2020-2021高二數(shù)學(xué)人教版2-2學(xué)案：2.1.2演繹推理含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)人教A版選修2-2學(xué)案：2.1.2演繹推理含解析2．1。2演繹推理［目標(biāo)]1。理解演繹推理的意義。2.掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理。3。了解合情推理和演繹推理之間的區(qū)別和聯(lián)系．［重點(diǎn)]演繹推理的含義及三段論推理模式的應(yīng)用．［難點(diǎn)]三段論模式及其應(yīng)用．知識(shí)點(diǎn)演繹推理［填一填]1．演繹推理的含義從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理稱為演繹推理．簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理．2．演繹推理的一般模式三段論是演繹推理的一般模式,包括：大前提：已知的一般原理;小前提：所研究的特殊情況;結(jié)論：根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷．3．“三段論”的常用格式大前提：M是P；小前提:S是M;結(jié)論：S是P.[答一答]1．閱讀下面的材料:（1)自然數(shù)都是整數(shù)，因?yàn)?是自然數(shù),所以3是整數(shù)．（2）一次函數(shù)是單調(diào)函數(shù),y＝2x－1是一次函數(shù)，所以y＝2x－1是單調(diào)函數(shù)．回答下列問題：(1）上面推理的共同特點(diǎn)是什么？(2)材料(1)（2)中的推理形式是否滿足“三段論"？（3)演繹推理的結(jié)論一定正確嗎？提示：(1)都是由一般到特殊的推理．(2)此推理形式滿足“三段論”．(3）演繹推理的結(jié)論不會(huì)超出前提所界定范圍，所以在演繹推理中，只要前提和推理形式正確，其結(jié)論就一定正確．2．如何區(qū)別演繹推理與合情推理？提示：(1）演繹推理是確定的、可靠的，而合情推理則帶有一定的風(fēng)險(xiǎn)性．嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理以演繹推理為基礎(chǔ),而數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路等的發(fā)現(xiàn)主要靠合情推理．（2）合情推理和演繹推理分別在獲取經(jīng)驗(yàn)和辨別真?zhèn)蝺蓚€(gè)環(huán)節(jié)中扮演重要角色．因此,我們不僅要學(xué)會(huì)證明，也要學(xué)會(huì)猜想．1．“三段論”的理解（1)三段論中的大前提提供了一個(gè)一般性的原理,小前提指出了一種特殊情況，兩個(gè)命題結(jié)合起來,揭示了一般原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，從而得到了第三個(gè)命題-—結(jié)論．（2)三段論推理的結(jié)論正確與否，取決于兩個(gè)前提是否正確，推理形式（即S與M的包含關(guān)系)是否正確．注意：運(yùn)用三段論推理時(shí)，?？墒÷源笄疤峄蛐∏疤?，對(duì)于復(fù)雜的證明，也常把前一個(gè)三段論的結(jié)論作為下一個(gè)三段論的前提．2．合情推理與演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系(1)合情推理的特點(diǎn)是從特殊到一般，結(jié)論不一定正確；演繹推理的特點(diǎn)是從一般到特殊，只要前提和推理形式正確,結(jié)論一定正確．（2)在認(rèn)識(shí)世界的過程中,合情推理的結(jié)論需要演繹推理的驗(yàn)證，而演繹推理的內(nèi)容一般是通過合情推理獲得的，二者相輔相成，緊密聯(lián)系．