新人教版高中數(shù)學例題課后習題變式含答案

復習參考題5

復習鞏固

1.寫出與下列各角終邊相同的角的集合S,并且把S中適合不等式-2名,￡＜4萬的

元素￡寫出：

(1)

4'

、2

(2)——71；

3

(3)—TI.

5

(4)0.

c?cTC3.__I77C兀97T

{(3\p=-+2k7r,kcZ\,一-；

4J444

f212410

(2)S==——7T+2k兀,keZ卜——TT,—TT,TT；

i21Q212

{力|尸=一萬+2Z肛卜一一肛一肛一萬；

(4)S={/3\/3-Ikjr.kGZ},-2i,0,2萬.

【解析】

【分析】

根據(jù)終邊相同的角的概念，寫出與所求角的終邊相同的角的集合S,再求出S中適合

條件的元素￡值.

【詳解】解：(I)與角？終邊相同的角的集合S={a|a=?+2以，氏ez),

S中適合不等式-2%,尸＜4%的元素夕是：-彳、1、"；

444

(2)與角-吾終邊相同的角的集合S={a|a=T+20入z},

97T4.771T

S中適合不等式一2名，耳＜4萬的元素夕是：弋、羊、(OT；

(3)與角學終邊相同的角的集合S={a|c=F+25Aez},

S中適合不等式-2孫￡<4萬的元素/是：一半、彳、手；

(4)與角0終邊相同的角的集合S={a|a=2Qr,keZ},

S中適合不等式-2名,廣<4%的元素夕是：—2乃、0、2兀.

【點睛】本題考查了與已知角終邊相同的角的概念的應用問題，屬于基礎題.

2.一個扇形的弧長與面積的數(shù)值都是5,求這個扇形中心角的度數(shù)(精確到1。)

【答案】143°

【解析】

【分析】

設這個扇形中心角的弧度數(shù)為夕，半徑為r?利用弧長公式、扇形的面積計算公式即

可得出.

【詳解】解：設這個扇形中心角的弧度數(shù)為半徑為

???一個扇形的弧長與面積的數(shù)值都是5,

u<12

:.5=a『,5=—ar~,

2

解得

所以a=3x身%43°

2n

【點睛】本題考查了弧長公式、扇形的面積計算公式，屬于基礎題.

3.(1)已知coso=L,求sin。,tan。.

4

(2)已知sinx=2cosx,求角x的三個三角函數(shù)值.

【答案】(1)當9為第一象限角時，sin°="5,tane=厲；當9為第四象限角時，

4

../7T

sm(p=-----,Un=-VI5；

4

(2)當x為第一象限角時，sinx=R±cosx=亞，當x為第三象限角時，

55

,27575

sinx=-------,cosx=------，tanx=2

55

【解析】

【分析】

（1）討論夕在第一、四象限，運用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系，即可得到

所求值.

（2）運用同角的基本關(guān)系式：平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系，即可得到所求的三角函數(shù)

值.

【詳解】（I）,/COS^=—>0,

4

二。是第一或第四象限角.

當9為第一象限角時，sin<p=>/l2-co^（p=

屈

sin694777

tan(p---------=—■—=A/15；

cos。1

4

同理當力為第四象限角時，sin°=-巫,tan°=—J石;

4

(2)vsinx=2cosx,

tanx=2.

\元是第一或第三象限角.

[.2石275

.2o1sinx=----sinx=—

sinx+cos~x=L,5-5

解得_或4

sinx=2cosx亞

cosx=——cosx='~~5~

5

所以當x為第一象限角時，

275也.、

sinx=----，cosx=——，tanx=Z

55

當x為第三象限角時，sinx=_,cosx=?tanx=2

55

【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的運用：求三角函數(shù)值，考查運算能

力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題.

4.已知tancr=-；,計算

八、sin。+2cosa

5cos?-sin?

1

(2)

2sin(zcosa+cos2a

(3)sinccos。；

(4)(sina+cosa)2.

51032

【答案】⑴而⑵?、且恍孝榷?/p>

【解析】

【分析】

(1)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將正余弦齊次式化為正切，再代入計算;

(2)根據(jù)平方關(guān)系，將1變形為siVa+cosZa，再弦化切計算可得;

(3)將式子看作分母為1的分數(shù)，將1變形為sii?a+cos2a,再弦化切計算可

得;

(4)利用完全平方公式拆開，結(jié)合（3）即可計算.

