四川省涼山州中考數(shù)學試題解析版

2019年四川省涼山州中考數(shù)學試卷

一、選擇題（共12個小題，每小題4分，共48分）在每小題給出的四個選項中只有一項

是正確的，把正確選項的宇母填涂在答題卡上相應的位置

1.（4分）-2的相反數(shù)是（）

A.2B.-2C.1-D.--L

22

2.（4分）2018年涼山州生產總值約為153300000000,用科學記數(shù)法表示數(shù)153300000000

是（）

A.1.533X109B.1.533X1O10C.1.533X10“D.1.533X1012

3.（4分）如圖，BD//EF,AE與BD交于點C,NB=30°,NA=75°,則NE的度數(shù)為

C.115°D.105°

4.（4分）下列各式正確的是（）

A.2a2+3a2=5a4Bn.cT29a=cr3

C.（a2）3=a5D.4a

5.（4分）不等式1-xNx-1的解集是（)

A.B.X2-1C.xWlD.xW-1

6.（4分）某班40名同學一周參加體育鍛煉時間統(tǒng)計如表所示:

人數(shù)（人）317137

時間（小時）78910

那么該班40名同學一周參加體育鍛煉時間的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（）

A.17,8.5B.17,9C.8,9D,8,8.5

7.（4分）下列命題：①直線外一點到這條直線的垂線段，叫做點到直線的距離；②兩點

之間線段最短；③相等的圓心角所對的弧相等；④平分弦的直徑垂直于弦.其中，真命

題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

8.（4分）如圖，正比例函數(shù)）'=依與反比例函數(shù)），=&的圖象相交于A、C兩點，過點A

X

作x軸的垂線交x軸于點8,連接8C,則aABC的面積等于（）

A.8B.6C.4D.2

9.（4分）如圖，在△ABC中，CA=CB=4,cosC=L,則sinB的值為（）

4

4

10.（4分）如圖，在△48C中，。在AC邊上，AD：DC=1：2,。是8。的中點，連接AO

D.2：3

11.（4分）如圖，在△AOC中，O4=3C7〃，0c=1CTH,將△40C繞點0順時針旋轉90°

后得到△BOQ,則AC邊在旋轉過程中所掃過的圖形的面積為（）足

D

A.—B.2KC.ALnD.UTT

288

12.（4分）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，有以下結論：①3"-6=0；②信

-4ac>0；③5a-2b+c>0；@4b+3c>0,其中錯誤結論的個數(shù)是（）

A.1C.3D.4

二、填空題（共5個小題，每小題4分，共20分）

13.（4分）方程組1+尸1°的解是.

12x+y=16

14.（4分）方程2XT+_g_=i的解是______.

2

x-li-x

15.（4分）如圖所示，4B是。。的直徑，弦CO_LAB于H,乙4=30°,CD=2炳,則。O

16.（4分）在“A2CZ）中，E是AO上一點，且點E將AO分為2：3的兩部分，連接8E、

AC相交于F,則SAAEF：SKBF是.

17.（4分）將拋物線丫=（x-3）2-2向左平移個單位后經(jīng)過點A（2,2）.

三、解答題（共5小題，共32分）

18.(5分)計算：tan45°+(?-圾)°-(-1)-2+lV3-2|.

19.(5分)先化簡，再求值：(。+3)2-Q+i)(a-i)-2(2a+4),其中a=-L.

2

20.(6分)如圖，正方形A8CD的對角線AC、BD相交于點O,E是。C上一點，連接EB.過

點A作AM_L2E,垂足為M,AM與2。相交于點F.求證：OE=OF.

21.(8分)某校初中部舉行詩詞大會預選賽，學校對參賽同學獲獎情況進行統(tǒng)計，繪制了

如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請結合圖中相關數(shù)據(jù)解答下列問題：

X18

X16

4

X1

2

X1

0

X1

8

6

4

2

0

(1)參加此次詩詞大會預選賽的同學共有人；

(2)在扇形統(tǒng)計圖中，“三等獎”所對應的扇形的圓心角的度數(shù)為；

(3)將條形統(tǒng)計圖補充完整；

(4)若獲得一等獎的同學中有工來自七年級，工來自九年級，其余的來自八年級，學校

42

決定從獲得一等獎的同學中任選兩名同學參加全市詩詞大會比賽，請通過列表或樹狀圖

方法求所選兩名同學中，恰好是一名七年級和一名九年級同學的概率.