類型一把演繹推理寫成三段論【例1】將下列演繹推理寫成三段論的形式．(1）平行四邊形的對(duì)角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對(duì)角線互相平分；（2)等腰三角形的兩底角相等，A，B是等腰三角形的底角,則A＝B；(3）通項(xiàng)公式an＝2n＋3的數(shù)列{an｝為等差數(shù)列；(4）函數(shù)f(x）＝x3是奇函數(shù)．【思路分析】由題目可獲取以下主要信息：①明確每一個(gè)題的大前提、小前提、結(jié)論；②每個(gè)題都能用三段論的形式表述．解答本題可先分析出每個(gè)題的大前提、小前提及結(jié)論，再利用三段論形式寫出來．【解】(1）平行四邊形的對(duì)角線互相平分，(大前提)菱形是平行四邊形，(小前提）菱形的對(duì)角線互相平分．（結(jié)論)（2)等腰三角形的兩底角相等,(大前提）A，B是等腰三角形的底角，(小前提）A＝B。（結(jié)論)(3）數(shù)列{an}中,如果當(dāng)n≥2時(shí)，an－an－1為常數(shù)，則｛an｝為等差數(shù)列，(大前提)通項(xiàng)公式an＝2n＋3時(shí),若n≥2，則an－an－1＝2n＋3－［2（n－1）＋3]＝2(常數(shù)）,（小前提）通項(xiàng)公式an＝2n＋3表示的數(shù)列｛an}為等差數(shù)列．（結(jié)論)(4）對(duì)于定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)f(x)，若f（－x)＝－f（x）,則函數(shù)f(x）是奇函數(shù)，(大前提)函數(shù)f（x）＝x3的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f（－x）＝(－x)3＝－x3＝－f(x），即f（－x)＝－f(x),(小前提)所以函數(shù)f(x)＝x3是奇函數(shù)．(結(jié)論)用三段論寫推理過程時(shí)，關(guān)鍵是明確大、小前提。有時(shí)可省略小前提,有時(shí)甚至也可大前提與小前提同時(shí)省略，在尋找大前提時(shí)，可找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為大前提。將下列演繹推理寫成三段論的形式．(1）三角形內(nèi)角和都為180°，所以等邊三角形的內(nèi)角和為180°；(2）兩直線平行，同位角相等,如果A和B是兩平行直線的同位角,那么A＝B.解：（1）每一個(gè)三角形的內(nèi)角和都為180°,（大前提）等邊三角形是三角形，(小前提）所以，等邊三角形內(nèi)角和為180°.（結(jié)論)(2）兩直線平行，同位角相等，（大前提)A和B是兩平行直線的同位角,(小前提)所以，A＝B.（結(jié)論）類型二判斷演繹推理的正確性【例2】指出下面推理中的錯(cuò)誤：(1）常函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為0，(大前提)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為0，(小前提）f（x)為常函數(shù)．（結(jié)論）（2)中國(guó)的大學(xué)分布在中國(guó)各地，（大前提)北京大學(xué)是中國(guó)的大學(xué)，（小前提）所以，北京大學(xué)分布在中國(guó)各地.(結(jié)論）【解】（1)結(jié)論是錯(cuò)誤的，原因是推理形式錯(cuò)誤．大前提指出一般性原理中結(jié)論為“導(dǎo)函數(shù)為0”，因此演繹推理的結(jié)論也應(yīng)為“導(dǎo)函數(shù)為0”．（2）推理形式錯(cuò)誤．大前提中的M是“中國(guó)的大學(xué)”，它表示中國(guó)的各所大學(xué)，而在小前提中M雖然也是“中國(guó)的大學(xué)”，但它表示中國(guó)的一所大學(xué),二者是兩個(gè)不同的概念，故推理形式錯(cuò)誤,得到錯(cuò)誤的結(jié)論．