【教案】第三章圓錐曲線的方程+總體設(shè)計高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

《圓錐曲線的方程》總體設(shè)計I總體設(shè)計解析幾何是數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的標(biāo)志性成果，是微積分創(chuàng)立的基礎(chǔ).本章將在“直線和圓的方程”的基礎(chǔ)上，通過行星運行軌道、拋物運動軌跡等，使學(xué)生了解圓錐曲線的背景與應(yīng)用幫助學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中，認(rèn)識橢圓、雙曲線、拋物線的幾何特征，建立它們的標(biāo)準(zhǔn)方程；運用代數(shù)方法進(jìn)一步認(rèn)識圓錐曲線的性質(zhì)以及它們的位置關(guān)系；運用平面解析幾何方法解決簡單的數(shù)學(xué)問題和實際問題，感悟平面解析幾何中蘊含的數(shù)學(xué)思想；提升直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).以上是《標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對本章內(nèi)容的總體定位，也是本章編寫的總體指導(dǎo)思想.一、本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解圓錐曲線的實際背景，例如，行星運行軌道、拋物運動軌跡、探照燈的鏡面，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì).3.了解拋物線與雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡單幾何性質(zhì).4.通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.5.了解橢圓、拋物線的簡單應(yīng)用.6.了解解析幾何產(chǎn)生和發(fā)展的過程、重要結(jié)果、主要人物、關(guān)鍵事件及其對人類文明的貢獻(xiàn).二、本章知識結(jié)構(gòu)框圖三、內(nèi)容安排首先，本章的研究對象是圓錐曲線（幾何圖形），研究過程中，數(shù)形結(jié)合思想和坐標(biāo)法統(tǒng)領(lǐng)全局.教科書按橢圓、雙曲線、拋物線的順序安排了三節(jié)內(nèi)容，三種圓錐曲線的研究內(nèi)容、過程和方法是“同構(gòu)”的，對每一種圓錐曲線都是按照“曲線的幾何特征—曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程—通過方程研究曲線的性質(zhì)—應(yīng)用”的過程展開，在具體展開過程中，教科書把橢圓作為重點，強(qiáng)調(diào)它的典型示范作用，注重數(shù)學(xué)思想和基本方法的引領(lǐng)性，雙曲線、拋物線的研究通過類比橢圓來完成.第二，曲線與方程的關(guān)系（一種充要條件）是討論各種具體問題的基礎(chǔ)，與前一章內(nèi)容的處理方式一樣，本章仍然采取在建立圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程后，就著方程的建立過程討論“曲線上點的坐標(biāo)都滿足方程”“以方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上”.這樣處理，既不失科學(xué)性，又不讓學(xué)生感到過于抽象，可以使學(xué)生在潛移默化中體驗曲線與方程之間的一一對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步理解通過方程研究曲線性質(zhì)的合理性，使理性思維得到培養(yǎng).第三，圓錐曲線是高中解析幾何課程的重要內(nèi)容，是平面幾何沒有涉及的.根據(jù)解析幾何的學(xué)科特點，教科書在對這些曲線的研究中都貫徹了“先用幾何眼光觀察與思考，再用坐標(biāo)法解決”的策略.對于每一種圓錐曲線，都加強(qiáng)了概念的抽象過程，強(qiáng)調(diào)在探索、明確其幾何特征（主要是對稱性）的基礎(chǔ)上，再利用幾何特征建立坐標(biāo)系、求出標(biāo)準(zhǔn)方程，然后通過方程、運用代數(shù)方法進(jìn)一步認(rèn)識圓錐曲線的性質(zhì)以及它們的位置關(guān)系，從而促進(jìn)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)的發(fā)展.第四，圓錐曲線的統(tǒng)一定義表明三種曲線之間的內(nèi)在聯(lián)系，是非常重要的，而“個性定義”的幾何特征非常突出，特別是，我們可以根據(jù)橢圓的定義方便地得到其圖形，通過直觀就能發(fā)現(xiàn)橢圓的基本特征—對稱性.因此，與以往的處理方式一樣，教科書以三種曲線的“個性特征”為明線，分別定義三種曲線同時，為了使學(xué)生能了解統(tǒng)一定義，教科書以“具體例子+拓展性素材”的方式進(jìn)行滲透和明確，并在引出拋物線概念時進(jìn)行適當(dāng)歸納.第五，教科書雖然沒有明確給出求曲線的方程的一般步驟，但在求圓錐曲線的方程時進(jìn)行了滲透：（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,用有序?qū)崝?shù)對表示曲線上任意一點的坐標(biāo);（2）寫出適合條件的點的集合;（3）用坐標(biāo)表示條件,列出方程;（4）化方程為最簡形式;（5）說明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上.同時，通過“思考”“探究”等欄目，讓學(xué)生自己推出不同坐標(biāo)系下的標(biāo)準(zhǔn)方程，達(dá)到既熟練推導(dǎo)過程又加強(qiáng)代數(shù)運算的訓(xùn)練，并使學(xué)生把握標(biāo)準(zhǔn)方程的多樣性表示.