人教版導(dǎo)與練總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)一輪教師用書：第四章第2節(jié)　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式

第2節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式

?課程標(biāo)準(zhǔn)要求

1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin%+cos2a=1,a.

cosa

2.借助單位圓的對(duì)稱性,利用定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式0土a,n土a的

正弦、余弦、正切).

②嫡教材夯實(shí)四條

必備知識(shí)?課前回顧

G技知識(shí)梳理

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

(1)平方關(guān)系：sin，a+cos2a=工.

⑵商數(shù)關(guān)系：tana=^(a^-+kn,keZ).

cosa2

2.誘導(dǎo)公式

組

-、二三四五八七八

序

2kJi+a

IT3ir

角Ji+a-aJI-a--aa--a—+a

2222

(kGZ)

正-sin-sinsinCOSCOS-cos-cos

sina

弦aaaaaaa

余-coscos一cossin-sin-sinsin

cosa

弦aaaaaaa

\XXX

正tanatan-tan一tan

切aaaXXX

□

函數(shù)名不變,符號(hào)看象限函數(shù)名改變,符號(hào)看象限

訣

[TW1

誘導(dǎo)公式的記憶口訣可以概括為“奇變偶不變,符號(hào)看象限”這里的

奇、偶指的是k?土a(k￡Z)中k是奇數(shù)還是偶數(shù)，“符號(hào)看豪畫

指的是把a(bǔ)看成銳角時(shí),k-gTa(k￡Z)的三角函數(shù)值的符號(hào)，艮誨

三角函數(shù)值的將寫

對(duì)點(diǎn)自測(cè)

1.化簡(jiǎn)sin870°的值是(A)

A.-B.--C.—D.--

2222

解析：sin870°=sin(720°+150°)=sin(180°-30°)=|.故選A.

2.已知a是第三象限角，sina=-2,則cosa等于(B)

A.--5B.-1-2C,—5D.—I?

13131313

解析:因?yàn)閟ina=$，a是第三象限角，

所以cosa=-Vl-sin2cz=--.故選B.

13

3.已矢口sinacosa=-,<a<—,貝!Jcosa-sina的值

842

為

解析:因?yàn)楹?CL

42

所以cosa<0,sina<0,且cosa>sina,

所以cosa-sina>0.

又(cosa-sina)?=l-2sinacosa=1-2xi=-,

84

所以cosa-sina=?.

答案塔

4.已矢口cosa=|,a<0,貝

cos(^+a)

的值為_________

tan(a+Tt)cos(-a)tana

解析：因?yàn)閝<a<0,

所以sina=-Jl-(|)2V6

所以tana=-2A/6.

則cosg+a)--sina

,tan(a+n)cos(-a)tanatana?cosa?tana

1_1_V6

tana2遍12,

答案嚕

類中溶點(diǎn)砥實(shí)四翼

關(guān)鍵能力?課堂突破

席考點(diǎn)一同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用

口角度一“知一求二”問題

CWED已矢口ae(pJI),tana=-^,貝Ijcos(一a-^)等于()

解析:因?yàn)閠ana

cosa3

3

所以cosa=-sina,

4

所匚匚以i、lsm?2a+,cos2a=sm?2a+,—9si.n2a=—25sm.2a=1l,

1616

所以sin2a=—.

25

又ae(pJI),所以sina;

所以cos(-a-1)=cos(]+a)=-sina=-^.故選C.

卜解題策略I

已知sina,cosa,tana中的一個(gè)求另外兩個(gè)的值.解決此類問題

時(shí)，直接套用公式sir?a+cos2a=1及tana=列上即可，但要注意a的

cosa

取值范圍，即三角函數(shù)值的符號(hào).

。角度二sina,cosa的齊次式問題

CSH)已知sina+3cos工5,貝42a4sin2a的值是()

3cosa-sina2

33

A,-B.--C.-3D.3

55

sina+3cosatana+3

解析：由=5,得

3cosa-sina3-tana

可得tana=2,貝!Jcos,a+gsin2a=cos2a+sinacosa

cos2a+sinacosa1+tana

故選A.

cos2a+sin2a1+tan2a

解題策略

1.分式中分子與分母是關(guān)于sina,cosa的齊次式,往往轉(zhuǎn)化為關(guān)

于tana的式子求解.