-卜2_5

tana+2

【詳解】解：（1）原式=

16

5—tana5+l

原式—sm.~7a+cos0-a

(2)

2sinacosa+cos2a

sinacosatana3

(3)原式=/!?0+cos2a

tan2a+\10

2

(4)原式=l+2sinacosa=l+2x

5

【點睛】本題考查齊次式的計算，同角三角函數(shù)的應用，屬于基礎題.

5.計算（可用計算工具，第（2）（3）題精確到0.0001）

.252525

(1)sin—7T+cos——乃+tan—71

63

(2)sin2+cos3+tan4

(3)cos(sin2).

【答案】(1)0；(2)1.0771；(3)0.6143；

【解析】

【分析】

(1)先用誘導公式化簡，再求值即可；

(2)利用型計算器求值即可；

(3)利用型計算器計算即可.

【詳解】解(1)原式=sin(4i+￡]+cos18萬+1^-tan(67+?)

.n717rli1c

—sin—Fcos----tan———I-----1—0

63422

(2)sin2+cos3+tan4=0.90930-0.98999+1.15782=1.07713?1.0771；

(3)cos(sin2)=cos0.90930=0.6143.

【點睛】本題考查了三角函數(shù)求值應用問題，屬于基礎題.

6.設乃<%<2萬，填表：

7乃171

X

sinx-1

_V2

COSX■

萬

tanxV3

【答案】見解析

【解析】

【分析】

根據(jù)特殊角的三角函數(shù)及誘導公式計算可得.

【詳解】解：

7萬5萬443冗7乃1U

XT

~6~26

sinxJi-1_旦

~2F2~2

_V2V2

COSX_V30

F~~2~2~T2

A/3

tanx不存在

V1-1T

【點睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值以及誘導公式的應用，屬于基礎題.

7.求下列函數(shù)的最大值、最小值，并求使函數(shù)取得最大、最小值的x的集合

/Tsinx

（1）y-------；

71

(2)y=3-2cosx.

【答案】（）最大值：

1V2+i,x\x=-+2Z肛keZ；最小值：A/2----，

n271

yc\x=-—+2k7r,keZj.

（2）最大值為5,{x|x=（2左+1）萬MeZ}；最小值為1,{x[x=2七%ZreZ}.

【解析】

【分析】

（1）直接根據(jù)sinx=±l時，該函數(shù)取得最值；

（2）根據(jù)cosx=±l,該函數(shù)取得最值，

【詳解】解：（1）令sinx=l,此時，{x|x=|^+2EZrezj,函數(shù)有最大值

6+L

71

令sinx=—l,此時，{x|x=-^+2k肛Aez},函數(shù)有最小值加一千,

(2)令cosx=-l,此時，{x|x=(2女+1)巴左eZ},函數(shù)有最大值3+2=5,

令cosx=l,此時，{x|x=2左肛k&Z],函數(shù)有最小值3-2=1,

【點睛】本題重點考查了正弦余弦函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的最值等知識，解題關(guān)鍵是熟

練掌握正弦函數(shù)的圖象，屬于基礎題.

8.畫出下列函數(shù)在長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖，并指出分別由函數(shù)

y=sinx,xeR的圖象經(jīng)過怎樣的變化得到.

(1)

y=_2sin(x+?J；

(2)

【答案】(1)圖像見解析，變化過程見解析；

(2)圖像見解析，變化過程見解析；

(3)圖像見解析，變化過程見解析；

(4)圖像見解析，變化過程見解析；

【解析】

【分析】

依題意，根據(jù)函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)圖象變換規(guī)律，寫出圖象變換過程即可得解.

1(廣

【詳解】解：(1)函數(shù)y=^sin3x--在長度為一個周期的閉區(qū)間上的圖象如下

2I3)

所示:

y

變換過程:

橫坐標縮短為原來的L(萬、橫坐標縮短為原來的1(兀

―縱坐標不變＞y-sinl3x--l------橫坐標不變：＞y^-sm\3x--

(2)函數(shù)y=-2sin[x+?J在長度為一個周期的閉區(qū)間上的圖象如下所示:

-L,向左平移￡個單位長度.(乃、

變換過程：y=SinX----------4-----------＞y=sinlx+~I

縱坐標伸長為原來的2倍=2sin[尤+?整個圖像作關(guān)于H由的=-2sin[x+?