22.(8分)如圖，點。是以AB為直徑的上一點，過點B作。。的切線，交AO的延

長線于點C,E是BC的中點，連接。E并延長與AB的延長線交于點反

(1)求證：。尸是。。的切線；

(2)若OB=BF,E尸=4,求AD的長.

四、B卷填空題（共2小題，每小題5分，共10分）

23.（5分）當0WxW3時，直線y=“與拋物線），=（x-1）2-3有交點，則。的取值范圍

是.

24.（5分）如圖，正方形48C。中，AB^12,AE=Lb點P在8C上運動（不與8、C

4

重合），過點P作PQ1EP,交CD于點Q,則CQ的最大值為.

五、解答題（共4小題，共40分）

25.（8分）已知二次函數(shù)y=/+x+a的圖象與x軸交于A（xi,0）、B（x2,0）兩點，且‘

X1x2

=1,求”的值.

26.（10分）根據(jù)有理數(shù)乘法（除法）法則可知：

①若而>0（或且>0）,則J或J；

bb>0b<0

②若abVO（或旦<0）,則代>°或［a<0.

bb<0b>0

根據(jù)上述知識，求不等式（x-2）（x+3）>0的解集

（x-2>0（x-2<0

解：原不等式可化為：⑴或⑵.

x+3>0x+3<C0

由（1）得，x>2,

由（2）得，x<-3,

原不等式的解集為：x<-3或x>2.

請你運用所學知識，結合上述材料解答下列問題：

(1)不等式?-2x-3<0的解集為.

(2)求不等式史&<0的解集(要求寫出解答過程)

1-x

27.(10分)如圖，NABD=NBCD=90°,CB平分NADC,過點8作8W〃C￡>交A。于

M.連接CM交。B于N.

(1)求證：BD1=AD-CD；

(2)若CQ=6,AD=8,求MN的長.

28.(12分)如圖，拋物線y=a/+6x+c的圖象過點A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點尸，使得△抬C的周長最小，若存在，請求出點

P的坐標及△B4C的周長：若不存在，請說明理由；

(3)在(2)的條件下，在x軸上方的拋物線上是否存在點M(不與C點重合)，使得S

△RW=SAR4C?若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

2019年四川省涼山州中考數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（共12個小題，每小題4分，共48分）在每小題給出的四個選項中只有一項

是正確的，把正確選項的宇母填涂在答題卡上相應的位置

1.（4分）-2的相反數(shù)是（）

A.2B.-2C.工D.-工

22

【分析】根據(jù)相反數(shù)的意義，只有符號不同的數(shù)為相反數(shù).

【解答】解：根據(jù)相反數(shù)的定義，-2的相反數(shù)是2.

故選：A.

【點評】本題考查了相反數(shù)的意義.注意掌握只有符號不同的數(shù)為相反數(shù)，。的相反數(shù)是

0.

2.（4分）2018年涼山州生產總值約為153300000000,用科學記數(shù)法表示數(shù)153300000000

是（）

A.1.533X109B.1.533XIO10C.1.533X10“D.1.533X1012

【分析】利用科學記數(shù)法表示即可

【解答】解：

科學記數(shù)法表示：15330（）000000=1.533X1011

故選：C.

【點評】本題主要考查科學記數(shù)法的表示，把一個數(shù)表示成。與10的”次幕相乘的形式

（IWaVlO,〃為整數(shù)），這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法.

3.（4分）如圖，BD//EF,AE與交于點C,/B=30°,ZA=75°,則NE的度數(shù)為

（）

A.135°B.125°C.115°D.105°

【分析】直接利用三角形的外角性質得出度數(shù)，再利用平行線的性質分析得出答

案.

【解答】解：；/B=30°,NA=75°,

AZACD=30°+75°=105°,

'：BD//EF,

.\Z￡=ZACD=W50.

故選：D.

【點評】此題主要考查了平行線的性質以及三角形的外角，正確掌握平行線的性質是解

題關鍵.

4.（4分）下列各式正確的是（）

A.2a2+3a2=5a4B.a1,a=a3

C.（?2）3—a5D.

