例談簡單不定方程(組)的計算機(jī)程序語句及其初等解法

xx例簡不方（）計機(jī)序句其等法摘要本文是以古代數(shù)學(xué)文化中的不定方程（組）問題的算法為例，引導(dǎo)學(xué)生利用發(fā)散式思維通過一題多解方式拓展學(xué)生思考維度從計算機(jī)程序語句方面來看運用較復(fù)雜的循環(huán)語句來處理是學(xué)生不難理解和接受嘗試編寫程序語句來求解使學(xué)生感受到現(xiàn)代科技在數(shù)學(xué)上帶來的革命在引入歐幾里德的輾轉(zhuǎn)相除法和貝祖等式的前提下適當(dāng)采用初等數(shù)論知識進(jìn)行轉(zhuǎn)化通過不等式約束條件等途徑，從而尋求多種解決途徑?？傊趶?qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)之際，同時賦予學(xué)生數(shù)學(xué)文化的薰陶。關(guān)鍵詞：不定方程（組）計算機(jī)程序語句初等解法二十世紀(jì)中葉以來由于計算機(jī)的發(fā)展和世界各國數(shù)學(xué)家的努力下計算機(jī)成為數(shù)學(xué)的工具已達(dá)成共識。值得中國人驕傲的是，1959美藉華裔數(shù)學(xué)家王浩率先提出了“走向數(shù)學(xué)的機(jī)械化”口號。作為高中數(shù)學(xué)《必修三第一章算法初步》的課程設(shè)置正是“教育面向現(xiàn)代化、面向世界、面向未來”的高瞻遠(yuǎn)矚的重要舉措。毫無疑問，方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想。高中數(shù)學(xué)《必修三》教材恰巧在方程的思想基礎(chǔ)上導(dǎo)入算法的基礎(chǔ)知識文秉承古代算法的核心素養(yǎng)思想來詮釋不定方（組及其解法從而引導(dǎo)學(xué)生達(dá)到既能運用計算機(jī)程序語言處理，又能運用方程本身的轉(zhuǎn)化思維的初等方法來解答簡單不定方程（組）問題。下面通過幾個例題加以說明：例題1求方程

y280

的所有正整數(shù)解。解法一：計算機(jī)程序解法；由題意得，，x=1WHILEx<=40y=1WHILEy<=28

。具體計算機(jī)程序語句如下：IF7*x+10*y=280THENPRINTx,yENDIFy=y+1WENDx=x+1

WENDEND解法二：輾轉(zhuǎn)相除法和貝祖等式在解二元一次不定方程上的應(yīng)用；求的輾轉(zhuǎn)相除法如下表271016713330由貝祖等式可得：

1=7-6=7-23=7-2所以，

840+10）則滿足方程

7x

的一切整數(shù)解為：

t560t

，其中t是整數(shù)。由題意知，

所以

解這個不等式組得：

80當(dāng)t時，x30,7;當(dāng)t時xy當(dāng)tx。解法三：轉(zhuǎn)化約束條件的初等解法。由原方程得:y

x因為x和y都是正整數(shù)，所以：令

x

,則y28k

。所以

10k

0

；解這個不等式組得：

0

。

k

時，時，,即

k

。（1）

當(dāng)k

yk

；（2）

當(dāng)k

時，

；（3）

當(dāng)

，28k

。例題2求不定方程

y

的正整數(shù)解。解法一：轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程求解。令

z23

，則：

2y

.由題意知，

;

則：當(dāng)

z

m

而

+3y

在正整數(shù)解的條件下是無解；當(dāng)

時，

m

,

的正整數(shù)解為：

xy

;當(dāng)

時，

m

,

xy

的正整數(shù)解為：x2,或xy

。綜上所述，

3,z或x4,z或x5,z

。解法二：計算機(jī)程序解法；x=1WHILEx<=11y=1WHILEy<=7z=1WHILEz<=3IF2*x+3*y+7*z=23THENPRINTx,y,zENDIFz=z+1WENDy=y+1WENDx=x+1WENDEND例題中國古張邱建算經(jīng)的百雞百錢問題今有公雞每只五個錢，母雞每只三個錢，小雞每個錢三只．用個錢買100只雞，問公雞、母雞、小雞各買了多少只？

解法一：轉(zhuǎn)化約束條件的初等解法；設(shè)公雞、母雞、小雞各買x，y，z只，由題意列方程組①×3－②：

xy

③由③得：

y

;令

x

,則：

y25

；其中k為正整數(shù)。把k

，

k

代入②得：

75k

.由題意可得，

>0y>0>0

；即：

解這個不等式組得：0

257

,即

1,2,3

.當(dāng)k4,kz75當(dāng)k時k2575k當(dāng)時,xy4,z解法二：轉(zhuǎn)化為輾轉(zhuǎn)相除法和貝祖等式在解二元一次不定方程上的應(yīng)用x100

③求13

gcd(7,4)743

431

的輾轉(zhuǎn)相除法如下表130由貝祖等式可得：

所以，

；

則滿足方程

xy100

的一切正整數(shù)解為：y=200-7t

，其中t是正整數(shù)。由題意知，

，所以解這個不等式組得：

28

。txyz=78;tx8,y時，xy得：解法三：計算機(jī)程序解法。x=1WHILEx<=20y=1WHILEy<=33z=1WHILEz<=100ANDz>=47IF5x+3y+1/3z=100ANDx+y+z=100THENPRINTx,y,zENDIFz=z+1WENDy=y+1WENDx=x+1WENDEND通過上面三個例題的學(xué)習(xí)我們不難總結(jié)出其中的數(shù)學(xué)思想計算機(jī)程序語句解答簡單不定方（組的思路是通過多層循環(huán)結(jié)構(gòu)語句并同時嵌套條件結(jié)構(gòu)語句來處理其邏輯結(jié)構(gòu)具有一定的復(fù)雜性需要在加深理解的基礎(chǔ)上正確運用程序語句書寫簡單不定方（組的初等解法是建立在化歸的數(shù)學(xué)思想基

礎(chǔ)上用約束條件通過解不等式組來處理或者運用輾轉(zhuǎn)相除法和貝祖等式的相