2.關(guān)于sina,cosa的二次齊次式，要用到“1”代換，即l=sin2a

+,cos2a.

口角度三"sina±cosa,sinacosa”之間的關(guān)系

?已知李a〈O,sina+cosa=1.

(1)求sina-cosa的值;

⑵求tana；

⑶求1的值.

cos2a-sin2a

解：(1)因?yàn)閟ina+cosa=-,

所以(sina+cosa)2=(1)\

即l+2sinacosa」~,所以2sinacosa.

2525

因?yàn)?sina-cosa)2=sin2a-2sinacosa+cos2a=l-2sina

cosa=1,,+2—4=―49.

2525

又因?yàn)?關(guān)a<0,所以sina<0,cosa>0,

所以sina-cosa<0.

7

所以sina-cosa

(2)由已知條件及⑴可知

,1.3

sina+cosa=-sina=--

5解得《5

.74

sina—cosa=一一cosa=

55

所以tana

4

(3)由(1)可得

1_1____________

cos2a-sin2a(cosa+sina)(cosa-sina)

125所匚匚以［、［一;一1-25

-x-7cos2a-sin2a7

55

:解題策喳

對(duì)于sina+cosa,sina-cosa,sinacosa這三個(gè)式子，利用

(sina±cosa)J=1±2sinacosa,可以矢口——求二.

［針對(duì)訓(xùn)練］

1.若a￡§JI),sinO-a)=：,則tana等于()

A.--4B.-4C.--3D.-3

3344

解析：因?yàn)閍￡G，JI),sina=3所以cosa=-±所以tana=-；.故

2554

選c.

2.已知tana=-三,則sina?(sina-cosa)等于()

4

212s4s

A.—B.—C.-D.-

252154

解析：sina?(sina-cosa)=sin2*49a-sina?cosa

_sin2a-sina?cosa_tan2a-tana

sin2a+cos2atan2a+l'

將tana代入，

4

得原式嚕故選A.

慢考點(diǎn)二誘導(dǎo)公式的應(yīng)用

1.若cos(1-a)號(hào)，則cos(冗-2a)等于(D)

A.-2B.-5C.--2D.--5

9999

解析:由cosa)=y,得sina=y.

所以cos(n-2a)=-cos2a=-(l-2sin"a)=2sin2a-1=2X--1=--.

99

選D

2.已矢口sin(a+g)=!|,貝ijcos(￡-a)=.

解析:因?yàn)?a+g)+(5-a)=、.

所以cos(J-a)=cos[^-(a+^)]=sin(a+j)=!|.

答案噌3

A.A.tan(n+a)cos(2ii+a)sin(a一等)

cos(-a-3n)sin(-3n-a)

tanacosasin[-2ii+(a+^)]

解析:原式二

cos(3ii+a)[-sin(3ic+a)]

tanacosasinG+a)tanacosacosa

(-cosa)sina(-cosa)sina

tanacosasinacosa.

------------------二一---------?----------二一?

sinacosasina'

答案:T

一題后悟通

誘導(dǎo)公式用法的一般思路

(1)化負(fù)為正，化大為小,化到銳角為止.

(2)角中含有加減］的整數(shù)倍時(shí),用公式去掉與的整數(shù)倍.

啜考點(diǎn)三兩類公式在化簡(jiǎn)與求值中的應(yīng)用

0E)已知a為銳角，且2tan(n-a)-3cos(^+B)+5=0,tan(五+

a)+6sin(n+B)T=0,貝ljsina的值是()

A羋B笆C.亞D,

57103

解析：由已知可得-2tana+3sinB+5=0,tana-6sinBT=0,解得

tana=3,又a為銳角，故sina=故選C.

10

"解題策略1

(1)利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí),關(guān)鍵是尋求

條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形.

(2)注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)符號(hào)的影響.

［針對(duì)訓(xùn)練］

已知aG(y,2兀)，sin(/+a)=］,貝Ijtan(JI+2a)等于()

.4V2D,2V2r,4V2門2V2

A?D.工L.工---U.

