2021屆高三考前沖刺適應(yīng)性考試(三)數(shù)學(xué)(理)考試題(帶答案)詳解+解析點(diǎn)睛

試卷第頁2021屆高三考前沖刺適應(yīng)性考試（三）數(shù)學(xué)（理）考試題（帶答案）詳解+解析點(diǎn)睛姓名:_____________年級(jí):____________學(xué)號(hào):______________題型選擇題填空題簡(jiǎn)答題xx題xx題xx題總分得分評(píng)卷人得分一、xx題（每空xx分，共xx分）第1題

已知集合，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.B.C.D.

【答案解析】

C

.

.故選C

第2題

復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為（）

A.B.C.D.

【答案解析】

B

試題分析：由題，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，選B

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)

第3題

等于（）

A.0B.C.D.2

【答案解析】

D

，故答案為D.

考點(diǎn)：定積分的計(jì)算.

第4題

已知函數(shù)的定義域?yàn)閇0，2]，則的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.B.C.D.

【答案解析】

C

【分析】

根據(jù)的定義域，計(jì)算定義域，再考慮分母不為0，計(jì)算得到答案.

【詳解】函數(shù)的定義域是[0，2]，要使函數(shù)有意義,需使有意義且.所以解得

故答案為C

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)定義域，屬于簡(jiǎn)單題.

第5題

數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，若，則（）

A.20B.15C.10D.-5

【答案解析】

A

試題分析：當(dāng)時(shí)，適合上式，

所以，所以因?yàn)?，所以，選A

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

第6題

已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

A.B.C.D.

【答案解析】

D

【詳解】解：該幾何體是一個(gè)底面半徑為1、高為4的圓柱被一個(gè)平面分割成兩部分中的一個(gè)部分，故其體積為.

本題選擇D選項(xiàng).

第7題

在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，使直線與圓相交的概率為（）

A.B.C.D.

【答案解析】

C

【分析】

根據(jù)直線與圓相交，可求出k的取值范圍，根據(jù)幾何概型可求出相交的概率.

【詳解】因?yàn)閳A心，半徑，直線與圓相交，所以

，解得

所以相交的概率,故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，幾何概型，屬于中檔題.

第8題

向量，，滿足，，，，則（）

A.3B.C.D.

【答案解析】

D

【分析】

根據(jù)向量運(yùn)算法則得到，，代入計(jì)算得到答案.

【詳解】，故，，故，

故，，故，

.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了向量運(yùn)算，向量的模，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

第9題

已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為，分別為的中點(diǎn)，P是線段A1B上的動(dòng)點(diǎn)，與平面的交點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)為（）

A.B.C.4D.

【答案解析】

B

【分析】

作圖分析，由是線段上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)合于或時(shí)，找到，與平面的交點(diǎn)分別為，即的軌跡為，再求出的長(zhǎng)度得到答案.

【詳解】如圖所示，連接，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，

由，即共面，由是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)合于或時(shí)，

，與平面的交點(diǎn)分別為，即的軌跡為，

由棱長(zhǎng)為，則，

則，又，則,

由，則，

則.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題以正方體為載體，考查了點(diǎn)線面的位置關(guān)系、余弦定理，解決本題的關(guān)鍵在于找到點(diǎn)的軌跡，還考查了學(xué)生的分析推理能力，運(yùn)算能力，屬于中檔題.

第10題

已知曲線在處的切線為，曲線在處的切線為，且，則的取值范圍是（）

A.B.C.D.

【答案解析】

B

【分析】

先求出兩條切線各自的斜率，再根據(jù)它們垂直得到的關(guān)系，將表示為的函數(shù)后利用導(dǎo)數(shù)可求的取值范圍.

【詳解】令，，

則，，所以，，

因?yàn)?，故，所以?/p>

因?yàn)椋?