【分析】分別根據(jù)合并同類項的法則、同底數(shù)幕的乘法法則、塞的乘方法則以及二次根

式的性質解答即可.

【解答】解：A、2a2+3a1=5a1,故選項A不合題意；

B、a1*a—ai,故選項B符合題意：

C、（J）3=不，故選項C不合題意；

D、J￡=l"l，故選項。不合題意.

故選：B.

【點評】本題主要考查了合并同類項的法則、幕的運算法則以及二次根式的性質，熟練

掌握相關運算性質是解答本題的關鍵.

5.（4分）不等式1-Qx-1的解集是（）

A.B.xe-1C.xWlD.xW-1

【分析】移項、合并同類項，系數(shù)化為1即可求解.

【解答】解：11,

-2x2-2

...xWL

故選：C.

【點評】本題考查了解簡單不等式的能力，解答這類題學生往往在解題時不注意移項要

改變符號這一點而出錯.

6.（4分）某班40名同學一周參加體育鍛煉時間統(tǒng)計如表所示：

人數(shù)（人）317137

時間（小時）78910

那么該班4（）名同學一周參加體育鍛煉時間的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（）

A.17,8.5B.17,9C.8,9D.8,8.5

【分析】根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的概念分別求得這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù).

【解答】解：眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，即8；

由統(tǒng)計表可知，處于20,21兩個數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù)，

.?.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為期=8.5；

2

故選：D.

【點評】本題考查了中位數(shù)、眾數(shù)的概念.本題為統(tǒng)計題，考查眾數(shù)與中位數(shù)的意義，

中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個數(shù)（最中間兩

個數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

7.（4分）下列命題：①直線外一點到這條直線的垂線段，叫做點到直線的距離；②兩點

之間線段最短；③相等的圓心角所對的弧相等；④平分弦的直徑垂直于弦.其中，真命

題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】根據(jù)點到直線的距離，線段的性質，弧、弦、圓心角之間的關系以及垂徑定理

判斷即可.

【解答】解：①直線外一點到這條直線的垂線段，叫做點到直線的距離；假命題；

②兩點之間線段最短；真命題；

③相等的圓心角所對的弧相等；假命題；

④平分弦的直徑垂直于弦；假命題；

真命題的個數(shù)是1個；

故選：A.

【點評】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題.許多命題都是由題

設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，一個命題可以

寫成“如果…那么…”形式.有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定

理.

8.（4分）如圖，正比例函數(shù)y=依與反比例函數(shù)），=2的圖象相交于A、C兩點，過點A

X

作X軸的垂線交X軸于點B,連接BC,則AABC的面積等于（)

A.8B.6C.4D.2

【分析】由于點4、C位于反比例函數(shù)圖象上且關于原點對稱，則S^OBA=SAOBC,再根

據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義作答即可.

【解答】解：因為過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所

圍成的直角三角形面積5是個定值，

即S=白川.

2

所以aABC的面積等于2X11川=|川=4.

2

故選：C.

【點評】主要考查了反比例函數(shù)y=k中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、

x

），軸垂線，所得矩形面積為因，是經(jīng)?？疾榈囊粋€知識點；這里體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想，

做此類題一定要正確理解k的幾何意義.圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐

標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關系即5=1N.

2

9.（4分）如圖，在△ABC中，CA=CB=4,cosC=L,貝UsinB的值為（）

4

A.國B.逗C.返D.叵

2344

【分析】過點A作垂足為O,在RtZ^4C￡>中可求出A。，CD的長，在

4B。中，利用勾股定理可求出AB的長，再利用正弦的定義可求出sin8的值.

【解答】解：過點A作AOLBC,垂足為￡>,如圖所示.

在RtZXACD中，C￡>=CA，cosC=1，

."￡>=五口2心2=任；

在中，BD=CB-CD=3,AO=VT^，

，A8=、BD2+AD2=2遙,

AB4

【點評】本題考查了解直角三角形以及勾股定理，通過解直角三角形及勾股定理，求出

AD,A8的長是解題的關鍵.

10.（4分）如圖，在△ABC中，。在AC邊上，AD：DC=1：2,。是2。的中點，連接AO

【分析】過。作BC的平行線交AC與G,由中位線的知識可得出ADDC=1：2,根據(jù)

已知和平行線分線段成比例得出AD=DG=GC,AG-GC=2：1,A。：。尸=2：1,再

由同高不同底的三角形中底與三角形面積的關系可求出BF：尸C的比.

