構(gòu)建知識體系

1/1構(gòu)建知識體系.doc數(shù)學(xué)歸納法（第一課時）

羅源三中數(shù)學(xué)組尤永禮

【教學(xué)目標(biāo)】

1、過程與方法：努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅情境，使學(xué)生處于積極思考、大膽質(zhì)疑氛圍，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和課堂效率。讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，提高創(chuàng)新能力。

2、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：在愉悅的學(xué)習(xí)氛圍中，通過理解數(shù)學(xué)歸納法的原理和本質(zhì)，通過對例題的探究，體會研究數(shù)學(xué)問題的一種方法(先猜想后證明),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生初步形成數(shù)學(xué)的意識和科學(xué)精神；感受數(shù)學(xué)內(nèi)在美，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情。

3、知識與技能：使學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的原理和實(shí)質(zhì)，并能初步運(yùn)用。掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個步驟；會用“數(shù)學(xué)歸納法”證明簡單的與自然數(shù)有關(guān)的命題。培養(yǎng)學(xué)生觀察,分析,論證的能力,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力和創(chuàng)新能力，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程,體會類比的數(shù)學(xué)思想。

【教學(xué)重點(diǎn)】

歸納法意義的認(rèn)識和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的分析，了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想和掌握用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的基本步驟。

【教學(xué)難點(diǎn)】

正確理解數(shù)學(xué)歸納法思想及第二步遞推思想的實(shí)質(zhì)

【學(xué)法指導(dǎo)】

培養(yǎng)學(xué)生動手探究、知識遷移、質(zhì)疑與糾錯能力；體驗(yàn)觀察、質(zhì)疑、試驗(yàn)、實(shí)證、推想、分析等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法；理解類比、歸納、猜想、遞推等數(shù)學(xué)思想。

【教學(xué)方法】

類比啟發(fā)探究式教學(xué)方法

【教學(xué)手段】

多媒體輔助課堂教學(xué)

【教學(xué)程序】

1、新課引入：

(1)第一階段：輸入階段——創(chuàng)造學(xué)習(xí)情境，提供學(xué)習(xí)內(nèi)容;借助數(shù)學(xué)史料,促使學(xué)生思辨

問題1：據(jù)觀察第一個到學(xué)校的是男同學(xué)，第二個到學(xué)校的也是男同學(xué)，第三個到學(xué)校的還是男同學(xué)，于是得出：這所學(xué)校里的學(xué)生都是男同學(xué)。

問題2：數(shù)列1,1,1,1,1},)55{(432122=====+-naaaaann得

問題3：費(fèi)馬（Fermat）是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家，他曾認(rèn)為，當(dāng)n∈N時，122+n

一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對n＝0，1，2，3，4作了驗(yàn)證后得到的．后來，18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（Euler）卻證明了1252+＝4294967297＝6700417×641，從而否定了費(fèi)馬的推測．沒想到當(dāng)n＝5這一結(jié)論便不成立．

問題4：三角形的內(nèi)角和為180°，四邊形的內(nèi)角和為2?180°，五邊形的內(nèi)角和為3?180，于是有：凸n邊形的內(nèi)角和為(n-2)?180°。

問題5：.1,,...)3,2,1(1,1},{11nanaaaaannnnn==+==+數(shù)列通項(xiàng)已知數(shù)列

請問：以上五個結(jié)論正確嗎？為什么?

（在生活引例與學(xué)過的數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)學(xué)生看數(shù)學(xué)史料，能夠讓學(xué)生多方位多角度體會歸納法，感受使用歸納法的普遍性.同時引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思辨：在數(shù)學(xué)中運(yùn)用不完全歸納法常常會得到錯誤的結(jié)論，不管是我們還是數(shù)學(xué)大家都可能如此．那么，有沒有更好的歸納法呢？）

得出以上結(jié)論均用了歸納法得出結(jié)論；但不能保證猜想的結(jié)論的正確性。

當(dāng)有一些命題是與所有正整數(shù)有關(guān)時，由于正整數(shù)n的無限性，我們不可能用完全歸納法逐一進(jìn)行證明，而不完全歸納法又不可靠，怎么辦？

(2)第二階段：新舊知識相互作用階段——新舊知識作用，搭建新知結(jié)構(gòu)

1、搜索生活實(shí)例，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

（在第一階段的基礎(chǔ)上，由生活實(shí)例出發(fā)，與學(xué)生一起解析歸納原理,揭示遞推過程．孔子說：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者．”興趣這種個性心理傾向一般總是伴隨著良好的情感體驗(yàn)．）

