經(jīng)典雙曲線知識點

經(jīng)典雙曲識點總11-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-CompanyOne1-CAL-本頁僅作為文檔封面，使用請直接刪

雙曲線：

了解雙曲的定義幾何形和標(biāo)準(zhǔn)程；解雙曲線簡單幾性質(zhì)重點：雙線的定、幾圖形和標(biāo)方程以及簡單幾何性.方程，雙線的漸線.

難點：雙線的標(biāo)知識點一雙曲線定義平面內(nèi)，兩個點、

的距離之的絕對等于數(shù)

（大于0且）的點的軌跡作雙曲.這個定點點的距離作雙曲的焦.注意：1.曲線的義中，數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足約束條：借助于三形中邊相關(guān)質(zhì)“兩邊差小第三邊”理解；

、

叫雙曲線焦點，焦，這可以2.若去掉定中的“對值，常數(shù)滿足約束條件：

（

），則動點軌跡表示雙線中焦點

的一支；（）則動點跡僅表示雙線中靠點

的一支；3.若常數(shù)滿足約束件：線（包括點）；

，則動點跡是以F為端點的兩射124若常滿約束條：，動點軌不存在；5若常，則動點跡為段FF的直平分線12知識點二雙曲線標(biāo)準(zhǔn)程1當(dāng)焦在軸上，雙曲的標(biāo)準(zhǔn)程：，其中；2當(dāng)焦在軸上，雙線的標(biāo)準(zhǔn)程：，其中.注意：1．只有當(dāng)曲線的心為標(biāo)原點，稱軸坐標(biāo)軸建直角坐系時,能得雙曲線的標(biāo)方程；2．雙曲線的種標(biāo)方程中，有

；3．曲線的點總在實上，系數(shù)為正項所應(yīng)的坐標(biāo)上.當(dāng)

的系數(shù)為時，焦點在軸上，雙曲線的焦點標(biāo)為曲線的焦坐標(biāo)為，.知識點三雙曲線簡單何性質(zhì)

，；當(dāng)

的系數(shù)為時，焦在軸上雙雙曲線，b＞0的簡幾何性2

）對性：于雙曲線準(zhǔn)方，b，把x成―x，或把y換―y或把x、y時換―x、，方都不變所以曲線，b＞0是以x軸、為對軸的對稱圖，且是以點為稱中心的心對稱形，個對稱中稱為雙曲線的心。）范：雙線上所有點都兩條平行線和x=a的兩側(cè)，是限延的。因此雙曲線上的橫坐滿足xx。（3）頂點：①曲線與的對軸的交點為雙線的頂點②雙曲線，b＞0）坐標(biāo)軸的個交點為雙曲的兩頂點，坐分別為A（―a，0），點是曲線兩支的點中離最近點。12③兩個頂間的線AA叫作曲線的軸；設(shè)，―b）為軸上兩1212個點，則段B做雙線的虛。實和虛軸的度分為A|=2a，|BB|=2b叫做121212雙曲線的半軸長b叫雙曲線虛半長。注意：①曲線只兩個點，而橢有四頂點，不把雙曲的虛與橢圓的軸混淆。②雙曲線焦點總實軸。③實軸虛軸長的雙曲稱為等雙曲。）離率：①雙線的距與實軸的比叫雙曲線離心，用示，作。②因為c，以雙曲線離心。

由c222，可得，所以決定曲線的口大小越大越大雙曲線開口就越闊。所離心可以用來示雙線開口的小程度③等雙曲線，所以離心率。）漸線：過點A、A作y軸平行線，經(jīng)點B作x的平線，四2112條直線圍一個矩（如），矩形兩條角線所在線的方是叫做雙曲的漸近。注意：雙線與它漸近無限接近但永相交。

。我們把線知識點四雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程

與

的區(qū)別和系3

圖形焦點焦距

，

，范圍對稱性頂點

，關(guān)于x軸、軸和點對稱

，性質(zhì)

軸離心率準(zhǔn)線方程漸近線方程

實軸長，虛軸=知識點五雙曲線漸近：（1已知雙曲方程漸近線方：若雙線方為，則其漸線方程

注意：（1）知雙線方程，將曲線方中的常數(shù)”換“”，后因式解即得近線程。）已漸近方程求雙線方：若雙曲漸近方程為，則可設(shè)雙線方程為，根據(jù)知條件，出即可。（3與雙曲