【解答】解：如圖，過。作OG〃8C,交AC于G,

是8。的中點，

；.G是。C的中點.

又AD：￡>C=1：2,

：.AD=DG=GC,

：.AG：GC=2：1,AO：OE=2：1,

S^AOB：SABOE=2

設S^BOE=S,SAAOB=2S,又BO=OD,

**?S^AOD=2SIS^ABD=4Sf

*：AD：DC=1：2,

:?S>BDC=2S2ABD=8S,S四邊形COOE=7S，

S/\AEC=9S,SAABE=3S,

...巡_SAABE_3S_1_

ECSAAEC9s3

【點評】本題考查平行線分線段成比例及三角形的中位線的知識，難度較大，注意熟練

運用中位線定理和三角形面積公式.

11.（4分）如圖，在△AOC中，O4=3cro,OC=\cm,將△AOC繞點。順時針旋轉90°

后得到△BOZZ則AC邊在旋轉過程中所掃過的圖形的面積為（）切巳

A..2LB.2nC..IZ.nD.

288

【分析】根據(jù)旋轉的性質可以得到陰影部分的面積=扇形OAB的面積-扇形OCD的面

積，利用扇形的面積公式即可求解.

【解答】解：'：/\AOC^/\BOD,

,陰影部分的面積=扇形048的面積-扇形OCD的面積=剪二2鏟一-.迎兀X」2.

360360

=2TT,

故選：B.

【點評】本題考查了旋轉的性質以及扇形的面積公式，正確理解：陰影部分的面積=扇

形OAB的面積-扇形OCD的面積是解題關鍵.

12.（4分）二次函數(shù)丁=〃/+灰+（:的部分圖象如圖所示，有以下結論：①3〃-〃=0；②房

-4〃c>0；③5〃-2力+c>0；④4/?+3c>0,其中錯誤結論的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】①對稱軸為X=-3，得b=3a；

2

②函數(shù)圖象與X軸有兩個不同的交點，得△=/?2-4QC>0；

③當x=-l時，a-h+c>Of當x=-3時，9a-3h+c>Of得5〃-2。+。>0；

④由對稱性可知冗=1時對應的y值與x=-4時對應的y值相等，當冗=1時a+"c,VO,

4b+3c=3b+b+3c=3b+3a+3c=3（a+O+c）<0；

【解答】解：由圖象可知aVO,c>0,對稱軸為x=-3,

2

*?*AvT=--13=-..b...j

22a

①正確；

:函數(shù)圖象與X軸有兩個不同的交點，

.,.△=必-4ac>0>

②正確；

當X--1時，a-b+c>0,

當x=-3時，9a-3b+c>0,

：.lOa-4b+2c>0,

.'.5a-2b+c>0,

③正確;

由對稱性可知x=l時對應的y值與x=-4時對應的y值相等，

/.當x=1時a+b+c<0,

?"=3。，

.?.46+3c=36+6+3c=36+3a+3c=3(a+b+c)<0,

：.4b+3c<0,

④錯誤；

故選：A.

【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質；熟練掌握從函數(shù)圖象獲取信息，將信息與函

數(shù)解析式相結合解題是關鍵.

二、填空題(共5個小題，每小題4分，共20分)

13.(4分)方程組卜+尸1°的解是Jx=6_

12x+y=16|.4

【分析】利用加減消元法解之即可.

【解答】解：伊尸1°①，

|2x+y=16②

②-①得：

x=6,

把x=6代入①得：

6+)=10,

解得：y=4,

方程組的解為：［x=6,

1y=4

故答案為：fx=6

Iy=4

【點評】本題考查了解二元一次方程組，正確掌握加減消元法是解題的關鍵.

14.(4分)方程區(qū)zL+，一=1的解是x=-2.

xT1-x2

【分析】去分母，把分式方程化為整式方程，求解并驗根即可.

［解答］解：2xJ2

x-l(x+1)(x-1)

去分母，得(2x-1)(x+1)-2=(x+1)(x-1)

去括號，得2?+工-3=--1

移項并整理，得7+尤-2=0

所以(x+2)(x-1)=0

解得x=-2或x=1

經(jīng)檢驗，1=-2是原方程的解.

