第一章 1.1.2 第1課時

第1課時余弦定理及其應用第一章1.1.2余弦定理學習目標XUEXIMUBIAO1.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明方法.2.會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題.NEIRONGSUOYIN內容索引自主學習題型探究達標檢測1自主學習PARTONE知識點一余弦定理在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，則有余弦定理語言敘述三角形中任何一邊的平方等于__________________________________________________________公式表達a2＝

，b2＝

，c2＝_______________推論cosA＝

，cosB＝

，cosC＝___________其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍a2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosCb2＋c2－2bccosA思考在a2＝b2＋c2－2bccosA中，若A＝90°，公式會變成什么？答案a2＝b2＋c2，即勾股定理.知識點二余弦定理可以用于兩類解三角形問題(1)已知三角形的兩邊和它們的夾角，求三角形的第三邊和其他兩個角.(2)已知三角形的三邊，求三角形的三個角.1.在△ABC中，已知兩邊及夾角時，△ABC不一定唯一.(

)2.在△ABC中，三邊一角隨便給出三個，可求其余一個.(

)3.在△ABC中，若a2＋b2－c2＝0，則角C為直角.(

)4.在△ABC中，若a2＋b2－c2>0，則角C為鈍角.(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√√×2題型探究PARTTWO題型一用余弦定理解三角形命題角度1已知兩邊及其夾角多維探究2解析根據(jù)余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC反思感悟已知三角形兩邊及其夾角時，應先從余弦定理入手求出第三邊.因為b>a，所以B>A，所以A為銳角，所以A＝30°.命題角度2已知三邊反思感悟已知三邊求三角，可利用余弦定理的推論先求一個角.跟蹤訓練2

在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，判斷三角形的形狀.解因為a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，所以可令a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0).所以C為鈍角，從而三角形為鈍角三角形.題型二余弦定理的證明例3

已知鈍角△ABC，設角A，B，C的對邊分別為a，b，c，試借助三角函數(shù)定義用a，b，C表示邊c.解不妨設A為鈍角.如圖，作BD⊥CA，交CA延長線于點D.∴BD＝asinC，CD＝acosC.∴AD＝CD－CA＝acosC－b.∴c2＝BD2＋AD2＝a2sin2C＋(acosC－b)2＝a2sin2C＋a2cos2C＋b2－2abcosC＝a2＋b2－2abcosC.即c2＝a2＋b2－2abcosC.反思感悟所謂證明，就是在新舊知識間架起一座橋梁.橋梁架在哪兒，要勘探地形，證明一個公式，要觀察公式兩邊的結構特征，聯(lián)系已經學過的知識，看有沒有相似的地方.跟蹤訓練3

用解析幾何的兩點間距離公式來證明余弦定理.解如圖，以A為原點，邊AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則A(0,0)，B(c,0)，C(bcosA，bsinA)，∴BC2＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A，即a2＝b2＋c2－2bccosA.同理可證b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.核心素養(yǎng)之數(shù)學運算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN合理探究運算思路典例在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，則AC邊上的中線長為

.7解析方法一由條件知設中線長為x，由余弦定理，知所以x＝7.所以AC邊上的中線長為7.方法二設AC中點為M，連接BM(圖略).∴BM＝7，即AC邊上的中線長為7.素養(yǎng)評析數(shù)學運算素養(yǎng)的一個重要表現(xiàn)就是探究運算思路，探究運算思路最主要的是弄清楚3個問題：①我有什么？②我要什么？③怎樣以我有達到我要？在本例中，我有三角形三邊長.由此可求三角.我要求中線長，由于M為中點，在△ABM中，我有AB，AM，∠A(兩邊夾角).由此可求BM，思路貫通.在方法二3達標檢測PARTTHREE√12345解析∵a>b>c，∴C為最小角且C為銳角，√123453.如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為√12345解析設頂角為C，周長為l，因為l＝5c，所以a＝b＝2c，12345√12345∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，課堂小結K