（1)做此類題目，首先要分清大前提，小前提，然后看其形式是否正確,即M是P,S是M，S是P.（2）三段論的論斷基礎(chǔ)是這樣一個(gè)公理：“凡肯定（或否定）了某一類對(duì)象的全部,也就肯定(或否定）了這一類對(duì)象的各部分或個(gè)體"．簡(jiǎn)言之，“全體概括個(gè)體”，M、P、S三個(gè)概念之間的包含關(guān)系表現(xiàn)為:如果概念P包含了概念M,則必包含了M中的任一概念S（如下圖①）；如果概念P排斥概念M，則必排斥M中的任一概念S(如下圖②)．弄清以上道理，才會(huì)使我們?cè)诮窈蟮难堇[推理中不犯（或少犯）錯(cuò)誤．因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù),(大前提）而y＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，2））)x是指數(shù)函數(shù)，（小前提）所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2））)x是增函數(shù)．(結(jié)論）(1）上面的推理形式正確嗎？(2)推理的結(jié)論正確嗎？為什么？解：(1）上述推理的形式正確，但大前提是錯(cuò)誤的；(2)推理的結(jié)論錯(cuò)誤,這是因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y＝ax(0<a<1）是減函數(shù),所以所得到的結(jié)論是錯(cuò)誤的．類型三用三段論證明數(shù)學(xué)問題【例3】梯形的兩腰和一底如果相等，它的對(duì)角線必平分另一底上的兩個(gè)角．已知:在梯形ABCD中(如右圖)，AB＝DC＝AD，AC和BD是它的對(duì)角線．求證：AC平分∠BCD，DB平分∠CBA?！咀C明】(1)等腰三角形兩底角相等,(大前提)△DAC是等腰三角形,DA、DC是兩腰，(小前提)∠1＝∠2。(結(jié)論)（2）兩條平行線被第三條直線截出的內(nèi)錯(cuò)角相等，（大前提）∠1和∠3是平行線AD、BC被AC截出的內(nèi)錯(cuò)角，（小前提)∠1＝∠3.(結(jié)論）(3）等于同一個(gè)量的兩個(gè)量相等，（大前提)∠2和∠3都等于∠1,(小前提)∠2＝∠3，（結(jié)論）即AC平分∠BCD。（4)同理,DB平分∠CBA。這個(gè)證明中如果把(4）也詳細(xì)地寫出，則一共通過六次三段論的形式．因此一個(gè)命題的證明形式，確切地常叫做復(fù)合三段論的形式,或說命題的推證方法是復(fù)合三段論法，但是事實(shí)上，每一次三段論的大前提并不寫出，某一次三段論的小前提如果是它前面某次三段論的結(jié)論，也就不再寫出了．如例3的證明可寫成:∵DA＝DC（省略了大前提），∴∠1＝∠2.∵AD∥BC，且被AC截得的內(nèi)錯(cuò)角為∠1和∠3（省略大前提），∴∠1＝∠3?！唷?＝∠3，即AC平分∠BCD（省略大前提，小前提)．同理可證DB平分∠CBA。這樣，一般地在推證命題時(shí)所采用的這種表達(dá)的方法，就叫做簡(jiǎn)化的復(fù)合三段論法．用三段論證明函數(shù)f(x）＝－x2＋2x在（－∞,1]上是增函數(shù)．證明：任取x1、x2∈（－∞,1]，且x1〈x2，f(x1）－f（x2)＝(－xeq\o\al(2,1)＋2x1)－（－xeq\o\al（2，2)＋2x2)＝(x2－x1）（x2＋x1－2)．因?yàn)閤1〈x2，所以x2－x1〉0。因?yàn)閤1、x2≤1，x1≠x2，所以x2＋x1－2〈0。因此f（x1）－f(x2）<0，即f（x1)〈f(x2)．于是根據(jù)“三段論"，得f（x)＝－x2＋2x在（－∞,1］上是增函數(shù)．“三段論”中大(或小）前提用錯(cuò)演繹推理是一種必然性推理，演繹推理的前提與結(jié)論之間有蘊(yùn)涵關(guān)系,因而，只要前提是真實(shí)的，推理的形式是正確的，那么結(jié)論必定是真實(shí)的，但錯(cuò)誤的前提可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論．