故答案為：x=-2.

【點評】本題考查了分式方程、一元二次方程的解法.掌握分式方程的解法是解決本題

的關鍵.注意驗根.

15.（4分）如圖所示，AB是的直徑，弦CD_L4B于"，NA=30°,CD=2?,則

【分析】連接BC,由圓周角定理和垂徑定理得出/ACB=90°,CH=DH=LCD=M，

2

由直角三角形的性質得出AC=2CH=2?,AC=?8C=2?,AB=2BC,得出BC=2,

A8=4,求出0A=2即可.

【解答】解：連接8C,如圖所示：

是。。的直徑，弦CQ_LAB于H,

AZACB=90°,CH=DH=LCD=M，

2

VZA=30°,

：.AC=2CH=2\[3,

在RtZ\A8C中，ZA=30°,

，AC=V^C=2。AB=2BC,

：.BC=2,AB=4,

：.OA=2,

即OO的半徑是2；

故答案為：2.

【點評】本題考查的是垂徑定理、圓周角定理、含30°角的直角三角形的性質、勾股定

理等知識；熟練掌握圓周角定理和垂徑定理是解題的關鍵.

16.(4分)在QA8CO中，E是AO上一點，且點E將AO分為2：3的兩部分，連接8E、

AC相交于F,則SAAEF：SACBF是4：25或9：25.

【分析】分AE：ED=2：3、AE：ED=3：2兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質計算即可.

【解答】解：①當AE：ED=2：3時，

：四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AD//BC,AE-.8c=2：5,

:.△AEFs^CBF,

.,.S^AEF：SACBF=(―)2=4：25；

5

②當AE：ED=3：2時，

同理可得，SMEF：S&CBF=(―)2=9：25,

【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質、平行四邊形的性質，掌握相似三角形

的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵.

17.(4分)將拋物線)=(%-3)2-2向左平移3個單位后經(jīng)過點4(2,2).

【分析】直接利用二次函數(shù)的平移規(guī)律結合二次函數(shù)圖象上點的性質進而得出答案.

【解答】解：?.?將拋物線y=(x-3)2-2向左平移后經(jīng)過點A(2,2),

設平移后解析式為：產(x-3+a)2-2,

則2=(2-3+a)2-2,

解得：。=3或“=-1(不合題意舍去)，

故將拋物線y=(x-3)2-2向左平移3個單位后經(jīng)過點A(2,2).

故答案為:3.

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，正確記憶平移規(guī)律是解題關鍵.

三、解答題(共5小題，共32分)

18.(5分)計算：tan45。+(遮-遮)'2+\4s-2\.

【分析】分別進行特殊角的三角函數(shù)值的運算，任何非零數(shù)的零次累等于1,負整數(shù)指數(shù)

累以及絕對值的意義化簡，然后按照實數(shù)的運算法則進行計算求得結果.

【解答】解：原式=1+1-2+(2-/§)—2~~\狗.

【點評】本題考查了實數(shù)的運算法則，屬于基礎題，解答本題的關鍵是熟練掌握負整數(shù)

指數(shù)累、特殊角的三角函數(shù)值等知識.

19.(5分)先化簡，再求值：(“+3)2-(〃+1)Q-1)-2(2a+4),其中

2

【分析】注意到Q+3)2可以利用完全平方公式進行展開，(a+1)(?-1)利潤平方差公

式可化為(J-1),則將各項合并即可化簡，最后代入進行計算.

2

【解答】解：

原式=。2+6。+9-(J-])-4。-8

=2。+2

將a=-山弋入原式=2X(-1)+2=1

22

【點評】本題主要考查整式的混合運算，靈活運用兩條乘法公式：完全平方公式和平方

差公式是解題的關鍵，同時，在去括號的過程中要注意括號前的符號，若為負號，去括

號后，括號里面的符號要改變

20.(6分)如圖，正方形ABC。的對角線4C、8。相交于點O,E是OC上一點，連接E8.過

點A作垂足為AM與8。相交于點E求證：OE=OF.

【分析】根據(jù)正方形的性質對角線垂直且平分，得到08=04,根據(jù)AMLBE,即可得

出/ME4+/M4E=90°^ZAFO+ZMAE,從而證出RtAB0E^RtA/10F,得到0E=

OF.

