線性二次型指標(biāo)的最優(yōu)控制

線性二次型指標(biāo)的最優(yōu)控制第一頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日

8.3線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題問(wèn)題引入1舉例說(shuō)明3定理內(nèi)容及說(shuō)明2第二頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日BeihangUniversity

對(duì)于上一節(jié)所討論的狀態(tài)調(diào)節(jié)器，即使系統(tǒng)的狀態(tài)方程和性能指標(biāo)是定常的，即矩陣A,B,Q,R均為常數(shù)矩陣時(shí)，其系統(tǒng)總是時(shí)變和系統(tǒng)最優(yōu)反饋增益是時(shí)變的，這是由于黎卡提方程的解K(t)是時(shí)變的緣故。第三頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日BeihangUniversity

由例8-1的結(jié)果，從結(jié)果圖中受到啟發(fā)，當(dāng)終端時(shí)間tf趨于無(wú)窮時(shí)，K(t)將趨于某常數(shù)，即K(t)可視為恒值。tf=10時(shí)黎卡提矩陣微分方程的解K(t)第四頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日BeihangUniversity

K(t)將趨于某常數(shù)，即K(t)可視為恒值，從而得到所謂無(wú)限時(shí)間(tf=∞)狀態(tài)調(diào)節(jié)器或穩(wěn)態(tài)狀態(tài)調(diào)節(jié)器。tf=1000時(shí)黎卡提矩陣微分方程的解K(t)第五頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日BeihangUniversity

對(duì)于無(wú)限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器，通常在性能指標(biāo)中不考慮終端指標(biāo)，取權(quán)陣P=0，其原因有：一是希望tf→∞，x(tf)=0,即要求穩(wěn)態(tài)誤差為零，因而在性能指標(biāo)中不必加入體現(xiàn)終端指標(biāo)的終值項(xiàng)；二是工程上僅參考系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)的響應(yīng)，因而tf→∞時(shí)的終端指標(biāo)將失去工程意義。第六頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日BeihangUniversity性能指標(biāo)為：式中，Q，R均為常數(shù)對(duì)稱正定陣，u無(wú)約束。由于P=0，所以K(tf)=K(∞)=P=0。從t=∞開(kāi)始逆時(shí)間積分黎卡提矩陣微分方程，當(dāng)K(t)的解存在且唯一時(shí)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，K(t)將達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，因此可認(rèn)為在t=0開(kāi)始很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，K(t)是黎卡提微分方程的穩(wěn)態(tài)解，即有在穩(wěn)態(tài)時(shí)，，從而可將黎卡提矩陣微分方程化為黎卡提代數(shù)方程，解出的K陣為常值矩陣。第七頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日和二次型性能指標(biāo)為BeihangUniversity可控的或至少是可穩(wěn)的線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式中，u不受限制，Q和R為常數(shù)對(duì)稱正定陣，則使J為極小的最優(yōu)控制存在，且唯一，并可表示為式中，K為正定常數(shù)矩陣，滿足下列的黎卡提矩陣代數(shù)方程在最優(yōu)控制下，最優(yōu)軌線是下面線性定常齊次微分方程的解，即所對(duì)應(yīng)的性能指標(biāo)的最小值為第八頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日BeihangUniversity對(duì)于以上結(jié)論，作如下幾點(diǎn)說(shuō)明：1.適用于線性定常系統(tǒng)，且要求系統(tǒng)可控或至少可穩(wěn)；而在有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器中則不強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)。因?yàn)樵跓o(wú)限時(shí)間調(diào)節(jié)器中，控制區(qū)間擴(kuò)大為無(wú)窮，為了保證積分值有限，x(t)和u(t)要收斂到零，也就是受控系統(tǒng)的狀態(tài)變量必須是漸進(jìn)穩(wěn)定的。如果系統(tǒng)可控，則通過(guò)狀態(tài)反饋可任意配置閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)，使系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。可控的條件可減弱為可穩(wěn)，即只要不穩(wěn)定的極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的模態(tài)可控，通過(guò)反饋將它變?yōu)榉€(wěn)定即可。對(duì)有限時(shí)間調(diào)節(jié)器來(lái)講，因?yàn)榉e分上限tf為有限值，即使系統(tǒng)不可控，狀態(tài)變量不穩(wěn)定，積分指標(biāo)仍可為有限值，故仍舊有最優(yōu)解。第九頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日BeihangUniversity對(duì)于以上結(jié)論，作如下幾點(diǎn)說(shuō)明：2.閉環(huán)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，即系統(tǒng)矩陣的特征值均具有負(fù)實(shí)部，而不論原系統(tǒng)A的特征值如何。證明：設(shè)李雅普諾夫函數(shù)為