又，令，

則，

當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，故，

所以在上恒成立，

故在上為減函數(shù)，所以，

又當(dāng)時(shí)，，

所以的取值范圍為，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)的值域的求法，注意函數(shù)圖象在某點(diǎn)處的切線的斜率就是函數(shù)在該點(diǎn)橫坐標(biāo)處的導(dǎo)數(shù)，另外，求函數(shù)的值域時(shí)不僅要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，而且還要考慮函數(shù)的圖象有無水平的漸近線.

第11題

某化工廠在定期檢修設(shè)備時(shí)發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)管道中共有5處閥門（）發(fā)生有害氣體泄漏.每處閥門在每小時(shí)內(nèi)有害氣體的泄露量大體相等，約為0.01立方米.閥門的修復(fù)工作可在不停產(chǎn)的情況下實(shí)施.由于各閥門所處的位置不同，因此修復(fù)所需的時(shí)間不同，且修復(fù)時(shí)必須遵從一定的順序關(guān)系，具體情況如下表：

泄露閥門

修復(fù)時(shí)間

（小時(shí)）

11

8

5

9

6

需先修復(fù)

好的閥門

.

在只有一個(gè)閥門修復(fù)設(shè)備的情況下，合理安排修復(fù)順序，泄露的有害氣體總量最小為（）

A.1.14立方米B.1.07立方米C.1.04立方米D.0.39立方米

【答案解析】

C

【分析】

先確定有要求三個(gè)閥門的先后順序必須是，要使泄露的有害氣體總量最小，修復(fù)時(shí)間長(zhǎng)的因盡量靠后，確定修復(fù)順序?yàn)?，然后?jì)算每個(gè)閥門泄露有害氣體的時(shí)間，計(jì)算出泄露的有害氣體總量最小值.

【詳解】由表知，根據(jù)需先修復(fù)好的閥門的要求，可確定順序無要求，其中三個(gè)閥門的先后順序必須是，要使泄露的有害氣體總量最小，修復(fù)時(shí)間長(zhǎng)的因盡量靠后，

故修復(fù)順序?yàn)椋?/p>

則各閥門泄露有害氣體的時(shí)間分別為小時(shí)，

泄露有害氣體的時(shí)間共小時(shí)，

故泄露的有害氣體總量最小為立方米，

故選：C

【點(diǎn)睛】本題是實(shí)際應(yīng)用問題的最優(yōu)化問題，理解題意是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

第12題

設(shè)是常數(shù)，對(duì)于，都有，則（）

A.2019B.2020C.2019!D.2020!

【答案解析】

A

【分析】

先令，求得的值，再將給定的恒等式兩邊求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，然后令，從而可得所求的值.

【詳解】因?yàn)椋?/p>

則令可得.

又對(duì)兩邊求導(dǎo)可得：

，

令，

則，

所以，

所以

故，

所以.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及恒等式的系數(shù)和的求法，注意根據(jù)恒等式的特征選擇合適的賦值，本題屬于較難題.

第13題

_________.

【答案解析】

【分析】

題設(shè)中的三角函數(shù)值可轉(zhuǎn)化為，逆用兩角和的余弦可求給定的三角函數(shù)式的值.

【詳解】.

故答案為：.

【點(diǎn)睛】三角函數(shù)的中的化簡(jiǎn)求值問題，我們往往從次數(shù)的差異、函數(shù)名的差異、結(jié)構(gòu)的差異和角的差異去分析，處理次數(shù)差異的方法是升冪降冪法，解決函數(shù)名差異的方法是弦切互化，而結(jié)構(gòu)上差異的處理則是已知公式的逆用等，最后角的差異的處理則往往是用已知的角去表示未知的角.

.

第14題

寒假里5名同學(xué)結(jié)伴乘動(dòng)車外出旅游，實(shí)名制購票，每人一座，恰在同一排A、B、C、D、E五個(gè)座位（一排共五個(gè)座位），上車后五人在這五個(gè)座位上隨意坐，則恰有一人坐對(duì)與自己車票相符座位的坐法有__________種.