【解答】證明：???四邊形ABC。是正方形.

：.ZBOE^ZAOF=90Q,OB=OA.

又

NMEA+NM4E=90°=ZAFO+ZMAE,

：.ZMEA=ZAFO.

：./\BOE^/\AOF（A4S）.

：.OE=OF.

【點評】本題主要考查了正方形的性質、三角形全等的性質和判定，在應用全等三角形

的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形.

21.（8分）某校初中部舉行詩詞大會預選賽，學校對參賽同學獲獎情況進行統(tǒng)計，繪制了

如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請結合圖中相關數(shù)據(jù)解答下列問題：

X18

X16

4

X1

2

X1

0

X1

8

6

4

2

0

（1）參加此次詩詞大會預選賽的同學共有40人;

（2）在扇形統(tǒng)計圖中，“三等獎”所對應的扇形的圓心角的度數(shù)為90°；

（3）將條形統(tǒng)計圖補充完整；

（4）若獲得一等獎的同學中有工來自七年級，工來自九年級，其余的來自八年級，學校

42

決定從獲得一等獎的同學中任選兩名同學參加全市詩詞大會比賽，請通過列表或樹狀圖

方法求所選兩名同學中，恰好是一名七年級和一名九年級同學的概率.

【分析】（1）利用鼓勵獎的人數(shù)除以它所占的百分比得到的總人數(shù)；

（2）用360。乘以二等獎人數(shù)占被調查人數(shù)的比例即可得；

（3）計算出一等獎和二等獎的人數(shù)，然后補全條形統(tǒng)計圖；

（4）畫樹狀圖（用A、B、C分別表示七年級、八年級和九年級的學生）展示所有12種

等可能的結果數(shù)，再找出所選出的兩人中既有七年級又有九年級同學的結果數(shù)，然后利

用概率公式求解.

【解答】解：(1)參加此次詩詞大會預選賽的同學共有18?45%=40(人),

故答案為：40；

(2)扇形統(tǒng)計圖中獲三等獎的圓心角為360°X迫_=90°,

40

故答案為：90°.

(3)獲二等獎的人數(shù)=40X20%=8,一等獎的人數(shù)為40-8-10-18=4(人),

條形統(tǒng)計圖為：

X18

A16

4

x1

2

X1

0

X1

8

6

4

2

0

(4)由題意知，獲一等獎的學生中，七年級有1人，八年級有1人，九年級有2人，

畫樹狀圖為：(用A、B、C分別表示七年級、八年級和九年級的學生)

ABCC

/1\/1\/T\/N

BCcAcCABCABC

共有12種等可能的結果數(shù)，其中所選出的兩人中既有七年級又有九年級同學的結果數(shù)為

4,

所以所選出的兩人中既有七年級又有九年級同學的概率-￡=2.

123

【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法:利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果力,

再從中選出符合事件A或8的結果數(shù)目，“然后利用概率公式求事件A或8的概率.也

考查了統(tǒng)計圖.

22.(8分)如圖，點。是以為直徑的。。上一點，過點8作。。的切線，交A。的延

長線于點C,E是8C的中點，連接OE并延長與4B的延長線交于點F.

(I)求證：。尸是。0的切線；

(2)若0B=BF,EF=4,求A3的長.

【分析】(1)連接。。，由AB為。。的直徑得/8￡>C=90°,根據(jù)8E=EC知/1=/3、

由0。=08知/2=N4,根據(jù)8c是。。的切線得/3+N4=90°,即/1+/2=90°,

得證；

(2)根據(jù)直角三角形的性質得到NP=30°,BE=LEF=2,求得DE=BE=2,得到

2

DF=6,根據(jù)三角形的內角和得到。。=。4,求得/A=NAZ)O=L/8。。=30°,根

2

據(jù)等腰三角形的性質即可得到結論.

【解答】解：(1)如圖，連接。。，BD,

：AB為。。的直徑，

AZADB=ZBDC=90°,

在RtZiBQC中，'：BE=EC,

：.DE=EC=BE,

；.Nl=/3,

；BC是OO的切線，

；./3+N4=90°,

.".Zl+Z4=90°,

又；N2=/4,

.,.Zl+Z2=90°,

.?.OF為。0的切線；

(2)，：OB=BF,

：.OF^2OD,

：.ZF=30°,

?：NFBE=90°,

:.BE=LEF=2,

2

:.DE=BE=2,

：.DF=6,

VZF=30°,ZODF=90°,

AZFOD=60°,

?/00=04,

AZA=ZADO=L7BOD=30°,

2

:.ZA=ZF,

：.AD=DF=6.