第六，在研究圓錐曲線的范圍、對稱性、頂點、離心率等性質(zhì)時，教科書特別注意發(fā)揮“幾何圖形的性質(zhì)指什么”“如何利用方程研究幾何圖形的性質(zhì)”“先直觀感知圖形的性質(zhì)，再用方程進(jìn)行論證”等一般觀念的引領(lǐng)作用，通過欄目、邊空等作出明確提示，將坐標(biāo)法具體結(jié)合到幾何性質(zhì)的研究過程中去，在增強(qiáng)教科書的思想性的同時，也為直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng)的培養(yǎng)和理性思維的發(fā)展提供了載體.對于橢圓的離心率，教科書要求學(xué)生探究怎樣利用a，c這些“基本量”刻畫橢圓的扁平程度；對于雙曲線的漸近線，教科書安排了一個從特殊到一般的過程，以增強(qiáng)直觀性和操作性，使學(xué)生在信息技術(shù)的幫助下體會“漸近”的含義.第七，用坐標(biāo)法解決幾何問題，其基礎(chǔ)是利用坐標(biāo)系將點表示為有序數(shù)對，建立起平面內(nèi)點與有序數(shù)對之間的一一對應(yīng)，由此可以將曲線表示為一個方程，幾何問題就歸結(jié)為代數(shù)問題；然后借助于代數(shù)運算和邏輯推理，對這些數(shù)、代數(shù)式及方程之間的關(guān)系進(jìn)行討論；最后把討論的結(jié)果利用坐標(biāo)系翻譯成相應(yīng)的幾何結(jié)論.這就是我們熟悉的“三步曲”：幾何問題“翻譯”為代數(shù)問題——代數(shù)運算與推理—代數(shù)結(jié)論“翻譯”為幾何結(jié)論.與圓錐曲線相關(guān)的主要問題是（1）求有某種幾何特征的曲線方程；（2）根據(jù)曲線的方程，用代數(shù)方法證明（或討論）曲線的幾何性質(zhì)；（3）賦予代數(shù)方程以幾何意義，用幾何方法研究它的代數(shù)性質(zhì)，例如通過方程研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等.為此，教科書在解決（1）（2）兩個問題后，通過例題、習(xí)題解決問題（3）.教科書特別注意把圓錐曲線豐富多彩的性質(zhì)選作例題和習(xí)題，不僅使題目的思想內(nèi)涵得到增強(qiáng)，而且通過這些題目加強(qiáng)了知識間的相互聯(lián)系，從而幫助學(xué)生建立對圓錐曲線的整體認(rèn)識.例如，橢圓的例題中，就包含了橢圓與圓的聯(lián)系、定義橢圓的其他方式、橢圓的光學(xué)性質(zhì)等，這些題目的“數(shù)學(xué)含金量”是非常高的.另外，這些題目的可拓展性也是很強(qiáng)的.第八，教科書在三種圓錐曲線中都注意安排實際應(yīng)用問題，并通過拓展性資源對“圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用”進(jìn)行歸納總結(jié)，以落實“通過行星運行軌道、拋物運動軌跡等，使學(xué)生了解圓錐曲線的背景與應(yīng)用”的要求.同時，教科書特別注意發(fā)揮信息技術(shù)的作用，在正文中明確提出利用信息技術(shù)進(jìn)行探究的要求，而且安排了利用信息技術(shù)探究圓錐曲線性質(zhì)的欄目、拓展性材料等.另外，還安排了“文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作解析幾何的形成與發(fā)展”，要求學(xué)生查閱與解析幾何有關(guān)的文獻(xiàn)，了解解析幾何形成與發(fā)展的過程，以及解析幾何對人類文明的主要貢獻(xiàn)，以體現(xiàn)本章內(nèi)容在數(shù)學(xué)文化中的特殊作用.四、課時安排本章教學(xué)時間約需13課時，具體分配如下（僅供參考）：3.1橢圓約4課時3.2雙曲線約3課時3.3拋物線約3課時文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作解析幾何的形成與發(fā)展約1課時小結(jié)約2課時五、本章編寫思考總體而言，本章教科書的編寫，注意吸收以往教科書的優(yōu)點，強(qiáng)調(diào)在繼承基礎(chǔ)上進(jìn)行創(chuàng)新在內(nèi)容的選擇上，圍繞圓錐曲線的核心概念，以橢圓、雙曲線、拋物線的主要性質(zhì)及其應(yīng)用為重做到削支強(qiáng)干；在結(jié)構(gòu)體系上，強(qiáng)調(diào)知識發(fā)生發(fā)展的邏輯合理性，加強(qiáng)背景和應(yīng)用，從而使學(xué)生在三種曲線的學(xué)習(xí)中經(jīng)歷完整的研究過程；注重按照學(xué)生學(xué)習(xí)心理組織教科書內(nèi)容，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想的引導(dǎo)和解題方法的分析，循序漸進(jìn)地逐步提高論理要求；注重坐標(biāo)法思想內(nèi)涵的理解和應(yīng)用，誠少機(jī)械套用、死記硬背；注重與平面幾何、函數(shù)等的聯(lián)系與綜合，強(qiáng)調(diào)代數(shù)運算與邏輯推理的融合，體現(xiàn)解析幾何的學(xué)科特征；注重利用數(shù)學(xué)史料，滲透數(shù)學(xué)文化；等等.貫徹“問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”思想，通過“觀察”“思考”“探究”等欄目，以層層遞進(jìn)、邏輯連貫的“問題串”為載體創(chuàng)設(shè)系列化數(shù)學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生開展創(chuàng)造性學(xué)習(xí)活動；強(qiáng)調(diào)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，采用“歸納式”呈現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生自己歸納和概括數(shù)學(xué)結(jié)論；注意使用“先行組織者”手段，從方法論高度，對如何觀察、發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的幾何特征，如何構(gòu)建研究路徑，如何發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的性質(zhì)，如何用坐標(biāo)法研究幾何問題等加強(qiáng)指導(dǎo)，以提高教科書的思想性；采用單元整體設(shè)計，在坐標(biāo)法的統(tǒng)領(lǐng)下，以直線和圓的方程為基礎(chǔ)，從橢圓、雙曲線到拋物線順次展開內(nèi)容；在語言敘述上盡量做到條理清楚、簡潔明快；等等.