專題突破練20　統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

專題突破練20統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例1.(2020吉林遼源高三檢測,18)某城市在進(jìn)行創(chuàng)建文明城市的活動(dòng)中,為了解居民對“創(chuàng)建文明城市”的滿意程度,組織居民給活動(dòng)打分(分?jǐn)?shù)為整數(shù).滿分為100分).從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為120的樣本.發(fā)現(xiàn)所有數(shù)據(jù)均在[40,100]內(nèi).現(xiàn)將這些分?jǐn)?shù)分成以下6組并畫出了樣本的頻率分布直方圖,但不小心污損了部分圖形,如圖所示.觀察圖形,回答下列問題:(1)算出第三組[60,70)的頻數(shù),并補(bǔ)全頻率分布直方圖;(2)請根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)2.下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位:億元)的折線圖.為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2,…,17)建立模型①;y^=-30.4+13.5t;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2,…,7)建立模型②:y^=99+17.5(1)分別利用這兩個(gè)模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值;(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠?并說明理由.3.(2020河南鄭州高三檢測,19)某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng),提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機(jī)分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位:min)繪制了如下莖葉圖:(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說明理由;(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?附:K2=n(ad-P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.8284.(2020貴州貴陽高三6月適應(yīng)性測試,18)2020年2月以來,由于受新型冠狀病毒肺炎疫情的影響,貴州省中小學(xué)陸續(xù)開展“停課不停學(xué)”的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí).為了解貴陽市高三學(xué)生返校前的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)情況,對甲、乙兩所高中分別隨機(jī)抽取了25名高三學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,根據(jù)學(xué)生的日均網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)時(shí)長(單位:h)分別繪制了部分莖葉圖(如圖1)和乙校學(xué)生日均網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)時(shí)長的部分頻率分布直方圖(如圖2),其中莖葉圖缺少乙校莖“5”和“6”葉的數(shù)據(jù).注:莖葉圖中的莖表示整數(shù)位數(shù)據(jù),葉表示小數(shù)位數(shù)據(jù),如乙校收集到的最小數(shù)據(jù)為3.1.(1)補(bǔ)全圖2的頻率分布直方圖,并估計(jì)乙校學(xué)生日均網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)時(shí)長的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);(2)求50名學(xué)生日均網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)時(shí)長的中位數(shù)m,并將日均網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)時(shí)長超過m和不超過m的學(xué)生人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:超過m不超過m總計(jì)甲校乙校總計(jì)(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩校高三學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)時(shí)長有差異?附:K2=n(adP(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.8795.(2020海南海口高三模擬演練,20)某病毒研究所為了研究溫度對某種病毒的影響,在溫度t(℃)逐漸升高時(shí),連續(xù)測20次病毒的活性指標(biāo)值y,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理后得到下面的散點(diǎn)圖,將第1~14組數(shù)據(jù)定為A組,第15~20組數(shù)據(jù)定為B組.