【點評】本題考查了切線的判定和性質，直角三角形的性質，等腰三角形的判定和性質,

正確的作出輔助線是解題的關鍵.

四、B卷填空題(共2小題，每小題5分，共10分)

23.(5分)當0WxW3時，直線與拋物線丁=(x-1)2-3有交點，則〃的取值范圍

是-1.

【分析】直線y=a與拋物線>=(x-1)2-3有交點，則可化為一元二次方程組利用根

的判別式進行計算.

【解答】解：

法一：y=n與拋物線了=(x-1#-3有交點

則有a—(x-1)2-3,整理得x2-2x-2-a—0

-4ac=4+4(2+a)

解得-3,

對稱軸x=l

.，.y=(3-1)2-3=1

aW1

法二：由題意可知，

?.?拋物線的頂點為(1,-3),而0<W3

拋物線y的取值為-

'：y=a,則直線y與x軸平行,

.?.要使直線y=a與拋物線丫=（x-1/-3有交點，

???拋物線y的取值為-3WyWl,即為。的取值范圍，

故答案為：-3Wa〈l

【點評】此題主要考查二次函數(shù)圖象的性質及交點的問題，此類問題，通常可化為一元

二次方程，利用根的判別式或根與系數(shù)的關系進行計算.

24.（5分）如圖，正方形ABCC中，AB=\2,AE=1AB,點尸在BC上運動（不與8、C

4

重合），過點P作P0_LEP,交CO于點。，則C。的最大值為4.

【分析】先證明△BPEs^CQP,得到與C。有關的比例式，設CQ=?BP=x,貝UCP

=12-x,代入解析式，得到y(tǒng)與x的二次函數(shù)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質可求最值.

【解答】解：:NBEP+NBPE=90°,ZQPC+ZBPE=90°,

：.ZBEP=ZCPQ.

又NB=NC=90°,

:./\BPEs4CQP.

?BE_BP

"'PC^CQ-

設CQ=y,BP=x,則CP=n-x.

_2_=三，化簡得y=(x2-⑵),

12-xy9

整理得），=-2(x-6)2+4>

9

所以當x=6時，y有最大值為4.

故答案為4.

【點評】本題主要考查了正方形的性質、相似三角形的判定和性質，以及二次函數(shù)最值

問題，幾何最值用二次函數(shù)最值求解考查了樹形結合思想.

五、解答題（共4小題，共40分）

25.（8分）已知二次函數(shù)），=/+犬+。的圖象與》軸交于4G1,0）、從孫0）兩點，且三+三

X1x2

=1,求Q的值.

【分析】有韋達定理得制+%2=-I,xrx2=?,將式子?」2+」2=1化簡代入即可；

X]x2

【解答】解：y=/+x+a的圖象與x軸交于4（xi,0）、B（%2,0）兩點，

AXI+X2=-LXi*xi=a,

..1I1—xj+x2.（Xi+x2）2-2xiX2」_2ah

,222~2~~/72-T~'

xjX2x1X2（X[X2）a

.,.a=-1+避或。=-1-A/2：

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質；靈活運用完全平方公式，掌握根與系數(shù)的關系是解

題的關鍵.

26.（10分）根據(jù)有理數(shù)乘法（除法）法則可知：

①若乃>0（或旦>0）,則|、或|；

bb>0b<0

②若/<0（或且<0）,則1或1

bb<0b>0

根據(jù)上述知識，求不等式（x-2）（x+3）>0的解集

（x-2>0（x-2<0

解：原不等式可化為:（1）;或（2）二.

.x+3>0[x+3<0

由（1）得，x>2,

由（2）得，x<-3,

原不等式的解集為：》<-3或》>2.

請你運用所學知識，結合上述材料解答下列問題：

（1）不等式?-2x-3<0的解集為-l〈x<3.

（2）求不等式上嗎V0的解集（要求寫出解答過程）

1-x

【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)乘法運算法則可得不等式組，仿照有理數(shù)乘法運算法則得出兩

個不等式組，分別求解可得.