橫坐扇"、變對稱圖象

（3）函數(shù)y=l-sin（2x-qj在長度為一個周期的閉區(qū)間上的圖象如下所示:

一向右平移立個橫坐標縮短為原來的;

71,C兀

變換過程：y=sinx—巾位藕-?y=sinx=sinl2x-y

5縱坐標不變

圖象作關(guān)于X軸=-sinl2x-y圖象各點向上平移1個單位長度->y=l-sin(2x-y1.

的對稱圖象橫坐標不變

■jlX

(4)函數(shù)y=3sin---在長度為一個周期的閉區(qū)間上的圖象如下所示:

V63

/

向右平移1.（九、.X

橫坐標伸長為原來的3儕>y=sin—

縱坐標不變13

縱坐標伸長為原來的3倍、圖象作關(guān)于X軸

橫坐標不變,的對稱圖象

【點睛】本題考查了正弦型函數(shù)的圖象變換，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟

練掌握五點法作圖以及函數(shù)圖象之間的變化關(guān)系.本題屬于中檔題.

71

9.（1）用描點法畫出函數(shù)y=sinx,xe0,—的圖象

（2）如何根據(jù)第（1）小題并運用正弦函數(shù)的性質(zhì)，得到函數(shù)丁=511%xe[0,2%]

的圖象？

（3）如何根據(jù)第（2）小題并通過平行移動坐標軸，得到函數(shù)

y=sin（x+e）+Kxe[0,2何（夕次都是常數(shù)）的圖象?

【答案】（1）圖像見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

【分析】

（1）計算出幾個特殊點的坐標，描點連線即可.

（2）利用正弦函數(shù)的對稱性即可作圖.

（3）利用函數(shù)y=Asin（w+⑼的圖象變換規(guī)律即可得解.

【詳解】解：解：（I）取點列表如下：

71717C245冗71744乃兀

X0

186~978~9~2

sinx00.170.340.500.640.770.870.940.981

描點作圖如下:

（2）由sinO-x）=sinx,可知y=sinx,xe［O,%］的圖象關(guān)于直線x=/對稱，據(jù)

「乃

此可得出函數(shù)y=sin無,XG—,71的圖象；又由sin（2萬-x）=-sinx,可知函數(shù)

y=sinx,xe［0,2^］的圖象關(guān)于點（萬,0）對稱，據(jù)此可得出函數(shù)y=sinx,xe,24］

的圖象.

（3）把丁軸向右（當。>0時）或向左（當e<0時?）平行移動lei個單位長度，再

把x軸向下（當％>0時）或向上（當k<0時）平移I幻個單位長度，最后將圖象

向左或向右平行移動2乃個單位長度，并擦去［0,2%］之外的部分，就可得出函數(shù)

y=sin（x+e）+A:,xe［0,2〃］的圖象.

【點睛】本題主要考查了五點法作函數(shù)丫=水也（3+夕）的圖象，函數(shù)

y=Asin（s+s）的圖象變換規(guī)律，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎題.

10.不通過畫圖，寫出下列函數(shù)的振幅、周期、初相，并說明如何由正弦曲線得到

它們的圖象

（1）y=sin（5x+^}

（2）y=2sin-x.

6

【答案】（I）振幅是1,周期是多，初相是方法見解析；（2）振幅是2,周期

56

是12萬，初相是0,方法見解析

【解析】

【分析】

根據(jù)三角函數(shù)中振幅A,頻率”和初相C的意義，利用圖象平移法則，求解即可.

【詳解】解：⑴函數(shù)y=sin(5x+g)的振幅為A=l,最小正周期為丁=丁，初相為

65

TI

把正弦曲線向左平行移動e個單位長度，可以得出函數(shù)y=sin[x+Wj的圖象，再

6

把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原的((縱坐標不變)，就可得出函數(shù)

y=sin(5x+?J的圖象.

1T=4"=]9TT

(2)函數(shù)y=2sin：x的振幅為A=2,最小正周期為了，初相為。=0；

66

把正弦曲線上所有點的橫坐標伸長到原的6倍(縱坐標不變)，可以得出函數(shù)

y=sin，x的圖象，再把所得圖象上所有點的縱坐標伸長到原的2倍(橫坐標不

變)，就可得出函數(shù)y=2sin'x的圖象.

