人教版導(dǎo)與練總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)一輪課時作業(yè)：第七章第6節(jié)第二課時　求空間角與距離

第二課時求空間角與距離

靈活方醫(yī)方致偎影

課時作業(yè)

綜合運(yùn)

知識點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練應(yīng)用創(chuàng)新練

用練

用空間向量求異面直線所

1

成的角

用空間向量求直線與平面

2,4,911

所成的角

用空間向量求二面角312

用空間向量求距離6,8

13,14,15,

綜合問題5,7,1017,18

16

A級基礎(chǔ)鞏固練

1.如圖所示,在正方體ABCD-ABCR中，已知M,N分別是BD和AD的中

點(diǎn)，則BM與ON所成角的余弦值為（C）

c.

A.叵

30B彎

「同

L.-----

10D?普

解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.

設(shè)正方體的棱長為2,

貝(JB12,2,1,0),

?(0,0,2),N(l,0,0),

所以3%=(-1,-1,-2),

%N=(l,0,-2),

所以BM與D,N所成角的余弦值為'DiN―卜1+4_痂*r

B；M山;N一否苒而FT取皮L

2.如圖，已知長方體ABCD-ABCD中，AD=AAi=l,AB=3,E為線段AB上一

點(diǎn),且AE=1AB,則DC,與平面D.EC所成角的正弦值為(A)

3V352V7

DD.

35-------7

V3nV2

—U.—

34

解析:如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD所在直線分別為x軸、y軸、z

軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則C,(0,3,1),D.(0,0,1),E(1,1,0),C(0,3,0),

所以DCi=(0,3,1),5E=(1,1,-1),DiC=(0,3,-1).

設(shè)平面D]EC的法向量為n=(x,y,z),

n,D]E=0,(x+y-z=0,

則

—>(3y-z=0,

n,D^C=0,

取y=l,得n=(2,l,3).

所以cos<￡>67n>=1>n

1；iDCjlIn35

所以DC,與平面D,EC所成的角的正弦值為嘿.故選A.

3.在正方體ABCD_ABCD中，點(diǎn)E為BB,的中點(diǎn),則平面A,ED與平面

ABCD所成的銳二面角的余弦值為(B)

C.—D.—

32

解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,設(shè)正方

體ABCD-A.B,C,D,的棱長為1,則A,(0,0,1),E(l,0,1),D(0,1,0),

所以乙。二(0,1,-1),4^=(1,0,-1),

設(shè)平面A.ED的法向量為n,=(l)y,z),

卜.A?=0,即仁=0，所以3=2,

“l(fā)八1-z=0,lz=2,

Mi?ArE=0,l2

所以ni=(l,2,2).

又平面ABCD的一個法向量為ih=(0,0,1),

所以cos<nbn2>=-^-=|,

?3XA5

即平面A.ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為宗故選B.

4.如圖，正三棱柱ABC-ABG的所有棱長都相等，E,F,G分別為

AB,AAi,AC的中點(diǎn)，則BF與平面GEF所成角的正弦值為（A）

r3V3n3V6

L.---U.---

1010

解析:設(shè)正三棱柱ABC-A.B,C.的棱長為2,取AC的中點(diǎn)D,連接DG,DB,

以D為原點(diǎn)，分別以DA,DB,DG所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空

間直角坐標(biāo)系Dxyz,如圖所示，

則B,(0,V3,2),F(l,0,1),E(j,y,0),G(0,0,2),

所以B；F=(1,-V3,-1),EF=4-亨，1),GF=(1,0,-1).

設(shè)平面GEF的法向量為n=(x,y,z),

—>

則.-n=O,

、GF?n=0,

flV3,

即%4一三y+z=°n，

lx-z=0,

取x=l,貝Ijz=l,y=V3,

故n=(l,V3,1)為平面GEF的一個法向量，

所以cos〈n,BiF〉=￡^=q,

所以BF與平面GEF所成角的正弦值為|.故選A.

5.已知棱長為3的正四面體A-BCD的底面BCD確定的平面為a,P是

a內(nèi)的動點(diǎn),且滿足PAN2PD,則動點(diǎn)P的集合構(gòu)成的圖形的面積為

(B)

C.4nD.無窮大

解析:如圖，以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

由題意，得A到a的距離為逐，

則A(f,—去V6),D(0,0,0),

設(shè)P(x,y,0),

所以PA2=(xq)2+(y+|)2+6,

PD2=x2+y2,

又PA22PD,

所以(x-爭2+(y+/+624(x2+y2),

整理得x'+jx+yJyW3,

所以（X+噂

6Z3

即P的集合是半徑為谷的圓（含圓內(nèi)部），

所以圖形的面積為等.