(1)某研究員準(zhǔn)備直接根據(jù)全部20組數(shù)據(jù)用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系,你認(rèn)為是否合理?請從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度簡要說明理由.(2)若根據(jù)A組數(shù)據(jù)得到回歸模型y^=2.1+0.8t,根據(jù)B組數(shù)據(jù)得到回歸模型y^=90.6-1.3t,以活性指標(biāo)值大于5為標(biāo)準(zhǔn),估計(jì)這種病毒適宜生存的溫度范圍(結(jié)果精確到0.(3)根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算可得:A組中活性指標(biāo)值的平均數(shù)yA=114∑i=114yi=18,方差sA2=114∑i=114(yi-yA)2=114(∑i=114yi2-14yA2)=85;B6.隨著食品安全問題逐漸引起人們的重視,有機(jī)、健康的高端綠色蔬菜越來越受到消費(fèi)者的歡迎,同時(shí)生產(chǎn)—運(yùn)輸—銷售一體化的直銷供應(yīng)模式,不僅減少了成本,而且減去了蔬菜的二次污染等問題.(1)在有機(jī)蔬菜的種植過程中,有機(jī)肥料使用是必不可少的.根據(jù)統(tǒng)計(jì)某種有機(jī)蔬菜的產(chǎn)量與有機(jī)肥料的用量有關(guān)系,每個(gè)有機(jī)蔬菜大棚產(chǎn)量的增加量y(百斤)與使用堆漚肥料x(千克)之間對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表:使用堆漚肥料x(千克)24568產(chǎn)量增加量y(百斤)34445依據(jù)表中的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y^=b^x+(2)某大棚蔬菜種植基地將采摘的有機(jī)蔬菜以每份三斤稱重并保鮮分裝,以每份10元的價(jià)格銷售到生鮮超市.“樂購”生鮮超市以每份15元的價(jià)格賣給顧客,如果當(dāng)天前8小時(shí)賣不完,則超市通過促銷以每份5元的價(jià)格賣給顧客(根據(jù)經(jīng)驗(yàn),當(dāng)天能夠把剩余的有機(jī)蔬菜都低價(jià)處理完畢,且處理完畢后,當(dāng)天不再進(jìn)貨).該生鮮超市統(tǒng)計(jì)了100天有機(jī)蔬菜在每天的前8小時(shí)內(nèi)的銷售量(單位:份),制成如下表格(注:x,y∈N*,且x+y=30):每日前8個(gè)小時(shí)銷售量(單位:份)15161718192021頻數(shù)10x16161513y若以100天記錄的頻率作為每日前8小時(shí)銷售量發(fā)生的概率,該生鮮超市當(dāng)天銷售有機(jī)蔬菜利潤的期望值為決策依據(jù),當(dāng)購進(jìn)17份比購進(jìn)18份的利潤的期望值大時(shí),求x的取值范圍.附:b^7.(2019陜西第二次質(zhì)檢,理18)某市場研究人員為了了解產(chǎn)業(yè)園引進(jìn)的甲公司前期的經(jīng)營狀況,對該公司2018年連續(xù)6個(gè)月的利潤進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),并根據(jù)得到的數(shù)據(jù)繪制了相應(yīng)的折線圖,如圖所示.(1)由折線圖可以看出,可用線性回歸模型擬合月利潤y(單位:百萬元)與月份代碼x之間的關(guān)系,求y關(guān)于x的線性回歸方程,并預(yù)測該公司2019年3月份的利潤;(2)甲公司新研制了一款產(chǎn)品,需要采購一批新型材料,現(xiàn)有采購成本分別為10萬元/包和12萬元/包的A,B兩種型號的新型材料可供選擇,按規(guī)定每種新型材料最多可使用4個(gè)月,但新材料的不穩(wěn)定性會(huì)導(dǎo)致材料損壞的年限不相同,現(xiàn)對A,B兩種新型材料對應(yīng)的產(chǎn)品各100件進(jìn)行科學(xué)模擬測試,得到兩種新型材料使用壽命的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表:使用壽命材料類型1個(gè)月2個(gè)月3個(gè)月4個(gè)月總計(jì)A20353510100B10304020100經(jīng)甲公司測算,平均每包新型材料每月可以帶來5萬元收入,不考慮除采購成本之外的其他成本,假設(shè)每包新型材料的使用壽命都是整數(shù)月,且以頻率作為每包新型材料使用壽命的概率,如果你是甲公司的負(fù)責(zé)人,以每包新型材料產(chǎn)生利潤的期望值為決策依據(jù),你會(huì)選擇采購哪款新型材料?參考數(shù)據(jù):∑i=16yi=96,∑i=16xi附:b^8.(2020山東德州二模,22)新能源汽車已經(jīng)走進(jìn)我們的生活,逐漸為大家所青睞.現(xiàn)在有某品牌的新能源汽車在甲市進(jìn)行預(yù)售,預(yù)售場面異常火爆,故該經(jīng)銷商采用競價(jià)策略,基本規(guī)則是:①競價(jià)者都是網(wǎng)絡(luò)報(bào)價(jià),每個(gè)人并不知曉其他人的報(bào)價(jià),也不知道參與競價(jià)的總?cè)藬?shù);②競價(jià)采用“一月一期制”,當(dāng)月競價(jià)時(shí)間截止后,系統(tǒng)根據(jù)當(dāng)期汽車配額,按照競價(jià)人的出價(jià)從高到低分配名額.某人擬參加2020年6月份的汽車競價(jià),他為了預(yù)測最低成交價(jià),根據(jù)網(wǎng)站的公告,統(tǒng)計(jì)了最近5個(gè)月參與競價(jià)的人數(shù)(如下表).