千題百煉-高中數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題（三）：第85煉 幾何概型

第十一章 第85煉幾何概型概率與隨機(jī)變量第85煉幾何概型一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、幾何概型：每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)為幾何概型2、對(duì)于一項(xiàng)試驗(yàn)，如果符合以下原則：（1）基本事件的個(gè)數(shù)為無(wú)限多個(gè)（2）基本事件發(fā)生的概率相同則可通過(guò)建立幾何模型，利用幾何概型計(jì)算事件的概率3、幾何概型常見(jiàn)的類(lèi)型，可分為三個(gè)層次：（1）以幾何圖形為基礎(chǔ)的題目：可直接尋找事件所表示的幾何區(qū)域和總體的區(qū)域，從而求出比例即可得到概率。（2）以數(shù)軸，坐標(biāo)系為基礎(chǔ)的題目：可將所求事件轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的線(xiàn)段（或坐標(biāo)平面的可行域），從而可通過(guò)計(jì)算長(zhǎng)度（或面積）的比例求的概率（將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為第（1）類(lèi)問(wèn)題）（3）在題目敘述中，判斷是否運(yùn)用幾何概型處理，并確定題目中所用變量個(gè)數(shù)。從而可依據(jù)變量個(gè)數(shù)確定幾何模型：通常變量的個(gè)數(shù)與幾何模型的維度相等：一個(gè)變量→數(shù)軸，兩個(gè)變量→平面直角坐標(biāo)系，三個(gè)變量→空間直角坐標(biāo)系。從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為第（2）類(lèi)問(wèn)題求解二、典型例題：例1：已知函數(shù)，在定義域內(nèi)任取一點(diǎn)，使的概率是（）A.B.C.D.思路：先解出時(shí)的取值范圍：，從而在數(shù)軸上區(qū)間長(zhǎng)度占區(qū)間長(zhǎng)度的比例即為事件發(fā)生的概率，所以答案：C例2：如圖，矩形內(nèi)的陰影部分是由曲線(xiàn)及直線(xiàn)與軸圍成，向矩形內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，若落在陰影部分的概率為，則的值是（）A.B.C.D.思路：落在陰影部分的概率即為陰影部分面積與長(zhǎng)方形面積的比值長(zhǎng)方形的面積，陰影面積，所以有，可解得，從而答案：B例3：已知正方形的邊長(zhǎng)為2，是邊的中點(diǎn)，在正方形內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，則滿(mǎn)足的概率為（）A.B.C.D.思路：可理解為以為圓心，為半徑的圓的內(nèi)部，通過(guò)作圖可得概率為陰影部分面積所占正方形面積的比例。可將陰影部分拆為一個(gè)扇形與兩個(gè)直角三角形，可計(jì)算其面積為，正方形面積，所以答案：B小煉有話(huà)說(shuō)：到某定點(diǎn)的距離等于（或小于）定長(zhǎng)的軌跡為圓（或圓的內(nèi)部），所以從和為定點(diǎn)便可確定所在的圓內(nèi)例4：一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖所示，是的中點(diǎn)，一只蝴蝶在幾何體內(nèi)自由飛翔，由它飛入幾何體內(nèi)的概率為（）A.B.C.D.思路：所求概率為棱錐的體積與棱柱體積的比值。由三視圖可得，且兩兩垂直，可得，棱錐體積，而，所以。從而答案：D例5：如圖，點(diǎn)等可能分布在菱形內(nèi)，則的概率是（）A.B.C.D.思路：對(duì)聯(lián)想到數(shù)量積的投影定義，即乘以在上的投影，不妨將投影設(shè)為，則，即即可，由菱形性質(zhì)可得，取中點(diǎn)，有，所以且垂足四等分，點(diǎn)位置應(yīng)該位于內(nèi)。所以答案：D例6：某人睡午覺(jué)醒來(lái)，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開(kāi)收音機(jī)，想聽(tīng)電臺(tái)報(bào)時(shí)，則他等待時(shí)間不多于15分鐘的概率為（）A.B.C.D.思路：所涉及到只是時(shí)間一個(gè)變量，所以考慮利用數(shù)軸輔助解決。在一個(gè)小時(shí)中，符合要求的線(xiàn)段長(zhǎng)度所占的比例為，所以概率答案：B例7：已知函數(shù)，若都是區(qū)間內(nèi)的數(shù)，則使成立的概率是（）A.B.C.D.思路：題目中涉及兩個(gè)變量，所以考慮利用直角坐標(biāo)系解決。設(shè)為“在區(qū)間內(nèi)”，則要滿(mǎn)足的條件為：，設(shè)事件為“成立”，即，所以要滿(mǎn)足的條件為：，作出各自可行域即可得到答案：C例8：在區(qū)間上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，記為事件“”的概率，為事件“”的概率，為事件“”的概率，則（）A.B.C.D.思路：分別在坐標(biāo)系中作出“”，“”，“”的區(qū)域，并觀察或計(jì)算其面積所占單位長(zhǎng)度正方形的比例，即可得到的大?。捍鸢福築例9：小王參加網(wǎng)購(gòu)后，快遞員電話(huà)通知于本周五早上7:30-8:30送貨到家，如果小王這一天離開(kāi)家的時(shí)間為早上8:00-9:00，那么在他走之前拿到郵件的概率為（）A.B.C.D.思路：本題中涉及兩個(gè)變量，一個(gè)是快遞員到達(dá)的時(shí)刻，記為，一個(gè)是小王離開(kāi)家的時(shí)刻，記為，由于雙變量所以考慮建立平面坐標(biāo)系，利用可行域的比值求得概率。必然事件所要滿(mǎn)足的條件為：，設(shè)“小王走之前拿到郵件”為事件，則要滿(mǎn)足的條件為：，作出和的可行域，可得答案：D例10：已知一根繩子長(zhǎng)度為，隨機(jī)剪成三段，則三段剛好圍成三角形的概率為_(kāi)_____思路：隨機(jī)剪成三段，如果引入3個(gè)變量，則需建立空間坐標(biāo)系，不易于求解。考慮減少變量個(gè)數(shù)，由于三段的和為，設(shè)其中兩