【例4】用三段論的形式寫出下列演繹推理．(1）自然數(shù)是整數(shù)，所以6是整數(shù);(2）y＝sinx（x∈R）是周期函數(shù)．【錯(cuò)解】（1)自然數(shù)是整數(shù)，(大前提)6是整數(shù)，(小前提）所以6是自然數(shù)．（結(jié)論）(2)函數(shù)是周期函數(shù)，（大前提)y＝sinx(x∈R）是函數(shù),(小前提）所以y＝sinx(x∈R)是周期函數(shù)．（結(jié)論）【錯(cuò)因分析】（1）推理形式錯(cuò)誤．M是“自然數(shù)”，P是“整數(shù)"，S是“6”，故按規(guī)則“6”應(yīng)是自然數(shù)(M）（此時(shí)的小前提錯(cuò)誤），推理形式不對(duì)．（2）推理形式正確，但大前提錯(cuò)誤，M是函數(shù)改為M為三角函數(shù)即可．【正解】(1）自然數(shù)是整數(shù),(大前提)6是自然數(shù)，(小前提)所以6是整數(shù)．(結(jié)論）（2)三角函數(shù)是周期函數(shù)，(大前提）y＝sinx(x∈R）是三角函數(shù)，(小前提)所以y＝sinx（x∈R）是周期函數(shù)．（結(jié)論）下列推理是否正確，將有錯(cuò)誤的指出其錯(cuò)誤之處．(1）已知eq\r（2)和eq\r(3)是無理數(shù)，試證:eq\r(2)＋eq\r（3）也是無理數(shù)．證明：依題意知eq\r（2)和eq\r(3)都是無理數(shù)，而無理數(shù)與無理數(shù)之和是無理數(shù),所以eq\r(2）＋eq\r(3）必是無理數(shù)．（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°,求證a2＋b2＝c2.證明：∵a＝csinA,b＝ccosA,∴a2＋b2＝c2sin2A＋c2cos2A＝c2（sin2A＋cos2A解：（1）使用的論據(jù)是：“無理數(shù)與無理數(shù)的和是無理數(shù)”，這個(gè)論據(jù)是假的，因?yàn)閮蓚€(gè)無理數(shù)的和不一定是無理數(shù)，因此結(jié)論的真實(shí)性仍無法斷定．（2)本題的論題就是我們熟知的勾股定理，證明中用了“sin2A＋cos2A＝1．“因?yàn)槲覀兪枪睬鄨F(tuán)員，所以我們要在學(xué)習(xí)和工作中起帶頭作用．”它的大前提是（C)A．我們是共青團(tuán)員B．我們?cè)趯W(xué)習(xí)和工作中起帶頭作用C．共青團(tuán)員應(yīng)在學(xué)習(xí)和工作中起帶頭作用D．以上都不是2．正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f（x)＝sin(x2＋1）是正弦函數(shù)，因此f（x)＝sin(x2＋1）是奇函數(shù)．以上推理(C）A．結(jié)論正確 B．大前提不正確C．小前提不正確 D．全不正確解析：由于函數(shù)f（x)＝sin（x2＋1）不是正弦函數(shù),故小前提不正確．故選C.3．推理過程“大前提：________，小前提：四邊形ABCD是矩形,結(jié)論：四邊形ABCD的對(duì)角線相等．”應(yīng)補(bǔ)充的大前提是矩形的對(duì)角線相等．解析：由“三段論"的一般模式，可知應(yīng)補(bǔ)充的大前提是：矩形的對(duì)角線相等．4．已知a＝eq\f(\r(5)－1，2）,函數(shù)f(x)＝ax,若實(shí)數(shù)m，n滿足f（m)>f（n），則m,n的大小關(guān)系為m<n.解析:當(dāng)0<a〈1時(shí),函數(shù)f(x)＝ax為減函數(shù)，(大前提）a＝eq\f(\r（5)－1，2）∈（0，1)，(小前提）所以函數(shù)f(x）＝（eq\f（\r（5）－1，2））x為減函數(shù)．(結(jié)論）故由f(m)〉f(n)，得m〈n。5．用三