有公共漸線的雙曲線方可設(shè)為（，焦點軸上，，焦在y軸上）（4等軸雙曲的漸近等軸曲線的兩漸近互相垂直為.4

，因此等雙曲線設(shè)為

知識點六雙曲線像中段的幾何征：雙曲線，如圖）離心：

）實長，虛軸,焦距，；）頂點焦點距離：）中結(jié)合定

，與余弦定，將有線段

；

、、

和角結(jié)合起.1如何定雙線的標(biāo)準(zhǔn)程？且僅當(dāng)雙線的對中心坐標(biāo)原點對稱是坐標(biāo)軸雙曲線的程才是準(zhǔn)方形式。此，雙線的焦點坐標(biāo)軸。2雙曲標(biāo)準(zhǔn)程中的三量a的幾何意義雙曲線標(biāo)方程中a、b、c個量的小與標(biāo)系無關(guān)是由曲線本身確定，分別表示雙線的實軸長虛半軸長半焦長，均為數(shù)，且個量大小關(guān)系：c＞a，c，且

2

=b2

+a

2

。3如何雙曲標(biāo)準(zhǔn)方程斷焦位置雙曲線的點總在軸上因此已知準(zhǔn)方，判斷焦位置的法是看、y2的系數(shù)，如果

2

項的系數(shù)正的，么焦在x軸上；果y

2

項的系數(shù)正的，么焦在y軸上。注意對于雙線，不一定于b因此不像橢那樣通過較分的大小來定焦點在哪一坐標(biāo)軸。4方程Ax

2

+By

2

=C均不為零表示雙線的條方程Ax

2

+By

2=C可化為，即，所以有A、B異，方表示雙曲線。當(dāng)

時，雙曲的焦點x軸；當(dāng)

時，雙曲的焦點y軸。5

2225求雙線標(biāo)方程的常方法①待系數(shù)：由題目件確定點的置，從而定222方程的類，設(shè)出準(zhǔn)方，再由條確定程中的參、的值其主要驟是“先定型，再量”；②定義法由題目件判出動點的跡是么圖形，后再根定義定方程。注意：若義中“的絕值”中的對值掉，點的合成為曲線一支，先定方程類型再確定數(shù)a、b，即定型，定量若兩種類都有可，則分類討論6如何決與點三角形PFF（P為雙線上的）有的計算問？12與焦點三形定理）、角形面公式

有關(guān)的計問題時常考到用雙曲的定及余弦定（或勾相結(jié)合的法進(jìn)行算與題，將有關(guān)線段

、、，有角

結(jié)合起來建立、

之間的關(guān)系7如何定離率的取值況與雙線形狀關(guān)系：離心，因c

2

=a

2

+b

2

，用a、b示為，當(dāng)e越大時

越大，即近線夾（含）越大故開口越大；反，越小開口越。離率反映了曲線口的大小且e。8橢圓雙曲的區(qū)別和系：橢圓根據(jù)MF|+|MF|=2a12a＞c，a2－c2=b2（b，＞0

雙曲線根據(jù)|||=±2a120＜a，c22=b2（b，，b不一定于b）標(biāo)準(zhǔn)方程一為：類型一：雙曲線的定1．已⊙O：(x+5)+y=412）若圓P⊙⊙均內(nèi)，求動圓心P點的軌；）若圓Q⊙⊙均外1212切，求動圓心的軌跡6

解析：（1）⊙P徑為R∵⊙O與相離，∴|PO－3∴|PO－12121|PO|=1又O|=10212∴由雙曲的定義P點的軌跡是以為焦點，，2c雙曲的右支12）設(shè)⊙Q半徑為r則QO|=r+2，|QO∴|QO－|QO又O122112∴由雙曲的定義Q點的軌跡是以為焦點，，2c雙曲的左支12舉一反三【變式】已定點F－2,0)、F(2,0)，平內(nèi)滿下列條件動點的軌跡12雙曲線的（）A．|PF||=±4C．|PF|－|PFD．|PF|－1212121|PF2【答案】2【變式2已知F(0,－13)、F(0,13)，點P到F與的距離之差絕對值為261212則動點P的軌跡程為）AB．y=0（x－13或x≥13）C．x=0．以上都不對答案C【變式3已知P(x,y)坐標(biāo)滿足，則動P的軌跡是）A橢圓B．雙曲線中的一C兩條線D．以上不對答案：類型二：雙曲線的標(biāo)方程

：2求與雙曲

有公共焦，且過

的雙曲線的準(zhǔn)方程解法一：

依題意設(shè)曲線方為－=1已知，又雙線過，∴∴：所求雙線的方為.法二依題設(shè)雙曲線程為，將點

代入，解得有共同的點，且點

，所以雙線方程.變式1】與橢圓的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方?！景浮恳李}設(shè)雙線方程為由已知得，又曲線過點，∴∴故所求雙線的方為.7