以下就幾個主要問題介紹教科書的設(shè)計思路.1.關(guān)于研究對象的定義我們知道，因為一個數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)特征可以有多種等價的表現(xiàn)形式，所以數(shù)學(xué)對象的定義是不唯一的.數(shù)學(xué)定義是選擇的結(jié)果.這就帶來一個問題：如何選擇才更有利于我們展開對這個對象的研究？對這個問題的回答可能是沒有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)的.事實上，數(shù)學(xué)定義是一代代數(shù)學(xué)家不斷研究、改進(jìn)的結(jié)果，特別是一些處于基礎(chǔ)地位的概念，例如函數(shù)的定義.有時，對一個數(shù)學(xué)對象的不同定義也反映了人們對其本質(zhì)屬性的認(rèn)識的不同抽象層次，因此，在編寫教科書的過程就需要思考怎樣的定義才能既反映數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)特征，又能與學(xué)生的認(rèn)知水平相適應(yīng).在阿波羅尼奧斯（Apollonius，約公元前262一前190）的《圓錐曲線論》中，三種圓錐曲線是基于平面截圓錐給出的.由平面與圓錐的軸所成角的不同范圍，可將截線區(qū)分為三類，阿波羅尼奧斯將它們分別稱為齊曲線（拋物線）、超曲線（雙曲線的一支）、虧曲線（橢圓）.從上述定義出發(fā)，利用相似三角形、圓的有關(guān)性質(zhì)，通過一系列的幾何推理，可以推出三類曲線的性質(zhì)：（1）橢圓:;（2）拋物線:;（3）雙曲線:.用解析幾何的語言敘述,即：以圓錐曲線的軸為軸、頂點為原點建立直角坐標(biāo)系,上述三個性質(zhì)就是對稱軸與軸重合的圓錐曲線方程,就是橢圓的長軸（或雙曲線的實軸是半短軸).得到上述圓錐截線的性質(zhì)后,就不再利用圓錐曲面而直接從這三條性質(zhì)推出其他性質(zhì),“橢圓上任意一點到兩個焦點的距離之和為”“橢圓上任意一點到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離之比為大于0小于1的常數(shù)”等都可由此推出.=1\*GB3①由上所述可見,由平面截圓錐得到三種截線,這是最原始的定義．由這個定義可以容易地區(qū)分截線的類型，但每一種截線的幾何特征卻不明顯.由此出發(fā)推導(dǎo)圓錐曲線的方程，需要用到較多的幾何知識,推理過程比較復(fù)雜,對大多數(shù)學(xué)生而言難度太大,顯然不合適.其他定義實際上都是從這個原始定義推出的性質(zhì).因為“平面內(nèi),與兩個定點的距離的和等于常數(shù)的點的軌跡叫做橢圓”的幾何特征非常明確,可以與圓的定義?銜接（當(dāng)兩個定點的位置逐漸接近時,橢圓的形狀就逐漸接近圓),容易作圖,其基本幾何性質(zhì)（對稱性）也易于直觀想象,由此就方便于我們合理地建立直角坐標(biāo)系求出橢圓的方程,而由“距離的和等于常數(shù)”聯(lián)想到“距離的差等于常數(shù)”也是非常自然的,所以教科書對橢圓、雙曲線的定義做出如此選擇.不過,這樣的選擇存在一個缺陷,即與拋物線的定義無法銜接.為了解決這個問題,教科書在橢圓、雙曲線的內(nèi)容設(shè)置中做了一定的鋪墊.在“橢圓”一節(jié)設(shè)置例題:“動點到定點的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù),求動點的軌跡”和“用信息技術(shù)探究點的軌跡:是定點,是不經(jīng)過點的定直線,動點到定點的距離和它到定直線的距離的比是小于1的常數(shù).用信息技術(shù)軟件畫出動點的軌跡,觀察這個軌跡,可以發(fā)現(xiàn)它是一個橢圓.在的范圍內(nèi),改變的大小,或改變點與直線的相對位置,可以發(fā)現(xiàn)動點的軌跡仍然是一個橢圓”.在“雙曲線”一節(jié)設(shè)置例題:“動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù),求動點的軌跡”和習(xí)題:“設(shè)動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是,求動點的軌跡方程,并說明軌跡的形狀”.在“拋物線”的節(jié)引言中先進(jìn)行引導(dǎo):“通過前面的學(xué)習(xí)可以發(fā)現(xiàn),如果動點到定點的距離與到定直線(不過點)的距離之比為,當(dāng),點的軌跡為橢圓;當(dāng)時,點的軌跡為雙曲線.一個自然的問題是:當(dāng)時,即動點到定點的距離與它到定直線l的距離相等時，點M的軌跡會是什么形狀？”然后通過“探究”，讓學(xué)生用信息技術(shù)畫出動點的軌跡，在此基礎(chǔ)上再給出拋物線的定義.教科書的這種處理方式，兼顧了三種圓錐曲線的“個性”與“共性”，使概念的引人、定義的給出基本做到了銜接自然、光滑.2.對解析幾何學(xué)科特點的思考解析幾何的創(chuàng)建是為了科學(xué)發(fā)展的需要，而從數(shù)學(xué)內(nèi)部看，則是出于對數(shù)學(xué)方法的追求.認(rèn)識清楚這一點，對于我們理解解析幾何的基本思想特別重要.追溯笛卡兒（Descartes，15961650）創(chuàng)立解析幾何的心路歷程，可以明顯看出這種追求.