題型專(zhuān)練05-新高考開(kāi)放性試題（解析版）

新高考開(kāi)放性試題題型專(zhuān)練051．下列說(shuō)法中正確的是A．在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等．B．若A、B為互斥事件，則A的對(duì)立事件與B的對(duì)立事件一定互斥．C．某個(gè)班級(jí)內(nèi)有40名學(xué)生，抽10名同學(xué)去參加某項(xiàng)活動(dòng)，則每4人中必有1人抽中．D．若回歸直線(xiàn)的斜率，則變量與正相關(guān)．【答案】AD【解析】利用頻率分布直方圖和回歸直線(xiàn)方程，以及互斥事件和對(duì)立事件的概念，逐項(xiàng)判定，即可求解．對(duì)于A中，在頻率分布直方圖中，根據(jù)中位數(shù)的概念，可得中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等是正確的；對(duì)于B中，若A、B為互斥事件，根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念，可得則A的對(duì)立事件與B的對(duì)立事件不一定互斥，所以不正確；對(duì)于C中，某個(gè)班級(jí)內(nèi)有40名學(xué)生，抽10名同學(xué)去參加某項(xiàng)活動(dòng)，根據(jù)概率的概念，可得每4人中不一定必有1人抽中，所以是不正確的；對(duì)于D中，若回歸直線(xiàn)的斜率，根據(jù)回歸系數(shù)的含義，可得變量與正相關(guān)是正確的．故選：AD．2．若方程所表示的曲線(xiàn)為C，則下面四個(gè)命題中正確的是A．若1＜t＜5，則C為橢圖B．若t＜1．則C為雙曲線(xiàn)C．若C為雙曲線(xiàn)，則焦距為4D．若C為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則3＜t＜5【答案】BD【解析】根據(jù)橢圓和雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解，得到答案．由題意，若方程表示橢圓，則滿(mǎn)足，解得或，對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程表示圓，所以不正確；當(dāng)方程表示焦點(diǎn)在軸上橢圓，則滿(mǎn)足，解得，所以D項(xiàng)正確；對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)，所以是正確的；對(duì)于C中，當(dāng)時(shí)，方程，此時(shí)雙曲線(xiàn)的焦距為，所以不正確．故選BD．若方程表示橢圓，則滿(mǎn)足，解得或．3．等差數(shù)列是遞增數(shù)列，滿(mǎn)足，前項(xiàng)和為，下列選擇項(xiàng)正確的是A． B．C．當(dāng)時(shí)最小 D．時(shí)的最小值為【答案】ABD【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，求得，根?jù)數(shù)列是遞增數(shù)列，得到正確；再由前項(xiàng)公式，結(jié)合二次函數(shù)和不等式的解法，即可求解．由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋傻?，解得，又由等差?shù)列是遞增數(shù)列，可知，則，故正確；因?yàn)?，由可知，?dāng)或時(shí)最小，故錯(cuò)誤，令，解得或，即時(shí)的最小值為，故正確．故選ABD4．下列命題中正確的是A．是空間中的四點(diǎn)，若不能構(gòu)成空間基底，則共面B．已知為空間的一個(gè)基底，若，則也是空間的基底C．若直線(xiàn)的方向向量為，平面的法向量為，則直線(xiàn)D．若直線(xiàn)的方向向量為，平面的法向量為，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為【答案】ABD【解析】不共面的三個(gè)非零向量可以構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，由此可判斷A、B，若直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量垂直，則線(xiàn)面平行，可判斷C，直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值與該直線(xiàn)與此平面所成角的正弦值相等，由此可判斷D．對(duì)于A，是空間中的四點(diǎn)，若不能構(gòu)成空間基底，則共面，則共面，故A對(duì)；對(duì)于B，已知為空間的一個(gè)基底，則不共面，若，則也不共面，則也是空間的基底，故B對(duì)；對(duì)于C，因?yàn)?，則，若，則，但選項(xiàng)中沒(méi)有條件，有可能會(huì)出現(xiàn)，故C錯(cuò)；對(duì)于D，∵，則則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，故D對(duì)；故選：ABD．5．函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分圖象如圖所示，其中A＞0，ω＞0，，則ω＝，sinφ＝．【答案】2，【解析】由圖知，A＝2，，所以ω＝2．所以f（x）＝2sin（2x+φ）．又，所以．故答案為2；．6．已知正數(shù)x，y滿(mǎn)足，則當(dāng)x=時(shí)，x+y的最小值是．【答案】，1【解析】正數(shù)x，y滿(mǎn)足，∴，可得，∴x+y＝，令t＝3y﹣1則y＝且t＞0，x+y＝，＝，當(dāng)且僅當(dāng)4t＝即t＝，此時(shí)x＝y(tǒng)＝取最小值1，故答案為：，1．7．（2020春?濰坊月考）已知函數(shù)為常數(shù)，且．