【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)A,①和。的意義，以及三角函數(shù)圖象變換問

題，屬于基礎題.

45

11.(1)已知名，都是銳角，sina=-,cos(a+y7)=—,求sin"的值；

…(兀}3.(57112(乃3吟。*乃14

(2)已知cos——?=—,sin——+/3=——,?€—e0,vr求

(41514J13144JI4；

sin(a+￡)的值

(3)己知外都是銳角，tana=；,sinp=*,求tan(a+20的值.

【答案】(1)普；(2)If；(3)1

6565

【解析】

【分析】

(1)由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和差的三角公式，求得sin￡的值.

(2)由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和差的三角公式，求得

sin(a+/7)的值.

(3)由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和差的三角公式、二倍角公式,

求得要求式子的值.

【詳解】(1),已知a,￡都是銳角，sin?=-,.,.cosa=Jl—sii?。='.

cos(a+尸)=石,「.sin(a+/?)=Jl-cos2(a+4)=—,

sinf3=sin[(a+/3)-a]=sin(cr+/?)cosa—cos(a+/?)sina

—_1_2x_3____5__y_4_—1_6__

13513565'

-----CtG-----,0,------Fy5G-71,—71

4V2J4U2J

d(7T)3.(5萬12

又c°s|j-a六h5皿匕+q=-耳

...sin牛a卜一Jl-cos?牛+g3仁+￡卜Jim售+q=->

,(m.S(乃

?,.sm(〃+a+/?)=sin—+p-——a

4J\4/J

=sine+勾cos旨a卜。s仁+可sinC一156

'a)=~65'

/.sin(a+尸)=-sin(7+?+/?)=—.

65

(3)己知a,尸都是銳角，tana=g,sin〃=

-----9

10

:.cos0=J_si60=^^,tan/7-￡一，c”2tan/3

tan2￡=------J,

v10cos￡3l-tan2y04'

..」an(a+20=tana+tan2￡=匚

1-tana?tan26

【點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角和差的三角公式、二倍角公

式的應用，屬于中檔題.

12.(1)證明：tana+tan/?=tan(a+/?)-tanatan/tan(a+/?)；

(2)求tan20+tan40°+Gtan20°tan40°的值;

3yr

⑶若a+左下求(13.30的值.

/彳、-tan20+tan40+tan120°,,,/士

(4)求----------；-----；-------的值.

tan20tan40

【答案】（1）證明見解析；（2）6；（3）2（4）-V3

【解析】

【分析】

分別根據(jù)兩角和的正切公式即求出或證明.

—“一l/八、tana+tanB

【詳解】（1）證明：??y11（0+/）=「-------

1-tanatanp

tana+tan(3-tan(a+尸)(1—tanatan/?)=tan(cr+/?)-tanctan(3tan(a+J3)=右

邊,

/.tana+tan0-tan(a+力)一tanatan(3tan(cr+J3)

5/八。/cc。仆。\tan200+tan400/r

(2)解：tan60=tan(20+40)=--------------------r=，3.

I7l-tan20tan40

/.tan200+tan40°=V3->73tan20tan40

/.tan20°+tan40°+Gtan20°tan40c=百

&/c、tana+tan尸37r,

(3)解：vtan(6z+/?)=----------------=tan—=

1-tanatan尸4

tana+tan/?-tanatan>9+1=0

/.(1-tancr)(l-tan/7)=l-(tana+tan/?)+tanatan/?=2.

(4)解：???tan120=-tan60。=-5

tan200+tan40°=tan(20°+40°)(l-tan20°tan40°)=tan60°(l-tan20°tan40°)=G-6tan20°tan40°

,tan200+tan40°4-tan120°_石-6tan20。tan40。-G_6

tan20°tan40°-tan20°tan40°

【點睛】本題考查了兩角和的正切公式，考查了運算求解能力和轉(zhuǎn)化與劃歸思想，

屬于中檔題.