故選B.

6.（2021?江西南昌調(diào)研）已知三棱錐P_ABC的所有頂點(diǎn)都在球。的球

面上，AABC滿足AB=2V2,ZACB=90°,PA為球0的直徑,且PA=4,則

點(diǎn)P到底面ABC的距離為（B）

A.V2B.2V2

C.V3D.2V3

解析：因?yàn)槿忮FP-ABC的所有頂點(diǎn)都在球0的球面上,且直徑PA=4,

所以球心。是PA的中點(diǎn),連接0C,

則球0的半徑R=0C=1PA=2.

過點(diǎn)0作（^^平面ABC,垂足為D,則D為AABC外接圓的圓心，

連接CD（圖略）.

在AABC中,AB=2也ZACB=90°,

所以D為AB的中點(diǎn)，且AD=BD=CD=V2,

所以O(shè)D=VOC2-CD2=V4Z2=V2,

所以點(diǎn)P到底面ABC的距離d=20D=2V2.

故選B.

7.（多選題）（2021?山東青島期末）如圖，正方體ABCD-ABCD的棱長

為1,則下列四個結(jié)論正確的是（ABD）

A.直線BC與平面ABCD所成的角為：

B.點(diǎn)C到平面ABCD的距離為亨

C.異面直線D,C與BG所成的角為；

D.三棱柱AAD_BB￡外接球的半徑為日

解析:正方體ABCD-ABCD的棱長為1,直線BC與平面ABCD所成的角

為NCBCW，故A正確；連接B￡（圖略），由B1C±BC1,B1C±AB,BC,n

AB=B,BCbABu平面ABC.Db得B￡_L平面ABCD,所以點(diǎn)C到平面ABC.D.

的距離為BC長度的一半，即今故B正確；因?yàn)锽C./ZADB所以異面直

線D,C與BG所成的角為NADC連接AC（圖略），則4ADC為等邊三角

形,故異面直線D,C與BG所成的角為全故C錯誤;三棱柱AAD一BBC

的外接球也是正方體ABCD-ABCD的外接球，故外接球的半徑為

+冶,故D正確故選ABD.

8.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分別是CD,PC的中點(diǎn),

并且PA=AD=1.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中,MN=.

解析:連接PD（圖略），因?yàn)镸,N分別為CD,PC的中點(diǎn),所以MN=|PD,

又P（0,0,l）,D（0,1,0）,

所以|而|=］。2+12+（_1）2=魚，

所以MN號.

答案號

9.（2021?河北承德期末）已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形，

NBAD=60°,PD，平面ABCD,且PD=AB,點(diǎn)E是棱AD的中點(diǎn),F在棱PC

上.若PF：FC=1：2,則直線EF與平面ABCD所成角的正弦值

為.

解析:如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.

設(shè)菱形ABCD的邊長為2,

則D(0,0,0),E(g.0),F(0,工),所以薪=》.

LLJJZoo

又平面ABCD的一個法向量為n=(0,0,1),

所以cos<EF,n>=]3=_

J呼)2+(62+?35

即直線EF與平面ABCD所成角的正弦值為警.

10.（2021?山東德州模擬）如圖,P_ABC是一個三棱錐,AB是圓的直

徑,C是圓上的一點(diǎn),PC垂直于圓所在的平面,D,E分別是棱PB,PC的

中I占八、、?

C

⑴求證:DE_L平面PAC;

(2)若二面角A-DE-C是45°,AB=PC=4,求AE與平面ACD所成角的正

弦值.

⑴證明：因?yàn)锳B是圓的直徑，

所以BC_LAC,因?yàn)镻C垂直于圓所在的平面,BCu平面ABC,

所以PC_LBC,

又因?yàn)锳CGPC=C,ACu平面PAC,PCu平面PAC,

所以BC_L平面PAC.

因?yàn)镈,E分別是棱PB,PC的中點(diǎn)，

所以BC/7DE,從而有DE_L平面PAC.

(2)解：由⑴可知，DE±AE,DE1EC,

所以NAEC為二面角A-DE.C的平面角，

從而有NAEC=45°,

則AC=EC=1PC=2,

又BC±AC,AB=4,得BC=2V3.

—>—,—>

以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CB,CA,CP的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz,

則C(0,0,0),A(0,2,0),E(0,0,2),B(26,0,0),P(0,0,4),D(V3,0,2),

所以族=(0,-2,2),CA=(0,2,0),CD=(V3,0,2).