（1）在下列條件中選擇一個(gè)②使數(shù)列是等比數(shù)列，說(shuō)明理由；①數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列；②數(shù)列是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列；③數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列的前項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列．（2）在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）①③不能使數(shù)列是等比數(shù)列，②可以．由題意，即，可得，且，，由常數(shù)且，可得為非零常數(shù)，則是為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）可得，當(dāng)時(shí)，，，可得，前項(xiàng)和．8．（2020?山東模擬）在①；②，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，設(shè)的面積為，已知①．（1）求的值；（2）若，，求的值．【解析】選①，（1），即，所以即；（2）由（1）可得，，，即，由余弦定理可得，，整理可得，．9．在EQ\o\ac(○,1)，EQ\o\ac(○,2)，EQ\o\ac(○,3)這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并判斷三角形是否有解，若有解，求出的值；若無(wú)解，請(qǐng)說(shuō)明理由、在中，已知道分別是角A，B，C的對(duì)邊，且滿(mǎn)足C=2B，b+c=10，【解析】若選擇EQ\o\ac(○,1)，則，因?yàn)镃=2B，所以，顯然矛盾，此時(shí)三角形無(wú)解若選擇EQ\o\ac(○,2)，由正弦定理可知又b+c=10．所以c=6，b=4由余弦定理，可得解得，若則由b=4知A=B，又因?yàn)镃=2B，所以得，這與矛盾，舍去經(jīng)檢驗(yàn)知，當(dāng)時(shí)適合題意，故若選擇EQ\o\ac(○,3)，因?yàn)镃=2B，所以，即得此時(shí)，所以c<b，此時(shí)C=2B矛盾，此時(shí)三角形無(wú)解10．在EQ\o\ac(○,1)，EQ\o\ac(○,2)，EQ\o\ac(○,3)在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，若問(wèn)題中的正整數(shù)，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由。已知數(shù)列中，其中前n項(xiàng)和為，且。是否存在正整數(shù)，使得構(gòu)成等差數(shù)列？【解析】若選擇條件EQ\o\ac(○,1)，則，兩式相除得到EQ\o\ac(○,1)，所以的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公比為4的等比數(shù)列由于，所以，又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，故數(shù)列是等比數(shù)列，公比為2所以故所以，若構(gòu)成等差數(shù)列，則，整理的到無(wú)解，所以不存在正整數(shù)，使得構(gòu)成等差數(shù)列若選擇EQ\o\ac(○,2)，由于，所以，則，于是當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，于是，所以數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列因此，所以所以若構(gòu)成等差數(shù)列，則整理得到無(wú)解，所以不存在正整數(shù)，使得構(gòu)成等差數(shù)列若選擇條件EQ\o\ac(○,3)，由于，所以，則，因此，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，于是，所以，于是數(shù)列是等差數(shù)列，且所以，所以構(gòu)成等差數(shù)列11．（2019秋?景德鎮(zhèn)期末）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1⊥平面AA1C1C，D為BB1的中點(diǎn)，AC=AA1=2AB，∠AA1C1＝60°，（1）在CC1上是否存在一點(diǎn)H，使得B1H⊥A1D，若存在，求出CH：HC1的值，不存在，說(shuō)明理由；（2）在線(xiàn)段B1C上有一點(diǎn)P，且B1P：PC＝1：2，求二面角P﹣AA1﹣D的余弦值．【解析】（1）令A(yù)B＝1，則AC＝AA1=2，∵A∴△AA1B1∽△DB1A1，∴AB1⊥A1D，若B1H⊥A1D，則A1D⊥面AB1H?A1D⊥AH，又∵側(cè)面ABB1A1⊥平面AA1C1C，AB⊥AA1，∴AB⊥平面AA1C1C，∴AB⊥AH，∴AH⊥AA1，∴H為CC1的中點(diǎn)，即CH：HC1＝1：1．（2）以AB，AA1，AH為x，y，z軸構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，令A(yù)B＝1，則C（0，-22，62），B1（1，2，0），A1（0可得AP→設(shè)平面PAA1的法向量為m→=（x，y，z），由m→?AP→=0且m→?AA1→=0，即23x+可取m→=（-64，0，1），又因?yàn)槊鍭A1D的法向量n→=所以二面角P﹣AA1﹣D的余弦值cosθ＝|cos＜m→，n→＞|12．（2020?宜賓模擬）手機(jī)運(yùn)動(dòng)計(jì)步已經(jīng)成為一種新時(shí)尚．某單位統(tǒng)計(jì)職工一天行走步數(shù)（單位：百步）得到如下頻率分布直方圖：由頻率分布直方圖估計(jì)該單位職工一天行走步數(shù)的中位數(shù)為125（百步），其中同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表．