13.化簡：

sinlOcos10

(2)sin4()[tan10"-6)

(3)tan70°cos10°(75tan20-1j；

(4)sin50+V3tan10j

【答案】(1)4；(2)-1(3)-1；(4)1

【解析】

【分析】

(1)利用輔助角公式及二倍角公式計算可得；

(2)利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系將切化弦，通分，再利用輔助角公式及誘導公

式計算可得；

(3)利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系將切化弦，通分，再利用輔助角公式及誘導公

式計算可得；

(4)利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系將切化弦，通分，再利用輔助角公式及誘導公

式計算可得；

【詳解】解：(1)原式=cosl°-GsinlO。

sin10cos10

,4I—2coslO--2sin10J

2sinl0coslO

4卜in30°cos10°-cos30°sin10)

2sinl0coslO

4sin(30a-10°)

sin20°

⑵原式=sin40。但喘一⑸

cos10)

,._0sinl0°—百coslO

=sin40---------------；-------

cos10

2—sinlO--coslO0

22

=sin400?--------------

cos170

、-2（cos30°cos10-sin30sin10°

=sin40?―-------------------：---------------

cos10

-2sin40cos40

cos10°

-sin80°

cos10

-sin（90-10）-cos10

------；--=------=—1

cos100cos10

（3）原式=tan70°cos10°（正空型＞一1

cos201

tan70acosl0c^sin2Q-COs20

2-sin20--cos200

°°22

=tan70cos10?----------------；----------

cos20

-2（sin30°cos20-cos30°sin20）

=tan70cos10o?―--------------------；----------------L

cos20

0。-2sin（30°-20°）

tan70cos10--------------；-------

cos20

sin70s。-2sin10

-------r-cosl（）-----------

cos70cos20

sin700-2cos10sin10°

cos（90°-20°）cos（90°-70°）

—sin20°二

sin20°

h….s。JGsinlO、

(4)原式=sin50?l+-------—

coslO,

._ocosl0°+V3sinl0c

=sin5n()----------------；--------

cos10

(s、行、

2—coslO+-sinlO

=sin500?"/J

coslO

=sin50。*〔c。

coslO

.2cos50

=sin50----------

cos10r

sin100

coslO

sin(90°+10°)

coslO

cos1001

=--------7=I

coslO

【點睛】此題考查了二倍角的正弦公式，誘導公式，以及兩角和與差的余弦函數(shù)公

式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

14.(1)已知cos0=-3,4<6〈紅，求(sin，-cosg的值

52122J

(2)已知sin^-cos^n],求sina的值

(3)已知sin,e+cos'eq,求sin28的值；

3

(4)已知cos26=丁求sin，。+cos'6的值.

【答案】(1)I；(2)|^;(3)土半；(4)||

【解析】

【分析】

(1)由cos6=—3,利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求出sin。，再計算(si/-cos2T的

5I22)

值；

(2)由sin?-cos?=；,兩邊平方利用二倍角正弦公式求出sina的值；

(3)由si/e+cos4eq根據(jù)平方公式和二倍角公式求出sin26的值；

3

(4)由cos26=w，利用平方關(guān)系結(jié)合題意求得sin,e+cos’。的值.

【詳解】解：(1)由cos6=—二33兀

52

得sin夕=->/l-cos20--《，

gj-e°丫.-900,.,49

明以sin---cos—=sin——2sin—cos—+cos2—=1-sm，n=l+—=—；

22)222255

/八、士?aal

(2)由sm---cos—=-,

225

所以(sin4—cos—1=sin2--2sin—cos—+cos2—=l-sina=—,

(22J222225

24

解得sina=不；

(3)由sin"e+cos"夕=*,

9

得(sin20+cos26)2=sin40+cos40+2sin2^cos28=—+^sin220=1,

解得sir?26=0,則Sin2”土逑;

93

3

(4)由COS26=M，得：

sin40+cos40=(sin20+cos20)2-2sin20cos26

17

"25,

【點睛】本題考查了三角函數(shù)的求值與應用問題，也考查了三角恒等變換應用問

題，屬于中檔題.

13

15.(1)已知cos(a+/7)=y,cos(6Z-/7)=-,求tanatan/7的值;

(2)已知cosa+cos〃=g,sina+sin/?=g,求cos(a—4)的值.

159

【答案】(1)(2)--

【解析】

..c1

sinasinp=—,

5進而根據(jù)同

【分析】(1)利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡可求2

cosacos/?=—,

角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡即可求解.

(2)將兩邊同時平方，再相加即可得解;

13

【詳解】解：(1),??cos(a+尸)=y,cos(a—=M,

cos(a+/3)=cosacos)3-sinasin/?=-,

3

cos(a-/7)=cosacos/?+sinasin/?=—,

?

si.nasinc1,

2

cosacos,

tana?tan/?=g.