笛卡兒不僅在數(shù)學(xué)上做出了重要的開創(chuàng)性貢獻(xiàn)，而且在哲學(xué)、生物學(xué)、物理學(xué)等眾多領(lǐng)域都有杰出貢獻(xiàn).他是機(jī)械自然觀的第一個系統(tǒng)表述者，被譽為近代哲學(xué)的開創(chuàng)者.他以大哲學(xué)家的眼光審視數(shù)學(xué)，認(rèn)為數(shù)學(xué)立足于公理上的證明是無懈可擊的，而且是任何權(quán)威所不能左右的.數(shù)學(xué)提供了獲得必然結(jié)果以及有效地證明其結(jié)果的方法.數(shù)學(xué)方法“是一個知識工具，比任何其他由于人的作用而得來的知識工具更為有力，因而它是所有其他知識工具的源泉……所有那些目在于研究順序和度量的科學(xué)，都和數(shù)學(xué)有關(guān)”①他研究數(shù)學(xué)，目的是想尋找一種能在一切領(lǐng)域里建立真理的方法.他認(rèn)為，以往的幾何、代數(shù)研究都存在很大缺陷：歐氏幾何中沒有那種普遍適用的證明方法，幾乎每一個證明都需要某種新的、技巧性很強(qiáng)的想法；代數(shù)的方法具有一般性其推理程序也是機(jī)械化的，但它完全受法則和公式的控制，以至于“成為一種充滿混雜與晦暗故意用來阻礙思想的藝術(shù)，而不像用來改進(jìn)思想的科學(xué)”.所以，代數(shù)與幾何必須互相取長補短不過，他推崇代數(shù)的力量，認(rèn)為代數(shù)方法在提供廣泛的方法論方面要高出幾何方法，因此代數(shù)具有作為一門普遍的科學(xué)方法的潛力.于是，他提出了一個計劃，即：任何問題→數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程求解.他把精力集中在把代數(shù)方法用于解決幾何問題的研究，其結(jié)果是創(chuàng)立了解析幾何.笛卡兒的理論建立在兩個觀念的基礎(chǔ)上：坐標(biāo)觀念；利用坐標(biāo)方法把帶有兩個未知數(shù)的任意代數(shù)方程看成是平面上的一條曲線的觀念，基于坐標(biāo)法思想，給出了一系列新穎的結(jié)論，例如：曲線的“次”與坐標(biāo)軸的選擇無關(guān)，因此選擇的坐標(biāo)軸要使得方程越簡單越好；在同一坐標(biāo)系內(nèi)寫出兩條不同曲線的方程，解它們的聯(lián)立方程組就求出兩條曲線的交點；用方程的“次”給幾何曲線分類，圓錐曲線的方程是二次的（沒有證明）；等等.總之，笛卡兒創(chuàng)立解析幾何的原動力是他對普適性方法的追求，“創(chuàng)造一種方法，以便用來解決所有的幾何問題，給出這些問題的所謂一般的解法”的思想指引著他的創(chuàng)新之路，而幾何代數(shù)和一般變量概念的結(jié)合是坐標(biāo)法的起源，所以解析幾何具有濃厚的“方法論”色彩.了解這點很重要，因為這能使我們理解為什么在解析幾何的教學(xué)中要把重點放在對坐標(biāo)法的理解和應(yīng)用上，而不是把精力浪費在一些復(fù)雜的求曲線方程的代數(shù)變換上.基于上述分析，我們把“解析幾何是一種方法論”作為本章內(nèi)容的一個核心定位，并在編寫過程中把如何講好“方法論”作為教科書的一個關(guān)鍵問題.具體而言，教科書做出了如下安排.首先，在章、節(jié)引言及小結(jié)中，用明確的語言表述數(shù)形結(jié)合思想、坐標(biāo)思想.例如，本章小結(jié)中明確指出：用坐標(biāo)法研究幾何問題，首先要注意觀察相應(yīng)幾何圖形的特征，認(rèn)識確定幾何圖形的要素例如橢圓是平面內(nèi)到兩個定點的距離之和等于定長的點的軌跡，這里“兩個定點”“距離之和為定長”等就是確定橢圓的幾何要素；然后用坐標(biāo)法解決，即利用幾何特征合理建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點，用方程表示幾何要素的關(guān)系.在此基礎(chǔ)上，利用方程研究曲線的性質(zhì).可以看到，析幾何中研究橢圓、雙曲線、拋物線的過程和方法是一致的.這表明，用代數(shù)方法研究幾何問題圓錐曲線的性質(zhì)），其處理方法具有統(tǒng)一性.實際上，通過運算來發(fā)現(xiàn)幾何圖形的性質(zhì)，不能迅速地證明曲線的性質(zhì)，而且這種解決問題的方式基本上是程序化的，這是解析幾何的優(yōu)勢所在，是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想威力的典范.用坐標(biāo)法研究幾何圖形時，代數(shù)式的化簡、方程的變形與等價轉(zhuǎn)化等起著很重要的作用.例如，當(dāng)我們把橢圓的方程化簡為標(biāo)準(zhǔn)方程后，就能容易地看出橢圓的范圍、對稱性、頂點等，發(fā)現(xiàn)長軸、短軸、焦距之間的關(guān)系，并由此得到刻畫橢圓扁平程度的離心率等.所以，學(xué)習(xí)解析幾何需要較強(qiáng)的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等能力.第二，在正文的表述中，教科書隨時隨地強(qiáng)調(diào)坐標(biāo)法的基本思想，加強(qiáng)“先用平面幾何眼光觀察，再用坐標(biāo)法解決”的過程，并在“如何以直角坐標(biāo)系為參照，確定問題中的幾何要素”上加強(qiáng)引導(dǎo)，體現(xiàn)“從推理幾何到解析幾何”的過渡.按上一章小結(jié)中給出的坐標(biāo)法基本步驟呈現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程、例題的解答過程，強(qiáng)調(diào)用坐標(biāo)法研究問題的規(guī)范，完整地給出利用方程討論圖形的幾何性質(zhì)的示范，并以“三步曲”為指導(dǎo)，在小結(jié)中進(jìn)一步給出用坐標(biāo)法解決圓錐曲線問題的基本思路.第三，從圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，用坐標(biāo)法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)學(xué)內(nèi)外的各種應(yīng)用問題，引導(dǎo)學(xué)生理解坐標(biāo)法的基本思想，體會坐標(biāo)法的力量.