7575

解析:因?yàn)閍G(y,2Ji),sin(1+a)=|,

所以cosa=-,sina,tana

33cosa

所以tan(Ji+2ci)=tan2a==手.故選A.

l-tan2al-(-2V2)7

息備選例題

1例1)已知aE(0,n),且cosa=一卷,則sin(1-a)?tana等于

()

解析：因?yàn)閍￡(0,n),且cosa=-卷,所以sina=1|,由誘導(dǎo)公式及

同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系知sin(2-a)?tana=cosa?e”=sin

2cosa

a=—.故選C.

13

CBD已矢口sinacosa=-,JL-<a<-,貝I」cosa-sina的值為

842

()

A.-B.±-C.--D.--

2242

3

解析：因?yàn)閟inacosa=-，所以(cosa-sina)2=cos2a-2sina

8

cosa+sin2a=l-2sinacosa=1-2Xg,因?yàn)槎所以cos

a<sinQ,即cosa-sina<0,所以cosa-sina二一鼻,故選D.

2cosg-8)+cos。

CW若角。滿足=3,則tan0的值為

2sin(K+0)-3cos(TT-0)

2cosg-J)+cos。

解析：由-=3,

2sin(n+0)-3cos(n-0)

4日2sin6+cos6

得---------=3n

-2sin0+3cos0

等式左邊分子分母同時(shí)除以cos9,

得2tan0+l=3,解得tan。=1.

-2tan0+3

答案：1

C?)已知sina4-cosa=-i>-<a<JI,貝！J—--+—~的值

52sin(n-a)cos(n-a)

為.

解析：由sina+cosa=-巳平方得sinacosa=-||,因?yàn)殛P(guān)a意JI,

27

J(sina+coscr)-4sinacosa=-,所以

_7

____1____+,_____1____二__1_—__1____c_o_s_a_-_s_in_a_°T-___3_5

sin(ir-a)cos(n-a)sinacosasinacosa--12,

25

答案*

美活方混布致梃怩

課時(shí)作業(yè)

選題明細(xì)表

知識(shí)點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練

同角三角函數(shù)基本關(guān)系式2,3,510,11

誘導(dǎo)公式1,4,7,815

綜合應(yīng)用6,912,13,14,1617,18

A級(jí)基礎(chǔ)鞏固練

1.sin600°的值為(B)

A.--B,--C.-D.—

2222

解析：sin600°=sin(360°+240°)=sin240°=sin(180°+60°)=

-sin60°=-與.故選B.

2.已知tana三,且a￡O,三)，貝Icos(a—3等于(A)

A.--B,—C.—D.--

5555

解析:由a￡(R,爭(zhēng)知a為第三象限角，

sina1一

-

a”。cosa_2,得sina=-y,

(sin2a+cos2a=1,

故cos(a-1)=sina=-9.故選A.

3.已知直線2x+y-3=°的傾斜角為°，則需篝的值是（C）

A「3B.-2C.1D,3

解析：由已知得tan。=-2,所以誓￡嗎=吟1=宇=去故選C.

sm0-cos6tan0-l-2-13

4.已知sin(53°-a)=*且-270°<a<-90°,則sin(37°+a)等于

D)

A.-B.--C.—D.-辿

5555

解析:設(shè)53°-a二0,則a=53°-B,所以sin(37°+a)=sin(90°-

B)=cosB.又因?yàn)?270°<a<-90°,所以143°<8<323°,所以

cosB=-J―皿所-言.故選D.

l+sin2a+cos2a

5.已知tana=2,貝等于（D）

sin2a-2cos2a

A.-3B.-5C.4D.5

22

相r木彳.l+sin2a+cos2a

'',sin2a-2cos2a

sin2a+2sinacosa+2cos2a

sin2a-2cos2a

tan2a+2tana+2

tan2a-2

故選D.

6.已矢口sin(g-a)=—1,貝ljcos(^~^^—2a)等于(A)

AIn1c377n3V7

A.-B?--C.-----D.------

8888

解析:因?yàn)閟ing-a）=-|,所以cos(2°^1tt-2a)=cos[673耳+(等-2a)]=

COS[Ji+(亨-2a)]=-cos(答-2a)=2sin?(]-a)-1=2X(-|)

故選A.

7.（多選題）已知x￡R,則下列等式恒成立的是（CD）

A.sin(-x)=sinx

B.sin號(hào)-x)=cosx

C.cos(1+x)=-sinx

D.cos(x-n)=-cosx

解析：sin(-x)=-sinx,故A不成立;

sin(^-x)=-cosx,故B不成立;

cos(^+x)=-sinx,故C成立；

cos(x-n)=-cosx,故D成立.故選CD.