(2)因為cosa+cos/?=g,sina+sin〃=；,

所以(cosa+cos/?『=；,(sina+sin僑￡

9

上述兩式相加得cos2a+2cosacos/?+cos2/?+sin2a+2sinasin/+sin?/=；+"

\359

即2+2cos(a_/?)=或解得cos(a-/?)=_^!

綜合運用

16.證明

(1)cos4a+4cos2a+3=8cos”；

1+sin2a1

(2)-------------------=—tana+—；

2cos-a+sin2c22

(3)sin(2a+0_2c0s(a+0=^

sinasina

3-4cos2A+cos4A

(4)-------------------------=tan4AA.

3-I-4cos2A+cos4A

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析；（4）證明見解析

【解析】

【分析】

（1）利用二倍角公式即可證明；

（2）利用二倍角正弦公式及商數(shù)關(guān)系即可證明；

（3）利用兩角和的正弦公式化簡證明；

（4）利用二倍角余弦公式及完全平方公式化簡證明;

【詳解】證明：（1）左邊=2cos?2二一1+4cos2a+3

=2(cos22a+2cos2a+l^=2(cos2a+1)2=2(2cos2a)=8cos4a=右邊

(2)左邊

sin2a+cos2a+2sinacosa(sina+cosa)2sina+cosa11

-----------------------------------=--------------------------=----------------=—tanaH—

2cosa+2sinacosa2cosa(cosor+sin6z)2cosa22

右邊.

/r、上』sin(2a+/?)—2cos(a+/?)sina

(3)左口=------------；--------------

sma

_sin[(a+尸)+a]—2cos(a+/)sina

sina

sin(<z+Z?)cosa-cos(a+/?)sinasin/?.

=-------------：---------------=----二石邊

sinasina

-3-4cos2A+2cos22^-12(cos22A-2cos2A+l)

(4)左邊=----------------------=—)------------------

-3+4cos2A+2cos22A-12(cos?2A+2cos2A+1)

(1-cos2A)2(2sin2A)一

=tan4A=右邊.

(1+cos2A-(2cos2Ay

【點睛】此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，以及完全平方公式的運用，三

角恒等變換公式是的靈活應用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.

17.已知sina—cosa=g,0<a</r,sin[2a-]J的值.

【答案】①也.

50

【解析】

(77A43

【分析】依題意可得ae[0,]J,且sina=-,cosa=-.然后可得sin2e,cos2a,

進而可得sin(2a

1124

【詳解】將sina-cosa=-平方得l-2sinacosa=—,所以2sinacosa=—,所

52525

以aE(0,,

24497

所以(sina+cosa>=l+2sinacosa=1+—=一,從而sina+cosa=一

25255

sina—cosa=

聯(lián)立

sina+cosa

、22

2422

所以sin2a=2sinacosa—,cos2a-cosa-sin~a=

25(i)-0T

故sin2a-(sin2a-cos2a)

712

ic-t—(,i317乃7兀sin2x+2sinx

18.已知cos7+尤==，——<x<—,求-------------的值.

UJ51241-tanx

QQ

【答案】一看

【解析】

2sinxcosxsinx+

sin2x+2sin2xI4

［分析］利用倍角公式和和差公式可得，然

1-tanxcos[+￡|

后利用條件可求出答案.

sin2x+2sin*2x_2sinxcosx+2sin2x

【詳解】??11-tanxisinx

cosx

_2sinxcosx(cosx+sinx)

cosx-sinx

..7T

2sinxcosxsin(x+-)

兀、

cosz(x+/

小、3177

cos(—+x)=—,—71<X<—7C,

45124

714

/.sin(x+—)=——,

45

c.7

2sinxcosx———.

25

2sinxcosxsin(x+—)

?________________￡=_至

/)、75'

cos(x+—)

.sin2x+2sin2x28

?---------------------=——.

1-tanx75

19.已知sine+cose=2sina,sinecos6=sin24，求證4cos?2a=cos22P.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

由sin2，+cos20=l,得到(sin6+cos6)2=l+2sin6cos6,把已知兩等式代入，整

理即可得證.

【詳解】證明：：sin2e+cos2e=l，

/.(sin6+cos6)2=l+2sin0cos0,

把sin6+cos0=2sina,sin夕?cos6=sin?1代入得：4sin2a=1+2sin?

即4(1-cos26Z)=1+2(1-cos2/?),

整理得：4cos2a=\+2cos2/7.