為使學(xué)生集中精力于坐標(biāo)法的學(xué)習(xí)在素材選擇上，教科書特別關(guān)注了圓錐曲線的性質(zhì)，把那些通過不太復(fù)雜的代數(shù)運算就能得出的性質(zhì)及其在現(xiàn)實中的應(yīng)用設(shè)計為例題、習(xí)題，例如，鑒于三種圓錐曲線的定義都是從“距離”間的關(guān)系給出的，在例題中專門設(shè)置了從“角度”間的關(guān)系反映的性質(zhì)：設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為.直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是（或），求點M的軌跡方程.事實上，把這個題目反過來，就是圓錐曲線的一條性質(zhì)：橢圓、雙曲線上的點（長軸（或?qū)嵼S）端點除外）與長軸（或?qū)嵼S）的兩個端點連線的斜率之積是定值.同時，這條性質(zhì)還具有可推廣性，給教學(xué)留下了空間.另外，與這套教科書的其他章比較，本章設(shè)置的拓展性資源是比較多的，其目的也是給學(xué)生從不同角度感悟解析幾何思想與方法的機(jī)會.3.根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)心理安排教學(xué)內(nèi)容與以往比較，在強(qiáng)調(diào)教科書的科學(xué)性、邏輯性、結(jié)構(gòu)性的同時，特別關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，注意按學(xué)生的心理邏輯組織教學(xué)內(nèi)容，這是本套教科書的一個總體特色.本章內(nèi)容編寫中注意了如下幾個方面：（1）強(qiáng)調(diào)“先行組織者”的使用，認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，“先行組織者”有助于學(xué)生形成有意義學(xué)習(xí)的心向，能為學(xué)生提供一個學(xué)習(xí)的整體架構(gòu)，避免學(xué)習(xí)的盲目性，同時也能為新舊知識搭建聯(lián)系通道.前面已指出，解析幾何具有“方法論”的學(xué)科特征，在解決具體問題之前明確其結(jié)構(gòu)、方向和主要過程正是“先行組織者”的“強(qiáng)項”.所以，在教科書內(nèi)容的展開過程中，特別是在章節(jié)的開篇、內(nèi)容之間的銜接與過渡等地方，我們賦予“先行組織者”以重要地位，特別注重用坐標(biāo)法討論問題基本思路的引導(dǎo).實際上，這既是解析幾何思想的教學(xué)，又是一種思維策略的教學(xué)，對于學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基本思想、積累基本活動經(jīng)驗，增加發(fā)現(xiàn)和提出問題的可能性，以及培養(yǎng)理性思維等都能起到非常重要的作用.（2）對坐標(biāo)法、數(shù)形結(jié)合、運動變化思想等“默會知識”，采取“滲透—明確—一應(yīng)用”的呈現(xiàn)過程.我們知道，坐標(biāo)法、數(shù)形結(jié)合思想等都是數(shù)學(xué)中關(guān)于“怎么想”“怎么做”的知識屬“默會知識”范疇.這種知識的掌握，更多地依賴于實踐中的體悟.因此，本章在“直線和圓的方程”中明確坐標(biāo)法思想、提供用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的示范和練習(xí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步確了坐標(biāo)法和數(shù)形結(jié)合思想，并加強(qiáng)了用坐標(biāo)法解決綜合性問題的訓(xùn)練，使學(xué)生在實踐中加深理解，逐步養(yǎng)成用坐標(biāo)法思考和解決問題的思維習(xí)慣.（3）盡量用“歸納式”呈現(xiàn)教科書，注意從簡單到復(fù)雜、從單一到綜合地組織內(nèi)容，按照從具體到抽象、從特殊到一般的方式，給學(xué)生提供歸納、概括的機(jī)會.這是與以往教科書有很大區(qū)別的地方.例如，對“曲線的方程”“方程的曲線”概念的處理，雖然它在培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性方面都是很好的載體，但這也是一個不容易把握的概念，沒有足夠的知識準(zhǔn)備，不僅會導(dǎo)致學(xué)生理解的困難，還會使他們產(chǎn)生“為什么要這樣來要求”的疑問.因此，教科書在圓錐曲線方程的推導(dǎo)中，繼續(xù)采取“結(jié)合具體曲線呈現(xiàn)相關(guān)內(nèi)容”的方式，最后再在本章小結(jié)中對“曲線與方程的關(guān)系”進(jìn)行歸納，并指出“利用坐標(biāo)系建立曲線與方程的這種關(guān)系，是解析幾何的基礎(chǔ)，在今后的學(xué)習(xí)中可以進(jìn)一步體會到”.4.設(shè)計系列化的數(shù)學(xué)活動引導(dǎo)學(xué)生開展有結(jié)構(gòu)有邏輯的系統(tǒng)學(xué)習(xí)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、提出數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生以獨立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多樣化的方式開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，是《標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的基本理念.