【答案解析】

45

【分析】

先選出坐對(duì)位置的人，再對(duì)剩下四人進(jìn)行錯(cuò)排，最后利用分布計(jì)數(shù)乘法原理求結(jié)果.

【詳解】先選出坐對(duì)位置的人，即從5人中選1人，有5種可能；

剩下四人進(jìn)行錯(cuò)排，設(shè)四人座位為，則四人都不坐在自己位置上有這9種可能；

所以恰有一人坐對(duì)與自己車票相符座位的坐法有種

故答案為：45

【點(diǎn)睛】本題考查錯(cuò)排問題，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

第15題

如圖，將地球近似看作球體.設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為，為此時(shí)太陽直射緯度（當(dāng)?shù)叵陌肽耆≌?，冬半年取?fù)值），為該地的緯度值.已知太陽每年直射范圍在南北回歸線之間，即.如果在北京地區(qū)（緯度數(shù)約為北緯40°）的一幢高為的樓房北面蓋一新樓，要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，兩樓的距離不應(yīng)小于_________.（只需列出式子）

【答案解析】

【分析】

根據(jù)題意列出不等式，再根據(jù)不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題，結(jié)合范圍確定最值，即得結(jié)果..

【詳解】設(shè)兩樓的距離為，

因?yàn)?/p>

則要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，需滿足對(duì)恒成立,因此

，從而兩樓的距離不應(yīng)小于

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問題、正切函數(shù)單調(diào)性，考查基本分析建模能力與轉(zhuǎn)化求解能力，屬中檔題.

第16題

已知橢圓的焦點(diǎn)是，A、B是C上（不在長(zhǎng)軸上）的兩點(diǎn)，且.M為與的交點(diǎn)，則M的軌跡所在的曲線是______；離心率為_____.

【答案解析】

橢圓；

【分析】

設(shè)，則，設(shè)表示出，

聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，代入消去即可得解；

【詳解】解：設(shè)，則，的斜率不為0，可設(shè)

則①，②

所以

聯(lián)立得，得，

所以

由①②得，所以

所以整理得，所以的軌跡所在的曲線是橢圓，

故答案為：橢圓；.

【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

第17題

已知數(shù)列{an}，{bn}滿足，，，{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn.

（1）證明：是定值；

（2）試比較Sn與Tn的大小.

【答案解析】

（1）證明見解析；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

【分析】

（1）將已知遞推關(guān)系式化為，由此可求得，代入整理可得結(jié)論；

（2）由（1）可得，根據(jù)數(shù)列單調(diào)遞增和可確定結(jié)果.

【詳解】（1）證明：由得：，

則，

，

，

.

（2）由（1）知：，

，，單調(diào)遞增.

又，，，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列綜合應(yīng)用問題，涉及到數(shù)列中的定值問題、根據(jù)數(shù)列單調(diào)性比較大小的問題；解決定值問題的關(guān)鍵是能夠結(jié)合裂項(xiàng)的方法，前后相消求得前項(xiàng)和和前項(xiàng)積.

第18題

已知圓，設(shè)A為圓C與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)A作圓C的弦，并使弦的中點(diǎn)恰好落在軸上.

（1）求點(diǎn)M的軌跡E的方程；

（2）延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)P，延長(zhǎng)交曲線E于點(diǎn)N，曲線E在點(diǎn)N處的切線與軸交于點(diǎn)Q.求證：.

【答案解析】

（1）；（2）證明見解析.

【分析】

（1）由為圓與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，可得，再由弦的中點(diǎn)恰好落在軸上，可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足，再由點(diǎn)在圓上即得解；

（2）設(shè){{252l消得，

所以.

（2）設(shè)，將代入得，，

，令得，所以，

因?yàn)?，所以點(diǎn)處的切線為，即，

令得，所以.

所以斜率

所以.

【點(diǎn)睛】本題考查了直線與拋物線綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于較難題

第19題

如圖，組合體由半個(gè)圓錐和一個(gè)三棱錐構(gòu)成，其中O是圓錐底面圓心，B是圓弧上一點(diǎn)，滿足是銳角，.