4cos2a-2=-l+2cos20,

2cos2a=cos2/?,

兩邊平方可得：4cos22a=cos?2/?.

【點睛】此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，以及完全平方公式的運用，I

練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.

20.已知函數(shù)/（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x.

（1）求/（X）的最小正周期；

jr

（2）當xe0,y時，求/（x）的最小值以及取得最小值時x的集合.

【答案】（1）T=7V,（2）時"）血=-^

【解析】

【分析】（1）先利用同角平方關(guān)系及二倍角公式，輔助角公式進行化簡，即可求解;

（2）由x的范圍先求出2x+f的范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

4

【詳解】解：（1）,.*/W=cos4x-2sinxcosx-sin4x,

=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x,

=cos2x-sin2x,

=A/2COS(2A:+—),

4

故的最小正周期7=%;

(2)由2￡［0,p可得2x+f,

2444

當?shù)?x+f=乃即％=半時，函數(shù)取得最小值一0.所以x［耳］，時

48IoJ

/(Hmin=-五

21.已知函數(shù)/(x)=sinx+?j+sin1龍一Yl+cosx+a的最大值為1,

（1）求常數(shù)。的值；

（2）求函數(shù)/⑶的單調(diào)遞減區(qū)間;

(3)求使/(x)..O成立的x的取值集合.

JI4TT

【答案】(1)a——\；(2)—+2k.7r,^-+2k7r,k；(3)

12k7T^c^-+2k/r,kez|

【解析】

【分析】

(1)利用兩角和與差的公式化簡成為y=Asin(3x+e)的形式，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)

可得。的值.

(2)將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的減區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞

減區(qū)間；

(3)根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解了(x)..0成立的x的取值集合.

【詳解】(1)由題意:函數(shù)f(x)=sin(x+2)+sin(x-1)+cosx+a,

66

化簡得：f(x)=sinxcos—+cosxsin—+sinxcos--cosxsin—+cosx+a

6666

=A/3sinx+cosx+a

.71

-2sin(x+—)+6z,

TT

,.?sin(x+w)的最大值為1,

o

.,./(x)=2xl+a=l,解得：a=-l.

TT

(2)??,由(1)可知/(x)=2sin(x+—)—1.

6

根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可得：+2版■+孚］(AeZ).

622

即2%%+生轟！k+&2^+—,aeZ)

262

解得：2版?+(領(lǐng)k2k兀*,aeZ),

714萬

.?./(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為-+2k7r,—+2k7V，左GZ；

(3)??,由題意：即2sin(x+3)-1..0,

可得：sin(x+])...：.

62

2^+-^ijv+-2k7T+—,依eZ).

666

解得：22%轟W2攵%+小-.(fceZ)

???/(X)..o成立的X的取值范圍是卜|2上硯ry+25Zrezj.

【點睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡和計算能力，三角函數(shù)的性質(zhì)的運用.屬于基

礎題.

22.己知函數(shù)/(x)=Gsin2x+2cos?x+機在區(qū)間0,y上的最大值為6,

(1)求常數(shù)”的值；

(2)當xeR時、求函數(shù)/(x)的最小值，以及相應x的集合.

【答案】(1)加=3(2)2,1x|x=-^-+k7r,k.ez|.

【解析】

【分析】

(1)先利用兩角和的正弦公式化成標準形式，根據(jù)x的范圍求函數(shù)的最大值，然后

讓最大值等于6,求出團的值；

(2)當xeR時，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最小值及取到最小值時的x的值.

【詳解】解:f(x)=A/3sin2x+2cos2x+m

=Gsin2x+1+cos2x+m

=2sin2x+—+m+l,

I6

c71R7%

,/XG0,—,2xH€

26IT

一抖0x+￡|1,

所以函數(shù)f(x)的最大值為3+〃?,

.\3+m=6,加=3,

(2)由(1)得/(x)=2sin(2x+?J+4,

當xeR時，函數(shù)/(x)的最小值為2,

Jr37r2乃

此時2%+2=3+24)，解得x='+々萬(AwZ)

623

即1x|x=|+匕r/ez｝時取最小值.

【點睛】本題考查了三角函數(shù)的最值問題，解題的關(guān)鍵是把函數(shù)解析式化成標準形

式，要注意”的取值范圍，屬于基礎題.

23.如圖正方形A8CD的邊長為1