（2）根據(jù)有理數(shù)除法運算法則可得不等式組，仿照有理數(shù)除法運算法則得出兩個不等式

組，分別求解可得.

V—3^^0Y—0

【解答】解：⑴原不等式可化為：①;或②1.

x+l<0|x+l>0

由①得，空集，

由②得，

.?.原不等式的解集為：

故答案為：

,.,4.dfx+4>0fx+4<C0

（2）由至Y上<0知①I或②I,

1-x1-x<C0[l-x>0

解不等式組①，得：X>1；

解不等式組②，得：x<-4；

所以不等式五&<0的解集為x>1或x<-4.

1-x

【點評】本題主要考查解不等式、不等式組的能力，將原不等式轉化為兩個不等式組是

解題的關鍵.

27.（10分）如圖，NABD=NBCD=90°,QB平分NAOC,過點B作BM〃CQ交AO于

M.連接CM交QB于N.

（1）求證：BD1=AD'CD；

（2）若CD=6,4。=8,求MN的長.

【分析】（1）通過證明可得地型，可得結論；

BDCD

（2）由平行線的性質可證N何BD=NBOC,即可證AM=MO=MB=4,由8￡>2=A/>C。

和勾股定理可求MC的長，通過證明△MNBS^CN。，可得典叁=2,即可求MN的

CD-CN_3

長.

【解答】證明：（1）平分NAOC,

：.NADB=NCDB,且/AB￡)=NBCO=90°,

:AABDsABCD

.AD_BD

,?麗F

：.BD2=AD'CD

(2),:BM//CD

：.ZMBD=ZBDC

；.NADB=NMBD,且NABQ=90°

:.BM=MD,ZMAB^ZMBA

：.BM=MD=AM=^4

"：BD1=AD'CD,且C￡>=6,AO=8,

ABD2=48,

.*.BC2=BD2-CD2=12

：.MC1=MB2+BC2=2S

:.MC=25

'：BM//CD

:AMNes/xCND

.?.現(xiàn)=MN=2,且MC=2A/V

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理，直角三角形的性質，求MC

的長度是本題的關鍵.

28.(12分)如圖，拋物線丫=0?+法+’的圖象過點A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使得△以C的周長最小，若存在，請求出點

P的坐標及△以C的周長：若不存在，請說明理由：

(3)在(2)的條件下，在x軸上方的拋物線上是否存在點M(不與C點重合)，使得S

^PAM—SAPAC^若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)由于條件給出拋物線與x軸的交點4(-1,0),B(3,0),故可設交點式

y=a(x+1)(x-3),把點C代入即求得。的值，減小計算量.

(2)由于點A、B關于對稱軸：直線x=l對稱，故有鞏=PB,貝CAMC=AC+PC+B4

^AC+PC+PB,所以當C、P、B在同一直線上時，CA?IC=AC+CB最小.利用點A、B、

C的坐標求AC、C8的長，求直線BC解析式，把x=l代入即求得點P縱坐標.

(3)由必陽”=弘《4c可得，當兩三角形以出為底時，高相等，即點C和點M到直線

以距離相等.又因為M在x軸上方，故有CM〃刑.由點A、P坐標求直線AP解析式,

即得到直線CM解析式.把直線CM解析式與拋物線解析式聯(lián)立方程組即求得點M坐標.

【解答】解：(1)???拋物線與x軸交于點4(-1,0)、B(3,0)

，可設交點式y(tǒng)=a(x+1)(x-3)

把點C(0,3)代入得：-3a=3

.".a--1

?*.y=-(x+1)(x-3)=-/+2x+3

.?.拋物線解析式為y=-/+2x+3

(2)在拋物線的對稱軸上存在一點P,使得△以C的周長最小.

如圖1,連接PB、BC

；點P在拋物線對稱軸直線x=1上，點A、B關于對稱軸對稱

：.PA=PB

：.CAPAC=AC+PC+PA=AC+PC+PB

?.?當C、P、B在同一直線上時，PC+PB=CB最小

\'A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)

：.AC=712+32=V10,BC=V32+32=3>/2

，C△以c=AC+CB=V73+SV^最小

設直線BC解析式為y=fcr+3

把點B代入得：3%+3=0,解得：k=-1

直線BC：y=-x+3

，