8.已矢口a為鈍角，sin(；+a)=*貝ijsin(^-a)=

解析:因?yàn)閍為鈍角,所以cos(；+a)=-今

所以sinG-a)=cos吟-a)]=COSq+a)=_f

答案后

4

9.已知sin(3…)=2sin號(hào)+a),則黑磊;,sin2a+

sin2a=

解析：因?yàn)閟in(3n+a)=2sin(y+a),

所以-sina=-2cosa,即sina=2cosa.

sina-4cosa_2cosa-4cosa_-2__1

5sina+2cosa10cosa+2cosa126*

因?yàn)閟ina=2cosa,所以tana=2,

sin2a+2sinacosatan2a+2tana4+48

所以sin2a+sin2a

sin2a+cos2atan2a+l4+15'

答案0f

65

B級(jí)綜合運(yùn)用練

10.已知sina+cos3”￡(0，“)，則黑等于(A)

A.-V7B.V7C.V3D.-V3

解析：因?yàn)閟ina+cosa=|,

所以(sina+cosa)2=l+2sinacosa

4

所以sinacosa=-：,又因?yàn)閍￡(0,JI),

o

所以sina>0,cosa<0,所以cosa-sina<0,

因?yàn)椋╟osa-sina)2=l-2sinacosa=]-2X(-

所以cosa-sina=-^.

2

sinaV7

所以「tana_1一■一cosc-sina

T-=-V7.故選A.

1+tanacosa+sina

cosa2

1

11.已知tan0+■-4,則sin19+cos49等于(D)

tan。

3137

A.-B.-C.-D.-

8248

八,1sin。?cos。sin20+cos201

解析:tant)+---=---+---=---------=---

tan?cos?sin0sindcosdsin0cos0二4,

所以sin0COS喂

所以sin19+cos'9=(sinJ9+cos"9尸一2sin‘9cos"9=1-2X

故選D.

12.已知ae(0,-),a=(sina)sina,b=(cosa)sina,c=(tana)sina,

6

則（B）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<a<cD.c<a<b

解析：由三角函數(shù)性質(zhì)知，

當(dāng)a￡(0,3時(shí),sina,cosa,tana￡(0,1),

6

cos2a-sinal-sin2a-sina

cosa-tana=--------=---------,

cosacosa

當(dāng)a￡(0,9時(shí)，sina￡(0,；),

6L

上2

貝m.icosa-tana=-l--s-in--a---s-in-a>K0n,

cosa

1

故tana<cosa,tana-sina=sina(----1)>0,

cosa

則tana>sina,

則(sina)sln0<(tana)sina<(cosa嚴(yán)一，即a<c<b.

故選B.

13.已知sina)cos(_-y+a)=||,且。〈a貝！Jsina=,

cosa=.

解析:sin(-]-a)cos(_g+a)=(-cosa)?(-sina)=sinacosa=

12

25,

因?yàn)?<aG,所以0csina<cosa.

4

又因?yàn)閟in2a+cos2a=1,

所以sina=|,cosa=1.

答案於1

14.已知sin9+cos0=|,0G(0,五)，則sin9cos(Jt-

9)=,

tan9=.

解析：因?yàn)閟in9+cos。=|,所以(sin9+cos9)2=l+2sin9cos9=

卷，所以sin9cos。=-||.所以sin9cos(K-0)=-sin9cos。

_12

~25,

(sin6-cos6)2=l-2sin9cos。些，因?yàn)??！?0,五)，所以sin

0>0,

cos9<0,即sin9-cos。>0,所以sin9-cos9聯(lián)立

r1

sin。+cos0=一，.?.

5

7解得sin9=-,cos0=--.所以tan9=—.

sin0-cos0=553

I5

答案點(diǎn)4

3

sin(/crc-a)cos[(k-1)ir-a]

15.已知k￡Z,化簡(jiǎn):

sin[(k+l)Tc+a]cos(kn+a)

解析：當(dāng)k=2n(neZ)時(shí),

原式=sin(2nir-a)cos[(2n-l)ir-a]

sin[(2n+l)ir+a]cos(2nn4-a)

sin(-a)?cos(n-a)