【變式2】求心在原，對稱為坐標(biāo)，且頂在

軸，焦距

的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程【答案】3已知曲線兩個焦點之間的距離雙曲上一點到焦點的離之的絕對12值為24，求曲線的準(zhǔn)方程解析：由意得2a=24，2c=26?！郺=12，c=13，b

=13

2

2

=25。當(dāng)雙曲線焦點在軸上，雙曲線方程為；當(dāng)雙曲的焦點y軸上時雙曲線的方為?？偨Y(jié)升華求雙曲的標(biāo)方程就是a

2

2

的值，同還要確焦點在的坐標(biāo)。雙曲線所在坐標(biāo)軸不像圓那樣看x22的分母的小，而是x2的系數(shù)的負(fù)?！咀兪健恐行脑邳c，稱軸為坐軸，虛軸長與軸長的為

，焦距為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)程【答】由知設(shè)依題意，解得.

,，則()∴當(dāng)雙曲的焦點x軸上，雙線的方程曲線的方為.類型三：雙曲線的幾性質(zhì)

當(dāng)雙曲線焦點在y上時雙4方程

表示雙曲，求實m的值范圍解析：由意得

或

或。∴實數(shù)取值圍為

。總結(jié)升華方程

2

+By

2

=1表示雙線時，A、B異號?！咀兪?】k＞9是方程

表示雙曲的（）A充分要條B．充分不必要條C．必要不充分條D．不充分不必要條【答案B8

【變式2】求雙曲線

的焦距?！敬鸢浮?【變式3】已知雙曲8kx

2

－ky

2

=2一個點為，則k的等于）A－2B．1CD【答案C【變式4】湖南）雙曲的值為

的漸近線程為，則A．4B．3C．2D【答】5已知曲線程，求漸線方。（1）；（2）；）；解析：（1）曲線的漸近線程為：為：即）雙線

的漸近線程為：即）雙曲的漸近線程為：

即）雙曲的漸近線程即總結(jié)升華雙曲線的漸近線程為

的漸近線程為，雙線即；若雙線的方程（，焦點在軸上，，焦點在y軸上）則其近線方程

。9

【變式1】求列雙曲方程的近線方。：））

；（2；【答案】（1；）；）【變式2】中心在坐原點離心率為的圓錐線的焦點y軸，則它漸近線方程為（）A．BCD【答】D6根據(jù)列條，求雙曲方程（1)雙曲；（2一漸近線程為，且雙曲線點一：當(dāng)焦點在x上時設(shè)雙曲的方程

有共同的近線，過點。解析：（1解法由題意，，解，

所以雙曲的方程當(dāng)焦點在上時設(shè)雙曲的方程為

由題意，，解得，（舍）綜上所得，曲線的程為

解法二：所求雙線方程為（），點

代入得，所以雙曲線方程即）依意知雙線兩漸線的方是10

.故設(shè)曲線方為

，∵點方程為.

在雙曲線，∴，解，∴所求曲線總結(jié)升華求雙曲的方，關(guān)鍵是、，在解過程中應(yīng)悉各元（、、、及準(zhǔn)線）間的關(guān)，并注方程想的應(yīng)用若已雙曲線的近線方，可設(shè)雙線方程（【變式1】中在原點一個焦在(0,3)一條近線

的雙曲線程是（）ABC、D【答案】D【變式2】過點(2，-2)與雙曲

有公共漸線的雙線是()A

BC．D．【答案】【變式3】以

為漸近線雙曲線程不能是（）A

2

―9y

2

=1B

2

―4x

2

=1C

2

2

=λλ∈R且λ）D

2

2

=λ（λ且λ）【案】D【變式4】雙曲線

與

有相同的）A實軸B．焦C漸近線D以上不對【答】類型四：雙曲線的離率

．已

是雙曲線

的左、右點,

且垂直于軸的直線與雙曲線的支交于A、B兩點若

是正三角求雙線的心率。11

解析：∵，

是正三角，∴，∴，∴【變式1】已雙曲線-=1與x正半交于A，是它的焦點，B點坐標(biāo)為(0,b)且AB⊥BF則雙曲的離心率（）AB、C、D、【答案】B【變式2】若橢_______【案】【變式3】雙曲的漸進(jìn)方程________

的離心率,則雙曲,雙曲的離心為

的離心率【答案】【變式4】等軸曲線的心率為________答案】類