂足為交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求的長(zhǎng)．24．（8分）我們知道平行四邊形有很多性質(zhì)，現(xiàn)在如果我們把平行四邊形沿著它的一條對(duì)角線翻折，會(huì)發(fā)現(xiàn)這其中還有更多的結(jié)論.（發(fā)現(xiàn)與證明）中，，將沿翻折至，連結(jié).結(jié)論1：與重疊部分的圖形是等腰三角形；結(jié)論2：.試證明以上結(jié)論.（應(yīng)用與探究）在中，已知，，將沿翻折至，連結(jié).若以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，求的長(zhǎng).（要求畫(huà)出圖形）25．（10分）如圖，正方形ABCD和正方形CEFC中，點(diǎn)D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中點(diǎn)，EH與CF交于點(diǎn)O．（1）求證：HC＝HF．（2）求HE的長(zhǎng)．26．（10分）已知求代數(shù)式：x＝2+，y＝2-．（1）求代數(shù)式x2+3xy+y2的值；（2）若一個(gè)菱形的對(duì)角線的長(zhǎng)分別是x和y，求這個(gè)菱形的面積？

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、A【解析】

運(yùn)用二次根式的相關(guān)定義、運(yùn)算、化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】解：A：是求的算術(shù)平方根，即為3，故正確；B：2﹣=，故B錯(cuò)誤；C：上下同乘以，應(yīng)為，故C錯(cuò)誤；D：的平方應(yīng)為3，而不是6，故D錯(cuò)誤.故答案為A.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的定義、運(yùn)算和化簡(jiǎn);考查知識(shí)點(diǎn)較多，扎實(shí)的基礎(chǔ)是解答本題的關(guān)鍵.2、B【解析】

由含30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出OA1，然后根據(jù)30°角的三角函數(shù)值求出A1A2即可.【詳解】解：∵∠OAA1＝90°，OA＝，∠AOA1＝30°，∴AA1＝OA1，由勾股定理得：OA2+AA12＝OA12，即（）2+（OA1）2＝OA12，解得：OA1＝2，∵∠A1OA2＝30°，∴A1A2的長(zhǎng)＝=故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握勾股定理，通過(guò)計(jì)算得出規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3、B【解析】

根據(jù)勾股定理，知兩條直角邊的平方等于斜邊的平方，此題中斜邊的平方即為大正方形的面積13，1mn即四個(gè)直角三角形的面積和，從而不難求得（m+n）1．【詳解】（m+n）1=m1+n1+1mn=大正方形的面積+四個(gè)直角三角形的面積和=13+（13﹣1）=14．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、完全平方公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．4、B【解析】【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠A，再根據(jù)圓周角定理進(jìn)行解答即可．【詳解】∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A=180°﹣∠BCD=180°-120°=60°，由圓周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．5、B【解析】

由題意可知31與37最接近，即與最接近，從而得出答案．【詳解】解：∵31＜37＜49，∴1＜＜7，∵37與31最接近，∴與最接近的整數(shù)是1．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了無(wú)理數(shù)的估算能力，掌握估算的方法是解題的關(guān)鍵．6、A【解析】

Rt△ABC中，已知坡比是坡面的鉛直高度BC與水平寬度AC之比，通過(guò)解直角三角形即可求出水平寬度AC的長(zhǎng)．【詳解】解：Rt△ABC中，BC＝5米，tanA＝1：，∴tanA＝，∴AC＝BC÷tanA＝5÷＝米，故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)坡度坡角的掌握及三角函數(shù)的運(yùn)用能力，解題的關(guān)鍵是熟練掌握坡度的定義，此題難度不大．7、D【解析】

根據(jù)矩形的性質(zhì)得出OA=OB=OC=OD，∠BAD=90°，求出△AOB是等邊三角形，求出OB=AB=2，然后由BD=2OB求解即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD，∠BAD=90°，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴OB=AB=2，∴BD=2BO=4，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8、D【解析】試題分析：根據(jù)題意可得：當(dāng)x≥0且3x﹣1≠0時(shí)，代數(shù)式有意義，解得：x≥0且．故選D．考點(diǎn)：1.二次根式有意義的條件；2.分式有意義的條件．9、C【解析】試題分析：∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∴AD=AB=1，又∵∠DAB=60°，∴△DAB是等邊三角形，∴AD=BD=AB=1，則對(duì)角線BD的長(zhǎng)是1．故選C．考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)．10、D【解析】已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12，根據(jù)勾股定理求得斜邊為13，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得此直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)為，故選D.二、填空題(每小題3分,共24分)11、【解析】