（1）試計(jì)算圖中的a、b值，并以此估計(jì)該單位職工一天行走步數(shù)的平均值μ；（2）為鼓勵(lì)職工積極參與健康步行，該單位制定甲、乙兩套激勵(lì)方案：記職工個(gè)人每日步行數(shù)為ω，其超過(guò)平均值μ的百分?jǐn)?shù)ε=ω-μμ×100，若ε∈（0，10]，職工獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；若ε∈（10，20]，職工獲得二次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；若ε∈（20，30]，職工獲得三次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；若ε∈（30，40]，職工獲得四次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；若ε超過(guò)方案甲：從裝有1個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋中有放回的抽取n個(gè)小球，抽得紅球個(gè)數(shù)及表示該職工中獎(jiǎng)幾次；方案乙：從裝有6個(gè)紅球和4個(gè)白球的口袋中無(wú)放回的抽取n個(gè)小球，抽得紅球個(gè)數(shù)及表示該職工中獎(jiǎng)幾次；若某職工日步行數(shù)為15700步，試計(jì)算他參與甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案中獎(jiǎng)次數(shù)的分布列．若是你，更喜歡哪個(gè)方案？【解析】（1）由題意得：（0．002+0．006+0．008+a+b+0．008+0．002+0．002）×解得a＝0．012，b＝0．010，∴μ=60×0．002×20+80×0．006×20+100×0．008×20+120×0．012×20+140×0．010×20+160×0．008×20+180×0．002×20+200×0．002×20＝125．6．（2）某職工日行步數(shù)ω＝157（百步），ε=157-125．6125．6∴職工獲得三次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，設(shè)職工中獎(jiǎng)次數(shù)為X，在方案甲下X～X0123P8271227627127E（X）=0×8在方案乙下X0123P1303101216E（X）=0×1∴更喜歡方案乙．13．（2020?石家莊一模）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），點(diǎn)（1，32）在橢圓C上，點(diǎn)A（﹣（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線(xiàn)l過(guò)右焦點(diǎn)F2與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)P（t，0）使得PM→?PN→為定值？如果存在，求出點(diǎn)【解析】（1）由題意可得上頂點(diǎn)B（0，b），AB⊥BF2，所以：1a2+94b2=1，AB→?BF2→=0，即（3c，b）?（c，﹣b）＝0即b解得：a2＝4，b2＝3，所以橢圓的方程為：x24（2）由（1）可得右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)（1，0），假設(shè)存在P（t，0）i）當(dāng)直線(xiàn)MN的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)MN的方程為：x＝my+1，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程x=my+13x2+4y2-12=0，整理可得：（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，∴y1+y2=-6m∴x1+x2＝m（y1+y2）+2=84+3m2，x1x2＝m2y1y2+m（y1+y2）+1=因?yàn)镻M→?PN→=（x1﹣t，y1）?（x2﹣t，y2）＝x1x2﹣t（x1+x2）+t2+y1y2=4-12要使PM→?PN→為定值，則t2-41=4tii）當(dāng)直線(xiàn)MN的斜率為0時(shí)，則M（﹣2，0），N（2，0），P為（118，0），則PM→?PN→=（﹣2-118，0）?（2-11綜上所述：所以存在P（118，0），使PM→?14．（2020?江蘇一模）已知函數(shù)f（x）=（a-1x）lnx（（1）若曲線(xiàn)y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程為x+y﹣1＝0，求a的值；（2）若f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）存在兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）當(dāng)a＝2時(shí)，是否存在整數(shù)λ，使得關(guān)于x的不等式f（x）≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，說(shuō)明理由．【解析】（1）f'因?yàn)榍€(xiàn)y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程為x+y﹣1＝0，所以f'（1）＝a﹣1＝﹣1，得a＝0；（2）因?yàn)閒'所以g（x）＝ax﹣1+lnx存在兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，則g'①當(dāng)a≥0時(shí)，g'（x）＞0，所以g（x）單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)，②當(dāng)a＜0時(shí)，因?yàn)楫?dāng)x∈（0，-1a）時(shí)，g'（x當(dāng)x∈（-1a，+∞）時(shí)，g'（x所以x=-1a因?yàn)間（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)，所以ln（-1a）-2＞0，解得﹣e﹣因?yàn)椹乪﹣2＜a＜0，所以-1因?yàn)間（1）＝a﹣1＜0，所以g（x）在（0，因?yàn)椹乪﹣2＜a＜0，所以（-因?yàn)間[（-1a）2]=ln（-1a）2+1a-1，設(shè)t=-1因?yàn)閥'=2-tt＜0，所以y＝2lnt﹣t﹣1所以y＜2ln（e2）﹣e2﹣1＝3﹣e2＜0，所以g