設(shè)n=(x,y,z)是平面ACD的法向量,

—>

則n??=0,

.11,CD=0,

可取n=(2,0,-V3),

故|cos<n,?季=鬻,

|n|\AE\14

所以AE與平面ACD所成角的正弦值為當(dāng).

14

B級綜合運(yùn)用練

11.如圖，已知圓柱00“A在圓0上,A0=l,00^72,P,Q在圓0i上,且滿

足PQ=^，則直線AOi與平面OPQ所成角的正弦值的取值范圍是

(A)

解析:取PQ中點(diǎn)M,則0MLPQ,

以點(diǎn)0i為坐標(biāo)原點(diǎn),M0,所在直線為x軸,00i所在直線為z軸,建立如

圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則0(0,0,-V2),P呼,-y,0),Q(Ty,0),

OP=4,V2),OQ=V2),

設(shè)平面OPQ的法向量為m=(x,y,z),

m,OP=--x~—y+V2z=0,

則，-33

m?OQ=-手尢+4,+V2z=0,

取x=V3,則y=0,z=l,

所以m=(VX0,1),設(shè)A(cos9,sin。，-/)，直線AOi的方向向量為

->_

n=O]4=(cos9,sin9,~V2),

所以直線A0,與平面OPQ所成角的正弦值為‘各人二

m?n2V3

也誓_￡[0,等].故選A.

12.二面角的棱上有A,B兩點(diǎn),直線AC,BD分別在這個二面角的兩個半

平面內(nèi)，且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2V17,則該二面角

的大小為(C)

A.150°B.45°C.60°D.120°

解析:如圖所示,二面角是<4C,BD>.

^^}CD=CA+AB+BD,

—>TTT—>-?—?—>—>-4

所以亦=042+432+3。2+2(CA?AB+CA?BD+AB?8。)=

CA2+AB2+BD2+2CA?BD,

所以C4?BD=1x[(2V17)2-62-42-82]=-24.

TT

因?yàn)?c?BD=24,

cos<4C,BD>=—AC——-B—D1

\AC\\BD\2

—>—>

所以<4C,BD>=60°,故二面角為60°.故選C

13.如圖，菱形ABCD中，NABC=60°,AC與BD相交于點(diǎn)0,AEJ_平面

ABCD,CF〃AE,AB=2,CF=3.若直線OF與平面BED所成的角為45°,則

AE=.

解析:如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以0A,0B所在直線分別為x軸、y軸，過

點(diǎn)0且平行于CF的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)AE=a(a>0),

則B(0,V3,0),D(0,-V3,0),F(-l,0,3),E(l,0,a),

->—,—>

所以0尸=(一1,0,3),08=(0,2V3,0),EB=(-l,V3,-a).

設(shè)平面BED的法向量為n=(x,y,z),

則n?"=0,即產(chǎn)y=0,

[n>EB=0,(一汽+V3ynz=0,

貝Iy=0,取z=l,得x=-a,

所以n=(-a,0,1),

rrIU/二…n?OFa+3

所以cos<n,0F>----

In\OFVa2+lxvl0

因?yàn)橹本€OF與平面BED所成角的大小為45

a+3V2

所以

Va2+lxV10w

解得a=2或［（舍去）,

所以AE=2.

答案：2

14.在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，ZDAB=

60°,PA=PD,NAPD=90°,平面PAD,平面ABCD,點(diǎn)Q是APBC內(nèi)（含邊

界）的一個動點(diǎn)，且滿足DQ±AC,則點(diǎn)Q所形成的軌跡長度

是.

解析:如圖,連接BD,交AC于點(diǎn)0,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,

所以AC_LBD.

取PC上一點(diǎn)M,連接MD,MB,且DM±AC,

又AC±BD,BDnDM=D,BDu平面BDM,DMu平面BDM,

所以AC_L平面BDM,則點(diǎn)Q的軌跡是線段BM.

以0為原點(diǎn),OA所在直線為X軸,0B所在直線為y軸,過點(diǎn)0且垂直于

平面ABCD的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則0(0,0,0),A(V3,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),P(9,TD，

C(-V3,0,0),所以&=(6,0,0),防=(1,1),命=(-竽,

3。=(0,-2,0).

設(shè)PM=入PC,0W入W1,則OM=OP+PM=DP+入PC=碎,5,1)+入

空…),22

貝向鏢-苧入，沙,1-人).