因K正定，故V(x)是正定的。與黎卡提代數(shù)方程

比較得由于Q，R均為正定矩陣，故負(fù)定，結(jié)論得證。第十頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日BeihangUniversity對(duì)于以上結(jié)論，作如下幾點(diǎn)說(shuō)明：1.適用于線性定常系統(tǒng)，且要求系統(tǒng)可控或至少可穩(wěn)；而在有限時(shí)間第十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日故當(dāng)tf時(shí)，性能指標(biāo)的最優(yōu)值

將趨于無(wú)窮大，即

這與性能指標(biāo)的最優(yōu)值為有限值相矛盾，所以上述系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。閉環(huán)最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。證明：利用反證法來(lái)證明。

假設(shè)系統(tǒng)上述不是漸進(jìn)穩(wěn)定的，則必具有非負(fù)實(shí)部的特征根。于是，當(dāng)tf時(shí)，狀態(tài)變量X(t)不會(huì)趨于零，即。BeihangUniversity第十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日BeihangUniversity對(duì)于以上結(jié)論，作如下幾點(diǎn)說(shuō)明：3.Q為正定這個(gè)條件是保證最優(yōu)反饋系統(tǒng)穩(wěn)定而提出的。性能指標(biāo)J取有限值，還不能保證系統(tǒng)穩(wěn)定。例如，只要不穩(wěn)定的狀態(tài)變量在性能指標(biāo)中不出現(xiàn)，那么Q為半正定時(shí)就可能出現(xiàn)這種情況，所以Q必須正定。Q為n×n半正定常數(shù)矩陣，且為能觀測(cè)矩陣。第十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日BeihangUniversity綜上，狀態(tài)調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì)步驟如下：1.根據(jù)系統(tǒng)要求和工程實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，選定加權(quán)矩陣Q和R；2.由A,B,Q,R按求解黎卡提矩陣代數(shù)方程，求得矩陣K；3.由式求最優(yōu)控制u(t);4.解式求相應(yīng)的最優(yōu)軌跡x(t);5.按式計(jì)算性能指標(biāo)最優(yōu)值。第十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日BeihangUniversity例1設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為性能指標(biāo)為試確定最優(yōu)控制，使J最小。設(shè)a﹣b2

＞0，保證Q為正定。第十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日BeihangUniversity例1解各矩陣分別為驗(yàn)證系統(tǒng)穩(wěn)定性：系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，且Q及R為正定對(duì)稱矩陣，故最優(yōu)控制存在且唯一。第十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日BeihangUniversity例1設(shè)。由式得最優(yōu)控制為矩陣K滿足黎卡提代數(shù)方程第十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日BeihangUniversity例1即展開(kāi)整理，可得3個(gè)代數(shù)方程為第十八頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日BeihangUniversity例1解之在保證Q和K為正定矩陣條件下，則有最優(yōu)控制為第十九頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日BeihangUniversity例1最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示第二十頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日BeihangUniversity例1閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為閉環(huán)極點(diǎn)為故閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。a＜2時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)為衰減振蕩；a＞2時(shí)系統(tǒng)不發(fā)生振蕩，呈過(guò)程阻尼響應(yīng)。第二十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日BeihangUniversity例2調(diào)節(jié)火箭的滾動(dòng)姿態(tài)時(shí)，用液態(tài)副翼使?jié)L動(dòng)姿態(tài)角φ盡可能小，同時(shí)使副翼偏轉(zhuǎn)角δ及偏轉(zhuǎn)率保持在物理限度內(nèi)。系統(tǒng)狀態(tài)方程為其中，是滾動(dòng)時(shí)間常數(shù)；是滾動(dòng)角速度；是副翼執(zhí)行機(jī)構(gòu)的指令信號(hào)；C是副翼效率。使性能指標(biāo)

取極小，其中均為它們的最大要求值。求最優(yōu)反饋控制u(t)。第二十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日滿足黎卡提方程，且K＞0。由于對(duì)稱性，獨(dú)立的6個(gè)代數(shù)方程組經(jīng)過(guò)消元并選取，有解BeihangUniversity例2解由題知其中第二十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日BeihangUniversity例2其中，滿足四次方程第二十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日BeihangUniversity例2若設(shè)則四次方程為其兩正實(shí)根是及，且后者破壞K＞0，故取。從而反饋控制第二十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日BeihangUniversity例2第二十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日BeihangUniversity例2第二十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日28

