模型的數(shù)學語言表達談

模型的數(shù)學語言表達談模型的數(shù)學語言敘述談

【基金工程】本文系江蘇省教育科學“十二五〞規(guī)劃重點課題“小學數(shù)學建模教學的案例研究〞〔課題編號：B-b/2022/02/168〕階段研究成果。

中圖分類號：G623.5文獻標識碼：A文章編號：1671-0568〔2022〕19-0015-03

從某種意義上說，教學過程就是師生一起構建數(shù)學模型的過程，在這個過程中，學生必須把模型用數(shù)學語言進行敘述。所謂數(shù)學語言，就是一種由數(shù)學符號、數(shù)學術語、數(shù)學圖形和經(jīng)過改良的自然語言組成的科學化專業(yè)語言，包括文字語言、符號語言和圖表語言3種。數(shù)學語言敘述就是把思考數(shù)學對象、解決數(shù)學問題的過程用數(shù)學語言表示出來，闡明自己的觀點和意見。因此，數(shù)學模型的敘述過程就是學生借助一種或幾種數(shù)學語言把模型中的數(shù)學思想和內(nèi)容敘述出來的過程。模型敘述常常是數(shù)學符號語言、文字語言和圖表語言的優(yōu)勢互補和有機融合的過程，它們相互依存、相互促進。

一、模型的數(shù)學語言敘述意義

1.落實課程規(guī)范的需要

隨著新課程規(guī)范的實施，數(shù)學建模越來越得到重視，在小學數(shù)學教學中引導學生構建模型、滲透模型思想非常重要。?全日制義務教育數(shù)學課程規(guī)范〔2022年版〕》的“課程目標〞“知識技能〞“數(shù)學思考〞和“綜合與實踐〞等局部提到了模型思想或數(shù)學建模。模型需要學生用數(shù)學語言進行敘述，否那么就成了無源之水、無本之木。

2.密切數(shù)學與生活聯(lián)系的需要

建模往往是學生用數(shù)學眼光察看周圍生活，根據(jù)已有知識和生活經(jīng)驗，把生活原型抽象成數(shù)學模型，并用數(shù)學模型解決實際問題的過程。在這個過程中，學生能充沛體會如何把數(shù)學知識從生活經(jīng)驗中提煉出來并解決實際問題。模型敘述是學生充沛體驗數(shù)學來源于生活，又效勞于生活的關鍵。引導學生進行模型敘述，能有效幫忙學生養(yǎng)成把數(shù)學學習與生活密切聯(lián)系起來的習慣。

3.開展學生思維的需要

數(shù)學建模是學生通過察看、比擬、分析、綜合、抽象、概括和推理發(fā)現(xiàn)數(shù)學概念、規(guī)律并加以運用的過程。數(shù)學模型敘述的過程是學生充沛調(diào)動原有知識和經(jīng)驗嘗試解決新問題、同化新知識的過程。在這個過程中，學生需要積極發(fā)揮想象力、察看力和發(fā)明力，才能順利敘述數(shù)學模型。這樣，模型敘述過程不但能提升學生把實際問題抽象成數(shù)學問題的能力，而且能促進學生感悟模型思想、積累建模數(shù)學活動經(jīng)驗。

4.促進學生問題解決的需要

經(jīng)過一段時間教學后，局部學生還不能理解某些重點知識，讓老師感覺非常困惑：前不久剛才接觸過，當時大家的學習情況都很好，為什么現(xiàn)在不能掌握呢？除了學生遺忘的原因外，主要原因是教師沒有引導學生在問題解決過程中建立數(shù)學模型并加以強化。如果教師引導學生在問題解決中建構模型并關注敘述，就能幫忙學生真正理解并掌握所學知識，并收到事半功倍的教學效果。