根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式即可得出△=4-4m＜0，解之即可得出結(jié)論．【詳解】∵方程x2+2x+m=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，∴△=22-4m=4-4m＜0，解得：m＞1．故答案為：m＞1．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式以及解一元一次不等式，熟練掌握“當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．12、5【解析】

根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴OAAC＝4，OBBD＝3，AC⊥BD，∴AB5故答案為：5【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記菱形的各種性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13、1【解析】

作點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D'，連接AD'，PD'，依據(jù)AP+DP＝AP+PD'≥AD'，即可得到AP+DP的最小值等于AD'的長(zhǎng)，利用勾股定理求得AD'＝1，即可得到AP+DP的最小值為1．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D'，連接AD'，PD'，則DD'＝2DC＝2AB＝4，PD＝PD'，∵AP+DP＝AP+PD'≥AD'，∴AP+DP的最小值等于AD'的長(zhǎng)，∵Rt△ADD'中，AD'＝＝＝1，∴AP+DP的最小值為1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查的是最短線路問(wèn)題及矩形的性質(zhì)，熟知兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．14、3【解析】分析：根據(jù)同類(lèi)二次根式的被開(kāi)方式相同列方程求解即可.詳解：由題意得，3a+4=25-4a，解之得，a=3.故答案為：3.點(diǎn)睛：本題考查了同類(lèi)二次根式的應(yīng)用，根據(jù)同類(lèi)二次根式的定義列出關(guān)于a的方程是解答本題的關(guān)鍵.15、1．【解析】

∵將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BDE，∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，∴BD=BC=12cm，∴△BCD為等邊三角形，∴CD=BC=BD=12cm，在Rt△ACB中，AB===13，△ACF與△BDF的周長(zhǎng)之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=1（cm），故答案為1．考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．16、【答題空1】?jī)山M對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形【答題空2】有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形【解析】

（1）∵AB=CD，EF=GH，∴四邊形為平行四邊形.(兩組對(duì)邊相等的四邊形為平行四邊形)（2）由（2）知四邊形為平行四邊形，∵∠C為直角，∴四邊形為矩形.(一個(gè)角為直角的平行四邊形為矩形)【點(diǎn)睛】根據(jù)平行四邊形的判定，兩組對(duì)邊分別相等的四邊形為平行四邊形，即可得出②的結(jié)論，當(dāng)把一個(gè)角變?yōu)橹苯菚r(shí)，根據(jù)一個(gè)角為直角的平行四邊形為矩形即可得出③的結(jié)論．17、1【解析】

首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△AFG≌△AFC，即可判斷出FG=FC，AG=AC，所以點(diǎn)F是CG的中點(diǎn)；然后根據(jù)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，可得EF是△CBG的中位線，再根據(jù)三角形中位線定理，求出線段EF的長(zhǎng)為多少即可．【詳解】∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠FAG=∠FAC，

∵CG⊥AD，

∴∠AFG=∠AFC=90°，

在△AFG和△AFC中，，

∴△AFG≌△AFC，

∴FG=FC，AG=AC=4，

∴F是CG的中點(diǎn)，

又∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

∴EF是△CBG的中位線，∴.故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定以及三角形的中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．18、1【解析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得出AD∥BC，則∠AEB＝∠CBE，再由∠ABE＝∠CBE，則∠AEB＝∠ABE，則AE＝AB，從而求出DE．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠AEB＝∠CBE，

∵∠B的平分線BE交AD于點(diǎn)E，

∴∠ABE＝∠CBE，

∴∠AEB＝∠ABE，

∴AE＝AB，

∵AB＝3，BC＝5，

∴DE＝AD－AE＝BC－AB＝5－3＝1．

故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)：對(duì)邊相等．三、解答題(共66分)19、（1）當(dāng)行李的質(zhì)量x超過(guò)規(guī)定時(shí)，y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y=x﹣2；（2）旅客最多可免費(fèi)攜帶行李10kg．【解析】

（1）用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）旅客最多可免費(fèi)攜帶行李的質(zhì)量就是時(shí)x的值.【詳解】(1)根據(jù)題意，設(shè)與的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b當(dāng)x=20時(shí)，y=2，得2=20k+b當(dāng)x=50時(shí)，y=8，得8=50k+b.解方程組，得，所求函數(shù)表達(dá)式為y=x-2.(2)當(dāng)y=0時(shí)，x-2=0，得x=10.答：旅客最多可免費(fèi)攜帶行李10kg.考點(diǎn)：一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用20、（1）；（2）【解析】