8.3線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題參考書(shū)目：◆巨永鋒，李登峰，《最優(yōu)控制》，重慶大學(xué)出版社，2005.◆李國(guó)勇等，《最優(yōu)控制理論與應(yīng)用》，國(guó)防工業(yè)出版社，2008.◆李國(guó)勇等，《最優(yōu)控制理論及參數(shù)優(yōu)化》，國(guó)防工業(yè)出

版社，2006.◆王朝珠，秦化淑，《最優(yōu)控制理論》，科學(xué)出版社，2003.◆程兆林，馬樹(shù)萍，《線性系統(tǒng)理論》，科學(xué)出版社，2006.◆史忠科，《線性系統(tǒng)理論》，科學(xué)出版社，2008.第二十八頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日29

8.3線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題謝謝！第二十九頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日30

8.3線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題◆王朝珠，秦化淑，《最優(yōu)控制理論》，科學(xué)出版社，2003.第三十頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日31

8.4輸出調(diào)節(jié)器問(wèn)題線性時(shí)變系統(tǒng)輸出調(diào)節(jié)器問(wèn)題1舉例3線性時(shí)不變系統(tǒng)輸出調(diào)節(jié)器問(wèn)題2第三十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日BeihangUniversity設(shè)完全可觀測(cè)的線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程如下

以及性能指標(biāo)

要求確其中，P和Q(t)是半正定矩陣，R(t)是正定矩陣，tf是有限的終端時(shí)刻，控制函數(shù)u(t)不受約束。確定最優(yōu)調(diào)節(jié)作用u*(t),使性能指標(biāo)達(dá)到最小值。這類最優(yōu)控制問(wèn)題，稱為輸出調(diào)節(jié)器問(wèn)題。其實(shí)質(zhì)是用不大的控制能量，使輸出變量y(t)保持在零值附近。

第三十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日y(t)=C(t)x(t)BeihangUniversity將輸出方程代入性能指標(biāo)得到狀態(tài)調(diào)節(jié)器的性能指標(biāo)函數(shù)第三十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日BeihangUniversity在狀態(tài)調(diào)節(jié)器的性能指標(biāo)中，要求P和Q(t)為半正定矩陣。由于系統(tǒng)可觀測(cè)，可證明出輸出調(diào)節(jié)器的性能指標(biāo)中和

也是半正定的。輸出調(diào)節(jié)器的問(wèn)題就可以用狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題來(lái)闡述。即：對(duì)于系統(tǒng)和性能指標(biāo)

第三十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日BeihangUniversity最優(yōu)控制存在且唯一

K(t)為下列Riccati矩陣微分方程的解滿足邊界條件最優(yōu)軌線是下列線性微分方程的解第三十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日BeihangUniversity結(jié)論：最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器的最優(yōu)控制函數(shù)，并不是輸出量y(t)的線性函數(shù)，而仍然是狀態(tài)向量x(t)的線性函數(shù)，表明構(gòu)成最優(yōu)控制系統(tǒng)，需要全部狀態(tài)信息反饋，因此要求系統(tǒng)可觀測(cè)，即有限時(shí)間輸出調(diào)節(jié)器的最優(yōu)解與有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器的最優(yōu)解，具有相同的最優(yōu)控制與最優(yōu)性能指標(biāo)表達(dá)式，僅在Riccati方程及其邊界條件的形式上有微小的差別。第三十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日BeihangUniversity前面所討論的是終端時(shí)刻tf為有限值的情況。如果系統(tǒng)是線性時(shí)不變系統(tǒng)，即當(dāng)tf=時(shí)其輸出調(diào)節(jié)器問(wèn)題可以參照tf=的狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題，得到相應(yīng)的控制規(guī)律。但是，同時(shí)要求系統(tǒng)(A,B,C)是完全可控和完全可觀測(cè)的。即完全可觀完全可控第三十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日其性能指標(biāo)為

u(t)不受約束，Q和R是正定常數(shù)矩陣，則最優(yōu)控制存在且唯一，并且由下式確定

K滿足Ricatti矩陣代數(shù)方程BeihangUniversityK(∞)=P=0最優(yōu)狀態(tài)滿足特征值具有負(fù)的實(shí)部第