二、模型的數(shù)學語言敘述策略

從所映射的數(shù)學對象看，數(shù)學模型大致可以分為概念類數(shù)學模型、算法類數(shù)學模型和關系類數(shù)學模型。這些模型都可以用相同類型或不同類型的數(shù)學語言敘述。引導學生用數(shù)學語言敘述模型時要結(jié)合教學內(nèi)容，靈活選擇。

1.概念類數(shù)學模型

所謂概念類數(shù)學模型，就是小學數(shù)學教學中出現(xiàn)的各種數(shù)學概念，如圖形概念和四那么運算概念等。數(shù)學概念是數(shù)學知識的根底，主要表現(xiàn)為數(shù)學語言中名詞、術語和符號的準確含義。由于數(shù)學概念反映客觀現(xiàn)實中數(shù)學關系的本質(zhì)屬性，因而每個數(shù)學概念都可以稱之為數(shù)學模型，都是構建其他模型的根底。概念模型的構建過程通常包括感知具體對象階段、嘗試建立表象階段、抽象本質(zhì)屬性階段、語言符號表征階段和概念內(nèi)化階段等過程。其中語言符號表征階段就是用數(shù)學語言敘述模型的階段，學生可以嘗試用不同的數(shù)學語言進行敘述，并進行最優(yōu)化。

用文字語言敘述概念模型。方程概念是小學數(shù)學教學中比擬重要的一個模型。構建方程概念模型時，教師先引導學生察看天平教學掛圖，并用式子表示天平兩邊的關系，學生分別用50+50=100，50×2=100，x+50>100，x+50=150，

x+50100、x+50=150、

x+50100和x+5050×2=100。則，能不能給這些含有字母的等式取個名字？這樣，學生就能水到渠成地選擇文字語言概括方程的概念模型――含有字母的等式叫做方程。

用圖形語言敘述概念模型。小學生的數(shù)學思維以形象思維為主，抽象思維能力還比擬弱。有些概念很難用符號語言或者文字語言清晰敘述，需要借助圖形語言才能構建、理解和掌握。如教學扇形時，學生先察看以下各圖中的涂色局部，再說說它們的共同點――都是由圓的兩條半徑和一段曲線圍成的，都有一個角，角的頂點都在圓的中心，從而初步認識扇形――各圓中的涂色局部都是扇形，再借助圖形語言認識弧――圖中AB兩點間的曲線，從而完成扇形概念模型的構建。這樣用圖形語言敘述扇形的概念模型簡單、直觀、易懂。

用符號語言敘述概念模型。符號語言比擬簡潔，便于學生掌握。教學圓的周長時，學生先在正方形內(nèi)畫一個最大的圓，探究正方形的周長是圓的周長的幾倍，再在圓內(nèi)畫一個正六邊形〔六邊形的頂點都在圓上〕，探究正六邊形的周長是圓的直徑的幾倍，最后思考圓的周長大約是直徑的幾倍？學生通過測量和計算，發(fā)現(xiàn)圓的周長總是直徑的3倍多一點，從而順利用文字語言構建出圓周率的概念模型――圓的周長和直徑的比值叫做圓周率。如果用文字語言敘述圓周率概念模型，并沒有錯誤，但對學生后續(xù)構建圓的周長、圓的面積甚至圓柱、圓錐的相關模型帶來麻煩。于是，教師引導學生用字母π表示圓周率模型，既簡潔、又便于學生理解掌握，還為學生后續(xù)構建數(shù)學模型奠定根底。

2.算法類數(shù)學模型

所謂算法類數(shù)學模型，就是小學數(shù)學教學中的各種運算法那么、規(guī)律、性質(zhì)、解方程的程序以及解決問題的一般步驟等。根據(jù)小學生的思維開展水平，算法類數(shù)學模型的提煉過程以合情推理為主，構建模型的過程通常包括：提供具體事例，由學生經(jīng)過察看、探索、運算演示等發(fā)現(xiàn)事物間的關系或規(guī)律，經(jīng)過歸納、猜想、驗證，用簡練、準確的數(shù)學語言表示出來，形成模型。