根據(jù)題意先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，再將點(diǎn)A、C代入即可解答.由，得，根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，3）即可得出答案.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為.將代入，得：解得：；（2）由，得，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，；【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.21、(1)m＝1；(1)x＜﹣1或0＜x＜1．【解析】

(1)把交點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，列出一元一次方程，求解即可；(1)根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可.【詳解】解：(1)∵正比例函數(shù)y1＝mx的圖象與反比例函數(shù)y1＝(m為常數(shù)，且m≠0)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1，∴y1＝1m，y1＝，∵y1＝y(tǒng)1，∴1m＝，解得，m＝1；(1)由(1)得：正比例函數(shù)為y1＝1x，反比例函數(shù)為y1＝；解方程組得:或∴這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4)和(﹣1，﹣4)，當(dāng)y1＜y1時(shí)，自變量x的取值范圍為x＜﹣1或0＜x＜1．【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.22、[發(fā)現(xiàn)與證明]：證明見(jiàn)解析；[應(yīng)用與探究]：AC的長(zhǎng)為或1．【解析】

[發(fā)現(xiàn)與證明]由平行四邊形的性質(zhì)得出∠EAC=∠ACB，由翻折的性質(zhì)得出∠ACB=∠ACB′，證出∠EAC=∠ACB′，得出AE=CE；得出DE=B′E，證出∠CB′D=∠B′DA=(180°-∠B′ED)，由∠AEC=∠B′ED，得出∠ACB′=∠CB′D，即可得出B′D∥AC；[應(yīng)用與探究]：分兩種情況：①由正方形的性質(zhì)得出∠CAB′=90°，得出∠BAC=90°，再由三角函數(shù)即可求出AC；②由正方形的性質(zhì)和已知條件得出AC=BC=1．【詳解】解：[發(fā)現(xiàn)與證明]：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠EAC=∠ACB，∵△ABC≌△AB′C，∴∠ACB=∠ACB′，BC=B′C，∴∠EAC=∠ACB′，∴AE=CE，即△ACE是等腰三角形；∴DE=B′E，∴∠CB′D=∠B′DA=(180°-∠B′ED)，∵∠AEC=∠B′ED，∴∠ACB′=∠CB′D，∴B′D∥AC；[應(yīng)用與探究]：分兩種情況：①如圖1所示：∵四邊形ACDB′是正方形，∴∠CAB′=90°，∴∠BAC=90°，∵∠B=45°，∴AC=BC=；②如圖1所示：AC=BC=1；綜上所述：AC的長(zhǎng)為或1．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、翻折變換、等腰三角形的判定以及平行線的判定；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．23、（1）見(jiàn)解析；（2）1【解析】

（1）由正方形的性質(zhì)可得∠ABC=90°，AD∥BC，由“AAS”可證△ABM≌△EFA，可得AF=BM；

（2）由勾股定理可求AM=13，由全等三角形的性質(zhì)可得AM=AE=13，即可求DE的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：四邊形是正方形又（2）解：在中，【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練運(yùn)用正方形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．24、【發(fā)現(xiàn)與證明】結(jié)論1：見(jiàn)解析，結(jié)論1：見(jiàn)解析；【應(yīng)用與探究】AC的長(zhǎng)為或1.【解析】

【發(fā)現(xiàn)與證明】由平行四邊形的性質(zhì)得出∠EAC=∠ACB，由翻折的性質(zhì)得出∠ACB=∠ACB′，證出∠EAC=∠ACB′，得出AE=CE；得出DE=B′E，證出∠CB′D=∠B′DA=（180°-∠B′ED），由∠AEC=∠B′ED，得出∠ACB′=∠CB′D，即可得出B′D∥AC；【應(yīng)用與探究】：分兩種情況：①由正方形的性質(zhì)得出∠CAB′=90°，得出∠BAC=90°，再由三角函數(shù)即可求出AC；②由正方形的性質(zhì)和已知條件得出AC=BC=1．【詳解】【發(fā)現(xiàn)與證明】:∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC,AD∥BC，∴∠EAC=∠ACB，∵△ABC≌△AB′C，∴∠ACB=∠ACB′,BC=B′C，∴∠EAC=∠ACB′，∴AE=CE，即△ACE是等腰三角形；∴DE=B′E，∴∠CB′D=∠B′DA=11(180°?∠B′ED)，∵∠AEC=∠B′ED，∴∠ACB′=∠CB′D，∴B′D∥AC；【應(yīng)用與探究】:分兩種情況：①如圖1所示：∵四邊形ACDB′是正方形，∴∠CAB′=90°，∴∠BAC=90°，∵∠B=45°，∴AC=；②如圖1所示：AC=BC=1；綜上所述：AC的長(zhǎng)為或1.【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形