因?yàn)镺A_LDM,

—>—>

所以04?DM=0,

解得入q

所以晶=(0,|,)

BM^BD+DM=(0,-2,0)+(0,|,|)=(0,g|),

所以BM\=2+(|)2:竽

即點(diǎn)Q所形成的軌跡長度為詈.

答案:空5

15.如圖，平面內(nèi)直線EF與線段AB相交于點(diǎn)C,NBCF=30°,且

AC=CB=4,將此平面沿直線EF折成60°的二面角a_EF_B,BPJ_

平面a,點(diǎn)P為垂足.

'BB

E

F<=>

(1)求AACP的面積;

⑵求異面直線AB與EF所成角的正切值.

解:法一(建系法)

⑴如圖,在平面a內(nèi)，過點(diǎn)P作PM_LEF,點(diǎn)M為垂足,連接BM,則ZBMP

為二面角a-EF-P的平面角.以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線PM為x軸,射

線PB為z軸的正半軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Pxyz.

在RtABMC中，由ZBCM=30°,CB=4,

得CM=2V3,BM=2.

在RtABMP中，由ZBMP=60°,BM=2,

得MP=1,BP=V3.

故P(0,0,0),B(0,0,V3),C(-1,-2V3,0),M(-l,0,0).

由NACM=150°,

得A(l,-46,0).

所以(1,2V3,0),CA=(2,-2V3,0),

貝Ijcp?C4=-10,cosNACP=-島，

sinNACP=軍.

2V13

因此S.CP=，CA|?|CP|?sinZACP=3V3.

(2)由(1)得總=(1,-46,-包

MC=(O,-2V3,0),

—>—>

BA?MC=24,

cos<BA,MC>=^fl,

V13

所以sin<BA,MC>=^=,

V13

tan<BA,MC>=^-.

6

所以AB與EF所成角的正切值為￡

o

法二(幾何法)

(1)如圖,在平面a內(nèi)，過點(diǎn)P作PM_LEF,點(diǎn)M為垂足,

連接BM,則NBMP為二面角a_EF_P的平面角.

在RtABMC中，由ZBCM=30°,CB=4,

得CM=2V3,BM=2.

在RtABMP中，由ZBMP=60°,BM=2,

得MP=1.

在RtACMP中，由CM=2V3,MP=1,

得CP=V13,cosZPCM=^,

sinZPCM=^=.

故sinNACP=sin(150。-NPCM)=焉，

所以S&CP=1|CA|?|CP|?sinZACP=3V3.

(2)如圖,過點(diǎn)A作AQ〃EF,交MP于點(diǎn)Q,

則NBAQ是AB與EF所成的角，且AQ_L平面BMQ.

作ANLEF,垂足為N,

因?yàn)镻MLEF,AQ±QM,

所以四邊形AQMN為矩形，所以AN=QM,

因?yàn)镹ACM=150°,AC=4,所以AN=QM=2.

在△BMQ中，由ZBMQ=60°,BM=MQ=2,得BQ=2.

在RtABAQ中，由AQ=AC?cos30°+CM=4V3,BQ=2,

得tanNBAQ=^=省.

AQ6

因此AB與EF所成角的正切值為￡

6

16.(2021?山東濰坊二模)請從下面三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下

面的橫線上,并作答.

①AB_LBC;②FC與平面ABCD所成的角為匕③NABC=J

如圖,在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形,PA_L平面ABCD,且

PA=AB=2,PD的中點(diǎn)為F.

(1)在線段AB上是否存在一點(diǎn)G,使得AF〃平面PCG?若存在,指出G

在AB上的位置并給以證明；若不存在，請說明理由；

(2)若,求二面角F-AC-D的余弦值.

解：(1)存在線段AB的中點(diǎn)G,使得AF〃平面PCG.

證明如下：

如圖所示,設(shè)PC的中點(diǎn)為H,連接FH,GH.

因?yàn)镕,H分別為PD,PC的中點(diǎn)，

所以FH〃CD,FH=|CD,

在菱形ABCD中，因?yàn)镚為AB的中點(diǎn)，

所以AG〃CD,AG=：CD,

所以FH〃AG,FH=AG,

所以四邊形AGHF為平行四邊形，

所以AF〃GH.

又GHu平面PCG,AFQ平面PCG,

所以AF〃平面PCG.

(2)選擇①,AB±BC.