（1）在平面內(nèi)過點(diǎn)作平面交于點(diǎn)P，并寫出作圖步驟，但不要求證明；

（2）在（1）中，若P是中點(diǎn)，且，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案解析】

（1）答案見解析；（2）.

【分析】

（1）①延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)；②連接；③過點(diǎn)作交于點(diǎn)，可得點(diǎn)P.

（2）若是中點(diǎn)，則是中點(diǎn)，又因?yàn)?，所以，所以，從?依題意，兩兩垂直，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系,運(yùn)用空間向量線面角的求解方法可得解.

【詳解】（1）①延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)；②連接；③過點(diǎn)作交于點(diǎn).

（2）若是中點(diǎn)，則是中點(diǎn)，又因?yàn)椋?，所以，從?

依題意，兩兩垂直，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

從而，

設(shè)平面的法向量為，

則即取，得.

則，

所以直線與平面所成角的正弦值為.

【點(diǎn)睛】本題考查空間的線面平行關(guān)系，線面角的求解方法，屬于中檔題.

第20題

已知6名某疾病病毒密切接觸者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通過化驗(yàn)血液來確定感染者.血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的即為感染者，呈陰性即為健康.

（1）若從這6名密切接觸者中隨機(jī)抽取3名，求抽到感染者的概率；

（2）血液化驗(yàn)確定感染者的方法有：①逐一化驗(yàn)；②分組混合化驗(yàn)：先將血液分成若干組，對(duì)組內(nèi)血液混合化驗(yàn)，若化驗(yàn)結(jié)果呈陰性，則該組血液不含病毒；若化驗(yàn)結(jié)果呈陽性，則對(duì)該組的備份血液逐一化驗(yàn)，直至確定感染者.

（i）采取逐一化驗(yàn)，求所需檢驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望；

（ii）采取平均分組混合化驗(yàn)（每組血液份數(shù)相同），依據(jù)所需化驗(yàn)總次數(shù)的期望，選擇合理的平均分組方案.

【答案解析】

（1）；（2）（i）；（ii）按（2，2，2）或（3，3）分組進(jìn)行化驗(yàn)均可.

【分析】

（1）總數(shù)為，抽到感染者，則從余下5名某疾病病毒密切接觸者中，再抽2人，有，從而求得抽到感染者的概率；

（2）分別求出方案（i）和方案（ii）的分布列和均值，注意方案（ii）采取平均分組混合化驗(yàn)，又平均分成3組和平均分成2組兩種情況，再通過對(duì)比得出結(jié)論.

【詳解】解：（1）從這6名密切接觸者中隨機(jī)抽取l

.

（ii）首先考慮（3，3）分組，所需化驗(yàn)次數(shù)為，的可能取值是2，3，

，

分布列如下：

2

3

.

再考慮（2，2，2）分組，所需化驗(yàn)次數(shù)為，的可能取值是2，3，

，

分布列如下：

2

3

.

所以按（2，2，2）或（3，3）分組進(jìn)行化驗(yàn)均可.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了隨機(jī)事件概率的計(jì)算,以及離散型隨機(jī)變量的分布列的均值與方差,屬于中檔題.

第21題

已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（2）若存在直線，使得對(duì)任意的，，對(duì)任意的，，求a的取值范圍.

【答案解析】

（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）.

【分析】

(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分，兩種情況討論即可；

(2)先由可轉(zhuǎn)化為二次不等式的恒成立問題，然后構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的，恒成立問題，即可求解.

【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?

（i）若，則；

（ii）若，則由得，由得；

綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）設(shè)存在直線{{355}l由（i）得，

即，

令，，

，所以單調(diào)遞增，

又因?yàn)?，所以在是單調(diào)遞減，是單調(diào)遞減，所以，所以.

【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值問題，屬于能力提升題.

請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做第一個(gè)題目計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑.

第22題

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為.