為此，教科書強(qiáng)調(diào)構(gòu)建系列化數(shù)學(xué)活動，注重創(chuàng)設(shè)與學(xué)生的現(xiàn)實緊密關(guān)聯(lián)的真實問題情境，引導(dǎo)學(xué)生開展體驗學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、建構(gòu)學(xué)習(xí)，通過有結(jié)構(gòu)、有邏輯的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)科觀念、數(shù)學(xué)思維方式和探究技能，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識和技能的持續(xù)結(jié)構(gòu)化，使學(xué)生的理性思維不斷走向成熟.系列化的數(shù)學(xué)活動涵蓋了通過數(shù)學(xué)抽象獲得研究對象，構(gòu)建研究數(shù)學(xué)對象的基本路徑，發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的數(shù)學(xué)問題，探尋解決問題的數(shù)學(xué)方法，獲得有價值的數(shù)學(xué)結(jié)論直至建立數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實問題，這是在通盤考慮課程內(nèi)容基礎(chǔ)上作出的設(shè)計.在本章的數(shù)學(xué)活動設(shè)計中，教科書根據(jù)圓錐曲線的內(nèi)容特點，首先注意發(fā)揮史料的作用，從整體上提出圓錐曲線的產(chǎn)生以及所要研究的問題.如前所述，解析幾何的發(fā)明既是為了解決人類實踐活動中提出的問題，又是為了探尋科學(xué)研究的普適性方法教科書以歷史資料為素材，以用坐標(biāo)法研究幾何圖形的過程與方法為導(dǎo)向，從宏觀上提出系列問題，引導(dǎo)學(xué)生感受坐標(biāo)法.這樣的處理對學(xué)生把握解析幾何的基本思想和學(xué)習(xí)方向很有好處，這是教師在分析和理解教科書編寫意圖時需要關(guān)注的一個問題.在每一種圓錐曲線的研究中，教科書從節(jié)引言開始，通過“觀察”“思考”“探究”等欄目根據(jù)知識的發(fā)生發(fā)展需要提出層層遞進(jìn)的問題，從而形成環(huán)環(huán)相扣的系列化數(shù)學(xué)活動.這些問題是學(xué)生在學(xué)習(xí)具體內(nèi)容時普遍都會遇到的，教科書通過它們來引導(dǎo)學(xué)生的思考方向，為學(xué)生獨立思考、自主探究構(gòu)建平臺.例如，在“橢圓”一節(jié)中，教科書按知識的發(fā)展過程順次提出了如下問題：（1）節(jié)引言以“橢圓到底有怎樣的幾何特征？我們該如何利用這些特征建立橢圓的方程，從而為研究橢圓的幾何性質(zhì)奠定基礎(chǔ)？”從宏觀上提出問題，給出研究目標(biāo).（2）在引入橢圓概念時，以“探究：移動的筆尖（動點）滿足的幾何條件是什么？”引導(dǎo)學(xué)生探究橢圓的幾何特征，為抽象橢圓概念、展開后續(xù)內(nèi)容做好必要準(zhǔn)備.（3）以“思考：觀察橢圓的形狀，你認(rèn)為怎樣建立坐標(biāo)系可能使所得的橢圓方程形式簡單引導(dǎo)學(xué)生思考如何利用橢圓的幾何特征合理建立坐標(biāo)系.（4）以“思考:觀察圖3.1-3(圖3-1),你能從中找出表示,c,的線段嗎?”引導(dǎo)學(xué)生思考的幾何意義,使學(xué)生理解引入的合理性.（5）以“思考:如果焦點在軸上,且的坐標(biāo)?為的意義同上,那么橢圓的方程是什么?”引導(dǎo)學(xué)生通過類比,自主推導(dǎo)焦點在軸上時的標(biāo)準(zhǔn)方程.（6）以“先用幾何眼光觀察,再用坐標(biāo)法解決”為指導(dǎo),以“與利用直線的方程、圓的方程研究它們的幾何性質(zhì)一樣,我們利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究橢圓的幾何性質(zhì),包括橢圓的范圍、形狀、大小、對稱性和特殊點等”為導(dǎo)入語,設(shè)置“觀察”欄目,提出問題“觀察橢圓的形狀，你能從圖上看出它的范圍嗎?它具有怎樣的對稱性?橢圓上哪些點比較特殊?”從整體上明確橢圓性質(zhì)的主要研究內(nèi)容,再以系列化的欄目引導(dǎo)學(xué)生具體探究性質(zhì):=1\*GB3①思考:觀察圖,容易看出橢圓上的點都在一個特定的矩形內(nèi),你能利用方程（代數(shù)方法）確定出它的具體邊界嗎?=2\*GB3②探究:觀察橢圓的形狀,可以發(fā)現(xiàn)橢圓既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形.如何利用方程說明橢圓的對稱性?=3\*GB3③思考:你認(rèn)為橢圓上哪些點比較特殊?為什么?如何得到這些點的坐標(biāo)?=4\*GB3④思考:不同形狀的橢圓的扁平程度不同,相同形狀的橢圓的扁平程度相同.扁平程度是橢圓的重要形狀特征,你能用適當(dāng)?shù)牧慷靠坍嫏E圓的扁平程度嗎?=5\*GB3⑤在“邊空”中提出問題:你能運用三角函數(shù)的知識解釋,為什么越大,橢圓越扁平?越小,橢圓越接近于圓嗎?教科書以上述系列化情境與問題為載體，構(gòu)建了“分析背景——探索幾何特征—選擇坐標(biāo)建立標(biāo)準(zhǔn)方程—探索不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程—通過方程研究幾何性質(zhì)”的系列化數(shù)學(xué)活動.5.加強(qiáng)背景和應(yīng)用，完善學(xué)習(xí)過程解析幾何是一門方法論色彩濃厚的學(xué)科，應(yīng)當(dāng)以“用坐標(biāo)法研究問題”為主線，以讓學(xué)生領(lǐng)會坐標(biāo)法和數(shù)形結(jié)合思想為主要任務(wù)，僅靠做題目是無法達(dá)成這一目標(biāo)的.為此，加強(qiáng)背景和應(yīng)用，使學(xué)生經(jīng)歷完整的用坐標(biāo)法解決問題的過程，變“掐頭去尾燒中段”為“接頭續(xù)尾燒全魚”，是解析幾何教學(xué)中必須予以充分重視的問題.