因?yàn)镻A_L平面ABCD,ABu平面ABCD,ADu平面ABCD,

所以PA_LAB,PA_LAD,

所以AB,AD,AP兩兩相互垂直，以A為原點(diǎn),AB,AD,AP所在的直線分別

為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)镻A=AB=2,

所以A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),F(0,1,1),

所以4F=(0,1,l),CF=(-2,-l,1).

設(shè)平面FAC的法向量為u=(x,y,z),

則〃?人產(chǎn)=y+z=°，

?CF=-2x-y+z=0,

取y=l,得u=(-l,1,-1).

易知平面ACD的一個法向量為v=(0,0,1),

設(shè)二面角F-AC-D為9,

由圖知二面角F-AC-D為銳二面角，

所以二面角F-AC-D的余弦值為學(xué)

選擇②,FC與平面ABCD所成的角為g

6

如圖，取BC的中點(diǎn)E,連接AE,取AD的中點(diǎn)M,連接FM,CM,

則FM〃PA,且FM=1.

因?yàn)镻A_L平面ABCD,

所以FM_L平面ABCD,

所以FC與平面ABCD所成的角為NFCM,

所以NFCM《.

在RtAFCM中,CM=N=4=K.

tan-12

6T

又CM=AE,

所以AE2+BE2=AB2,

所以BC_LAE,

又BC〃AD,

所以AE_LAD.

因?yàn)镻A_L平面ABCD,ADu平面ABCD,

AEu平面ABCD,

所以PA_LAD,PA±AE,

所以AE,AD,AP兩兩相互垂直，以A為原點(diǎn),AE,AD,AP所在直線分別為

x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)镻A=AB=2,

所以A(0,0,0),C(V3,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),F(0,1,1),

―,—,

4F=(0,1,1),CF=(-V3,0,1).

設(shè)平面FAC的法向量為m=(x,y,z),

m?AF=y+z=0,

.m?CF=-y/3x+z=0,

取x=6,得m=(6,-3,3).

易知平面ACD的一個法向量為n=(0,0,1),

設(shè)二面角F_AC_D為。,

由圖知二面角F-AC-D為銳二面角,

所以二面角F-AC-D的余弦值為手.

選擇③，ZABC=J

取BC的中點(diǎn)E,連接AE.

因?yàn)镻AL平面ABCD,AEu平面ABCD,

ADu平面ABCD,

所以PA_LAE,PA±AD,

因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，ZABC=p

所以AABC是正三角形.

因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，

所以BC_LAE,

所以AE,AD,AP兩兩相互垂直，以A為原點(diǎn),AE,AD,AP所在直線分別為

x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

以下同選擇②.

C級應(yīng)用創(chuàng)新練

17.(2021?江西上饒模擬)如圖所示,正方形AADD與矩形ABCD所在

平面互相垂直,AB=2AD=2,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn).

⑴求證:B。〃平面ADE;

⑵設(shè)在線段AB上存在點(diǎn)M,使二面角D.-MC-D的大小為三,求此時AM

6

的長及點(diǎn)E到平面D,MC的距離.

(1)證明：連接ADi交A,D于點(diǎn)0,連接0E,因?yàn)樗倪呅蜛ADD為正方形,

所以。是ADi的中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)E為AB的中點(diǎn),

所以E0為448口的中位線,

所以EO〃BDi.

又因?yàn)锽DQ平面A.DE,OEu平面ADE,

所以BD〃平面ADE.

(2)解：因?yàn)槠矫鍭ADD_L平面ABCD,平面AADDA平面ABCD=AD,

DD」AD,DDu平面AADD,所以DJ)_L平面ABCD,以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA,

DC,DD所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，

則D(0,0,0),C(0,2,0),Ai(1,0,1),D(0,0,1),B(1,2,0),E(1,1,0),

設(shè)M(l,y。,0)(0Wy°W2),

->—>

所以MC=(-1,2-y0,0),D1C=(0,2,-1),

設(shè)平面DiMC的法向量為m=(x,y,z),

則%.MC=0,

%?D]C=0,

加r%+y(2—yo)=o,

(2y-z=0,

取y=l,則ni=(2-y0,1,2).

而平面MCD的一個法向量為n2=(0,0,1).

要使二面角D-MC-D的大小為2

O

nn

貝Ijcos-=|cos<nbn2>|二11[二

6%n21

_______2________V3

2222

J(2-y0)+l+2

解得y0=2噂(0Wy°W2),

故AM=2-y,

此時rh=(苧,1,2),D；E=(1,1,-1).

故點(diǎn)E至！J平面D.MC的距離為dJL以阜竽