用文字語言敘述算法模型。文字語言敘述算法模型比擬準確。教學分數(shù)乘法時，學生先根據(jù)乘法意義把3/10+3/10+3/10寫成3/10×3，再根據(jù)同分母分數(shù)加法的計算辦法算出3/10+3/10+3/10=3+3+3/10=3×3/10=9/10，發(fā)現(xiàn)分數(shù)乘整數(shù)的計算辦法是整數(shù)和分子相乘的積作分子、分母不變，再根據(jù)10×1/2=10÷2=5和10×2/5=10÷5×2=4發(fā)現(xiàn)整數(shù)乘分數(shù)的計算辦法是用整數(shù)和分數(shù)相乘的積作分子、分母不變，最后根據(jù)1/2×1/4和1/2×3/4的示意圖中的結(jié)果是1/8和3/8，歸納出分數(shù)乘分數(shù)的算法類模型是“分數(shù)和分數(shù)相乘，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母〞。這里之所以用文字語言敘述模型，因為其在前兩個模型根底上抽象概括而成的，前兩個模型用文字語言敘述有助于學生直觀掌握計算法那么，提升運算能力。

用符號語言敘述算法類模型。有的算法類模型用文字語言也能敘述，但比擬麻煩，甚至可能導致學生混同。教學乘法分配律時，學生根據(jù)題目信息計算跳繩根數(shù)，有的列式〔6+4〕×24，有的列式6×24+4×24。經(jīng)過計算，學生會發(fā)現(xiàn)它們的結(jié)果都是240，也就是〔6+4〕×24=6×24+4×24；通過察看，有的學生發(fā)現(xiàn)等式兩邊都有6、24和4三個數(shù)字，有的學生發(fā)現(xiàn)等式兩邊都有加法和乘法兩種運算，等號左邊先算6與4的和再算10個24、等號右邊先算6個24與4個24各是多少再求和。學生寫出幾個類似等式后嘗試概括規(guī)律：有的學生用文字敘述規(guī)律“兩個數(shù)的和與第三個數(shù)相乘，可以把這兩個數(shù)分別與第三個數(shù)相乘后再相加〞；有的學生用〔○+□〕×△=△×○+□×△表示；有的學生用〔X+Y〕×A=X×A+Y×A表示；有的學生用〔△+○〕×■=△×■+○×■表示……最后，學生形成共識，用〔a+b〕×c=a×c+b×c表示乘法分配律的算法模型。學生用不同語言敘述乘法分配律都正確，但符號語言敘述乘法分配律模型不但簡潔、清晰，而且合乎約定俗成的習慣。

用圖形語言敘述算法類模型。符號語言雖然簡潔，但有些特例用符號語言無法敘述或者敘述不夠清晰。教學解決問題的策略〔轉(zhuǎn)化〕時，有這樣一道例題：1/2+1/4+1/8+1/16+1/32，如果通分，學生也能正確計算出結(jié)果〔即1/2+1/4+1/8+1/16+1/32=16/32+8/32+4/32+2/32+1/32=31/32〕，但如果具有相同規(guī)律的分數(shù)多了，如1/2+1/4+1/8+1/16+…+1/512，通分就非常麻煩；如果學生用正方形、扇形或線段圖表示單位“1〞，用圖形語言構建下面這樣的模型，就能根據(jù)圖形迅速算出結(jié)果。計算就會變得非常直觀、簡單。

3.關系類數(shù)學模型

所謂關系類數(shù)學模型，就是小學數(shù)學教學中出現(xiàn)的表示數(shù)量之間關系的模型，包括各種幾何圖形的計算公式，常見的數(shù)量關系式以及基于數(shù)據(jù)分析的各種統(tǒng)計圖表等，如路程、速度和時間的關系，總價、單價和數(shù)量的關系，工作總量、工作時間和工作效率的關系，比、分數(shù)與除法的關系以及正比例關系和反比例關系等。引導學生用數(shù)學的眼光尋找數(shù)量之間的關系，促進學生在察看、比擬、歸納中自主構建關系模型并敘述出來，有助于學生開展數(shù)學思維，提升數(shù)學問題解決能力。