教科書在這方面加強(qiáng)了引導(dǎo)，例如：（1）加強(qiáng)確定圖形的幾何特征的分析，在明確要解決的幾何問題是什么的基礎(chǔ)上，再進(jìn)入建立直角坐標(biāo)系、求方程等環(huán)節(jié).實際上這是“先用幾何眼光觀察”的體現(xiàn)，在建立幾何直觀的基礎(chǔ)上，再進(jìn)行代數(shù)表達(dá)與運算、推理，可以提高運算效率，這也是化解解析幾何學(xué)習(xí)中運算、代數(shù)推理難點的舉措.（2）加大用坐標(biāo)法思想分析問題的力度.從簡潔性考慮，以往教科書往往直接呈現(xiàn)邏輯過程，這是一種思考的“結(jié)果”，而對“為什么這樣思考”則需要學(xué)生自己去體會，但這對學(xué)生而言是比較困難的.為此，教科書特別加強(qiáng)了用坐標(biāo)法分析問題的環(huán)節(jié)，既展示了過程，又體現(xiàn)了對學(xué)生思維的引導(dǎo).例如，教科書在“3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)”中專門安排了兩個例題（例4、例5），通過這兩個例題，一方面讓學(xué)生體會在用坐標(biāo)法解決問題時，如何利用圓錐曲線的定義和性質(zhì)去研究相關(guān)圖形的性質(zhì)、解決問題；另一方面通過不同解法的比較，使學(xué)生體會坐標(biāo)法中的運算.所具有的特點：先分析清楚研究對象的幾何特征，將幾何元素及其關(guān)系代數(shù)化，在運算過程中還要充分利用相應(yīng)的幾何特性以簡化運算.教科書就是想通過這樣的示例，使學(xué)生逐步建立起這樣的觀念：用坐標(biāo)法解決問題，建立在幾何直觀基礎(chǔ)上的運算是有效解題的關(guān)鍵，這里的運算具有“數(shù)形結(jié)合”的特征，而不僅僅是代數(shù)運算.6.體現(xiàn)單元教學(xué)設(shè)計思想發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是《標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的根本理念，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中立德樹人的抓手.那么，一個基于核心素養(yǎng)的教學(xué)到底應(yīng)該包括哪些要素呢？首先，從教學(xué)目標(biāo)看，應(yīng)當(dāng)以發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為目標(biāo)導(dǎo)向，使學(xué)生在掌握知識與技能的同時，體悟知識所蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法，積累數(shù)學(xué)地思考和解決問題的經(jīng)驗，發(fā)展理性思維.其次，實現(xiàn)上述目標(biāo)，有賴于高水平的教學(xué)活動設(shè)計，要根據(jù)數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，設(shè)計教學(xué)情境（生活情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境等）并提出數(shù)學(xué)問題，用以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，開展獨立思考、自主探究、合作交流等學(xué)習(xí)活動.最后，高水平的教學(xué)設(shè)計，有賴于教師“理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)，理解技術(shù)”的水平.把握教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，了解學(xué)生的數(shù)學(xué)思維過程，懂得學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理，是設(shè)計高質(zhì)量數(shù)學(xué)教學(xué)活動的前提.顯然，圍繞碎片化的知識點，以“知識點講解+例題+練習(xí)”的方式設(shè)計教學(xué)活動，已經(jīng)無法承載數(shù)學(xué)基本思想和基本活動經(jīng)驗教學(xué)的要求，對“四能”的提高不利，對核心素養(yǎng)發(fā)展更不利.總之，這樣的教學(xué)是無法實現(xiàn)核心素養(yǎng)教學(xué)目標(biāo)的.為了幫助教師提升“四個理解”的水平，根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出的“教材編寫應(yīng)體現(xiàn)整體性”“要便于教師把握知識本質(zhì)駕馭課程內(nèi)容；要便于教師把握知識結(jié)構(gòu)，統(tǒng)籌教學(xué)安排；要便于教師教學(xué)設(shè)計，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境、提出合適問題、有效組織教學(xué)；要為教師自主選擇、增補和調(diào)整教學(xué)內(nèi)容預(yù)留必要空間”等要求，教科書注意引導(dǎo)教師在整體把握圓錐曲線內(nèi)容的基礎(chǔ)上，展開教學(xué)活動的整體設(shè)計.教科書將本章內(nèi)容分為三個單元，以每一種圓錐曲線的幾何特征、方程、性質(zhì)和應(yīng)用為明線，以坐標(biāo)法和數(shù)形結(jié)合思想為暗線，以邏輯連貫、環(huán)環(huán)相扣的“問題串”為腳手架，設(shè)計系列化的學(xué)習(xí)活動，這是一種以單元整體設(shè)計思想為指導(dǎo)的設(shè)計思路，可以比較好地實現(xiàn)課標(biāo)提出的要求.具體地，在“橢圓”一節(jié)中，如前所述，教科書用前后連貫、循序漸進(jìn)的十多個問題組成“問題串”，將內(nèi)容連成一體，引導(dǎo)學(xué)生有邏輯地展開學(xué)習(xí)與探究.