月份2020.012020.022020.032020.042020.05月份編號t12345競拍人數(shù)y(萬人)0.50.611.41.7(1)由收集數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn),可用線性回歸模型擬合競價(jià)人數(shù)y(萬人)與月份編號t之間的相關(guān)關(guān)系.請用最小二乘法求y關(guān)于t的線性回歸方程:y^=b(2)某市場調(diào)研機(jī)構(gòu)對200位擬參加2020年6月份汽車競價(jià)人員的報(bào)價(jià)進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查,得到如表所示的頻數(shù)表:報(bào)價(jià)區(qū)間(萬元)[6,8)[8,10)[10,12)[12,14)[14,16)[16,18]頻數(shù)206060302010(ⅰ)求這200位競價(jià)人員報(bào)價(jià)的平均值x和樣本方差s2(同一區(qū)間的報(bào)價(jià)用該價(jià)格區(qū)間的中點(diǎn)值代替).(ⅱ)假設(shè)所有參與競價(jià)人員的報(bào)價(jià)X可視為服從正態(tài)分布N(μ,σ2),且μ與σ2可分別由(ⅰ)中所示的樣本平均數(shù)x及s2估計(jì).若2020年6月份計(jì)劃提供的新能源車輛數(shù)為3174,根據(jù)市場調(diào)研,最低成交價(jià)高于樣本平均數(shù)x,請你預(yù)測(需說明理由)最低成交價(jià).參考公式及數(shù)據(jù):①回歸方程y^=b^x+a^,其中b^=∑i=1nxiyi-nx·③若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974.專題突破練20統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例1.解(1)因?yàn)楦鹘M的頻率之和等于1,所以分?jǐn)?shù)在[60,70)內(nèi)的頻率為1-10×(0.005+0.015+0.030+0.025+0.010)=0.15,所以第三組[60,70)的頻數(shù)為120×0.15=18.完整的頻率分布直方圖如圖.(2)因?yàn)楸姅?shù)的估計(jì)值是頻率分布直方圖中最高矩形的中點(diǎn),從圖中可看出眾數(shù)的估計(jì)值為75分.由題得左邊第一個(gè)矩形的面積為0.05,第二個(gè)矩形的面積為0.15,第三個(gè)矩形的面積為0.15,第四個(gè)矩形的面積為0.3,所以中位數(shù)在第四個(gè)矩形里面,設(shè)中位數(shù)為x,則0.05+0.15+0.15+(x-70)×0.03=0.5,解得x=75.所以中位數(shù)為75.又根據(jù)頻率分布直方圖,樣本的平均數(shù)的估計(jì)值為45×(10×0.005)+55×(10×0.015)+65×(10×0.015)+75×(10×0.03)+85×(10×0.025)+95×(10×0.01)=73.5(分).所以樣本的眾數(shù)為75分,中位數(shù)為75分,平均數(shù)為73.5分.2.解(1)利用模型①,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為y^=-30.4+13.5×19=226.1(億元)利用模型②,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為y^=99+17.5×9=256.5(億元)(2)利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.理由如下:(i)從折線圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y=-30.4+13.5t上下,這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加,2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近,這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢,利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型y^=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢,因此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠(ii)從計(jì)算結(jié)果看,相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型①得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比較合理,說明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.(以上給出了2種理由,答出其中任意一種或其他合理理由均可)3.解(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高.理由如下:(ⅰ)由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少82分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多78分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.