用文字語言構建關系模型。數(shù)量關系是學生解決實際問題的“拐棍〞。教學常見的數(shù)量關系時，教師先出示情境圖引導學生在察看、分析、整理信息中初步認識單價，學會寫和讀后，根據(jù)已知條件提出問題，并在交流中認識數(shù)量和總價，再在問題解決中自主發(fā)現(xiàn)“數(shù)量、單價和總價〞之間的關系，構建數(shù)量×單價=總價的關系模型，并舉一反三地發(fā)現(xiàn)總價÷數(shù)量=單價以及總價÷單價=數(shù)量。簡單應用模型后，學生可根據(jù)“和諧號列車每小時行260千米和李冬騎自行車每分行200米〞認識速度，再根據(jù)它們各自行駛3時和8分計算路程，發(fā)現(xiàn)速度、時間和路程三者之間的關系是路程=速度×時間、路程÷速度=時間以及路程÷時間=速度，從而構建了三個新的數(shù)學模型。最后，教師引導學生把總價=單價×數(shù)量和路程=速度×時間用自己的方式表示，促使學生用總數(shù)=每份數(shù)×份數(shù)這個通用模型表示。這樣，學生用文字語言表示數(shù)量關系模型，并認識了數(shù)量關系式與乘法意義的聯(lián)系，把似乎不同的數(shù)量關系融為一體，使所學知識真正具備數(shù)學模型的價值。

用符號語言構建關系模型。有的關系模型用文字語言敘述也是可以的，但用符號語言更簡潔。教學分數(shù)與除法的關系時，學生先思考把1塊餅平均分給4個小朋友，每人分得多少塊？〔1÷4=1/4〕然后思考把3塊餅平均分給4個小朋友，每人分得多少塊？〔3÷4=3/4〕再思考把3塊餅平均分給5個小朋友，每人分得多少塊？〔3÷5=3/5〕察看這3個算式，學生很快發(fā)現(xiàn)被除數(shù)相當于分數(shù)的分子，除數(shù)相當于分數(shù)的分母，商相當于分數(shù)值，并很快概括出分數(shù)與除法的關系模型――被除數(shù)÷除數(shù)=被除數(shù)/除數(shù)。如果用字母a表示被除數(shù)，用字母b表示除數(shù)，分數(shù)與除法的關系模型就可以敘述成a÷b=a/b〔a、b都不等于0〕。這樣把分數(shù)與除法的關系模型用符號語言敘述出來比文字語言敘述的模型更簡潔。

用圖形語言敘述關系類數(shù)學模型。有些關系類模型，用文字語言或符號語言都能表示，但圖形語言敘述更直觀。教學反比例的意義時，學生先察看單價和數(shù)量這兩個量的變化情況及其變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)筆記本的數(shù)量隨著單價變化而變化，單價越低購置的本數(shù)越多；單價越高，購置的本數(shù)越少，但總價不變。由此，學生根據(jù)構建正比例關系模型的經(jīng)驗，用單價×數(shù)量=總價〔一定〕表示這幾個量之間的關系，并總結(jié)出“單價和數(shù)量是兩種相關聯(lián)的量，單價變化，數(shù)量也隨著變化。當單價和數(shù)量的積總是一定〔也就是總價一定〕時，筆記本的單價和購置的數(shù)量成反比例關系，筆記本的單價和購置的數(shù)量是成反比例的量。如果反比例關系模型這樣敘述，就不具有普遍性。學生在進一步探究工作總量、工作效率和工作時間關系的根底上，嘗試用字母表示關系模型，即x和y表示兩種相關聯(lián)的量，用k表示它們的積，反比例關系可以用x《y=k〔一定〕表示。這樣表示，學生容易混同正