這些問題既有針對整體思路的，也有針對具體內(nèi)容的；既有針對思想方法、研究策略的，也有操作性的、針對特例或細(xì)節(jié)的.它們是以橢圓知識的內(nèi)在邏輯為依據(jù)而設(shè)置的、自然而然的學(xué)習(xí)主線，解決了這些問題就可以形成思想內(nèi)涵豐富的“橢圓與方程”知識體系.在“問題串”的引導(dǎo)下，學(xué)生可以完整地經(jīng)歷如下過程：通過具體情境（如行星運行軌道），了解橢圓的背景與應(yīng)用：結(jié)合情境、通過動手操作清晰地描述圖形的幾何特征與問題，即橢圓是到兩個定點的距離之和為定長的動點的軌跡；結(jié)合幾何特征合理地建立坐標(biāo)系，用代數(shù)語言描述這些特征與問題；借助幾何圖形的特點，形成研究橢圓性質(zhì)的思路，利用方程，并通過直觀想象和代數(shù)運算得到結(jié)果；給出代數(shù)結(jié)果的幾何解釋，解決問題.顯然，教師只要按照教科書設(shè)計的上述過程進(jìn)行教學(xué)設(shè)計并展開教學(xué)，就可以引導(dǎo)學(xué)生展開結(jié)構(gòu)化的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，建立清晰、穩(wěn)定和可利用的“橢圓與方程”的認(rèn)知結(jié)構(gòu).雙曲線、拋物線兩節(jié)內(nèi)容與橢圓同構(gòu)，所以設(shè)計思路完全一致.如果橢圓的基礎(chǔ)扎實，那么就可以讓學(xué)生通過類比橢圓的研究過程展開雙曲線和拋物線的自主學(xué)習(xí)，只要在雙曲線的漸近線、拋物線的背景和定義等幾個點上適當(dāng)啟發(fā)指導(dǎo)即可.7.發(fā)揮信息技術(shù)的作用，為幾何直觀提供方便解析幾何是形數(shù)結(jié)合的學(xué)科，“通過幾何建立直觀，通過代數(shù)予以表達(dá)”是其基本理念①.在圓錐曲線的研究中，對它們的幾何特征的直觀認(rèn)識是第一步，但要畫出這三種曲線以及相關(guān)的圖形并非易事.為此，教科書根據(jù)本章內(nèi)容的特點，較充分地發(fā)揮信息技術(shù)的作用，注意利用動態(tài)幾何軟件，既為作圖提供方便，又向?qū)W生展示動點的運動變化規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生觀察方程中參數(shù)的變化對方程所表示的曲線形狀、大小的影響，并通過信息技術(shù)軟件探究圖形之間的關(guān)系.例如，研究橢圓的離心率、雙曲線和拋物線的定義、雙曲線的漸近線等都利用了信息技術(shù)軟件的優(yōu)勢，讓學(xué)生在獲得充分的直觀認(rèn)識基礎(chǔ)上，再進(jìn)行代數(shù)運算得出結(jié)果.六、本章教學(xué)建議1.以坐標(biāo)法為核心和紐帶在本章教學(xué)中，只有體現(xiàn)好解析幾何的學(xué)科特點，抓住它的核心，才能真正發(fā)揮這一課程內(nèi)容的作用，達(dá)成它的教學(xué)目標(biāo).圓錐曲線的內(nèi)容非常豐富，本章只是最基礎(chǔ)的、最簡單的部分但其中蘊含的思想具有一般意義.因此，教學(xué)中應(yīng)以圓錐曲線與方程為載體，把讓學(xué)生掌握坐標(biāo)法這一工具去解決一些幾何、代數(shù)的問題作為核心和重點.2.重視對研究對象幾何特征的分析解析幾何是“以代數(shù)方法研究幾何問題”，但教學(xué)中要注意代數(shù)運算與幾何直觀的相互為用因為研究對象是幾何圖形，所以把握所研究對象的幾何特征、明確面臨的幾何問題，這是首要的步，然后才是用代數(shù)方法研究之，所以，教學(xué)中一定要注意“先用幾何眼光觀察，再用坐標(biāo)法推理、論證和求解”的基本思路，不要忽視“幾何要素的分析”這一環(huán).實際上就是要處理好“代數(shù)求解”與“幾何直觀”之間的關(guān)系，如果只把注意力集中在代數(shù)角度研究，雖然能達(dá)到細(xì)致入微的境界，但沒有直觀形象的支撐，最后還是不能很好地把握幾何性質(zhì).所以，教學(xué)中適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行“代數(shù)關(guān)系的幾何意義”的訓(xùn)練也是很有必要的.下表給出了中學(xué)平面解析幾何中的主要對象和問題：3.使學(xué)生正確理解解析幾何中的運算解析幾何的學(xué)習(xí)對運算能力的要求頗高.對學(xué)生而言，代數(shù)運算是主要“攔路虎”之一.解題過程中，許多學(xué)生都是因為不能順利完成代數(shù)運算而導(dǎo)致失敗.在本章教學(xué)中為了使學(xué)生更好地把握坐標(biāo)法的基本思想，控制代數(shù)運算的難度和技巧是必須的.但必要的運算是不可避免的，這是由解析幾何的學(xué)科特點決定的.關(guān)鍵是要把握解析幾何中運算的特點.解析幾何中的運算是建立在幾何背景下的代數(shù)運算，所以先用幾何眼光觀察，分析清楚幾何圖形的要素及其基本關(guān)系，再用代數(shù)語言表達(dá)，而且在運算過程中時刻注意利用圖形的幾何特征及圖形間的關(guān)系來簡化運算，這是解析幾何教學(xué)中突破運算難點的關(guān)鍵舉措.解析幾何教學(xué)中，提高運算能力不能僅從代數(shù)角度入手，還要努力提高學(xué)生的幾何圖形分析能力，也就是要在落實數(shù)形結(jié)合思想上下功夫.4.注意用好教科書中的例題、習(xí)題教科書中的例題與習(xí)題，其選編的原則是幫助學(xué)生深入理解圓錐曲線的幾何特征，熟練運用坐標(biāo)法研究圓錐曲線的性質(zhì)以及它們的位置關(guān)系，并能解決有一定綜合性的問題，通過解題感悟解析幾何中蘊含的數(shù)學(xué)思想.具體的題目主要是研究圓錐曲線的性質(zhì).教學(xué)中應(yīng)注意這些題目的的教學(xué)功能，使學(xué)生認(rèn)識到認(rèn)真解答這些題目的重要性，必要時可以對有關(guān)題目進(jìn)行適當(dāng)?shù)?/p>