(ⅱ)由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.(ⅲ)由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80分鐘;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80分鐘,因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.(ⅳ)由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多,關(guān)于莖8大致呈對稱分布;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多,關(guān)于莖7大致呈對稱分布,又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同,故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少,因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.(以上給出了4種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.)(2)由莖葉圖知m=79+812=80.列聯(lián)表如下超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式515(3)由于K2的觀測值k=40(15×15-5×5)24.解(1)乙校學(xué)生日均網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)時(shí)長在3~4h之間的有5人,占乙校抽取人數(shù)的525=15,頻率分布直方圖中3~4h之間的縱坐標(biāo)為151=0.2,乙校學(xué)生日均網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)時(shí)長在4~5h之間的有10人,占乙校抽取人數(shù)的1025=25,頻率分布直方圖中4~5h之間的縱坐標(biāo)為251=0.4,由頻率分布直方圖可知,乙校學(xué)生日均網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)時(shí)長在5~6h之間的占1-0.2-0.4由此估計(jì)乙校學(xué)生日均網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)時(shí)長的平均數(shù)為3.5×0.2+4.5×0.4+5.5×0.24+6.5×0.16=4.86.(2)由莖葉圖知,m=4.9+5.02=超過m不超過m總計(jì)甲校151025乙校101525總計(jì)252550(3)由(2)中的列聯(lián)表可知:K2=50×(15×15-所以沒有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩所高中高三學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)時(shí)長有差異.5.解(1)不合理.從散點(diǎn)圖上看:①A組數(shù)據(jù)呈正相關(guān),B組數(shù)據(jù)呈負(fù)相關(guān),兩部分?jǐn)?shù)據(jù)的變化趨勢明顯不同,不適合用同一個(gè)線性模型來擬合.②20個(gè)樣本點(diǎn)的分布比較分散,沒有明顯的沿直線分布的趨勢,故不適合用線性回歸模型來擬合.(2)令2.1+0.8t=5,得t≈3.6(℃);令90.6-1.3t=5,得t≈65.8(℃).由散點(diǎn)圖可知,這種病毒的活性指標(biāo)值先隨溫度升高而升高,到達(dá)一定溫度后,開始隨溫度升高而降低,所以這種病毒適宜生存的溫度范圍是(3.6,65.8).(3)全部20組活性指標(biāo)值的平均數(shù)為y=120∑i=120yi=120×(14×18因?yàn)椤苅=114yi2=85×14+14×182=5726,∑i=1520yi2=45所以全部20組活性指標(biāo)值的方差為s2=120∑i=120yi2-20y2=120(5726+3444)-6.解(1)x=2+4+5+6+8y=3+4+4+4+55∑i=15xiyi=2×3+4×4+5×4+6×4+8×∑i=15xi2=22+42+52+62b^=106-5×5×4145-5×52=0所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y^=0.3x+2.5當(dāng)x=10時(shí),y^=0.3×10+2.5=5.5百斤,所以如果每個(gè)有機(jī)蔬菜大棚使用堆漚肥料10千克,估計(jì)每個(gè)有機(jī)蔬菜大棚產(chǎn)量的增加量y是5.5百斤(2)若該超市一天購進(jìn)17份這種有機(jī)蔬菜,Y1表示當(dāng)天的利潤(單位:元),那么Y1的分布列為Y1657585P10x90Y1的數(shù)學(xué)期望是E(Y1)=65×10100+75×x100若該超市一天購進(jìn)18份這種有機(jī)蔬菜,Y2表示當(dāng)天的利潤(單位:元),那么Y2的分布列為Y260708090P10x1674Y2的數(shù)學(xué)期望是E(Y2)=60×10100+70×x100+80×又購進(jìn)17份比購進(jìn)18份的利潤的期望值大,故8300-10x100>8540-20x7.解(1)由折線圖可知統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(xi,yi)共6組,即(1,11),(2,13),(3,16),(4,15),(5,20),(6,21),計(jì)算可得x=16(1+2+