實(shí)例：播放多米諾骨牌錄像

搜索：再舉幾則生活事例：推倒自行車,放鞭炮等。

2、類比數(shù)學(xué)問題,激起思維浪花

學(xué)生觀看后思考：多米諾骨牌為什么能全部倒下？如果第一個骨牌推而不倒，骨牌能否全部倒下？若中間有一個骨牌發(fā)生意外沒有倒下，情況又會怎么樣？

從而得到多米諾骨牌要全部倒下依賴兩個條件：一、第一張骨牌被推倒。二、任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。若用第一張骨牌倒下對應(yīng)n=1時命題成立，用第二張骨牌倒下對應(yīng)n=2時命題成立，以此類推，當(dāng)骨牌全部倒下時，命題對所有

的N成立。

用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)要證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題成立：可以分兩步進(jìn)行，一、證明n=1時命題成立；二、假設(shè)n=k時命題成立，證明n=k+1時命題也成立。從而命題對所有正整數(shù)n都成立。教師指出這種證明問題的方法就是數(shù)學(xué)歸納法。

例題1在數(shù)列{na}中,1a＝1,n

nnaaa+=+11(n=1，2，3，…),先計(jì)算2a，3a，4a的值，再推測通項(xiàng)na的公式,最后證明你的結(jié)論。

（本例要求學(xué)生先猜想后證明，既能鞏固歸納法和數(shù)學(xué)歸納法，也能教給學(xué)生做數(shù)學(xué)的方法，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立研究數(shù)學(xué)問題的意識和能力）．

3、引導(dǎo)學(xué)生概括,形成科學(xué)方法

一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：

①（歸納奠基）證明當(dāng)n取第一個值)(*00Nnn∈時命題成立；

②（歸納遞推）假設(shè)),(*0Nknkkn∈≥=時命題成立，證明當(dāng)1+=kn時命題也成立。完成這兩個步驟后,就可以斷定命題對從0n開始的所有正整數(shù)n都正確．

這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法．

（布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，“有指導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”強(qiáng)調(diào)知識發(fā)生發(fā)展過程．這里通過類比多米諾骨牌過程，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法的雛形，是一種再創(chuàng)造的發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)．）

（3）例題講解：

例題2證明：凸n邊形的內(nèi)角和為(n-2)?180°

強(qiáng)調(diào)：0nn=驗(yàn)證應(yīng)注意的事項(xiàng)

做一做：

1．在用數(shù)學(xué)歸納法證明多邊形內(nèi)角和定理時，第一步應(yīng)驗(yàn)證(C)

(A)n＝1時成立(B)n＝2時成立(C)n＝3時成立(D)n＝4時成立

2．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2

(n∈N*)，驗(yàn)證n＝1時，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是(D)

(A)1(B)1＋2(C)1＋2＋3(D)1＋2＋3＋4

3．某個命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)n＝k(k∈N*)時，該命題成立，那么可推得n＝k＋1時命題也成立．現(xiàn)在已知當(dāng)n＝5時，該命題不成立，那么可推得(C)

(A)當(dāng)n＝6時該命題不成立

(B)當(dāng)n＝6時該命題成立

(C)當(dāng)n＝4時該命題不成立

(D)當(dāng)n＝4時該命題成立

總結(jié)：①第一步是歸納的奠基，沒有這一步就如同空中樓閣。第一步的0n不一定是1，要根據(jù)具體問題而定（例2）。②第二步的證明一定要使用“假設(shè)”的條件，而不能直接將1+=kn代入合題，便斷言命題成立（例3）。

例如:用數(shù)學(xué)歸納法證明：12222

21132-=+++++-nn(n∈*N)時,其中第二

步采用下面的證法：設(shè)n＝k時等式成立,即1222221132-=+++++-kk,則當(dāng)n＝k＋1時,

12212122222111

132-=--=++++++++-kkk

k．你認(rèn)為上面的證明正確嗎？為什么？

又如:奇數(shù)是2的倍數(shù)

證明：假設(shè)奇數(shù)k是2的倍數(shù)，

則后一個奇數(shù)k+2也是2的倍數(shù)。

所以，奇數(shù)是2的倍數(shù)

你認(rèn)為上面的證明正確嗎？為什么？

總結(jié)：

①第一步是歸納的奠基，沒有這一步就如同空中樓閣。第一步的不一定是1，要根據(jù)具體問題而定。

②第二步的證明一定要使用“歸納假設(shè)”這個條件。

（4）課堂練習(xí)

【1】用數(shù)學(xué)歸納法證明：首項(xiàng)是1a，公差是d的等差數(shù)列}{na的通項(xiàng)公式是*1)1(Nndnaan∈-+=，前n項(xiàng)和公式是)(,2

)1(*1NndnnnaSn∈-+=，【2】證明凸n邊形的對角線的條數(shù)f(n)＝12

n(n－3)(n≥4，n∈N*)．（5）師生共同小結(jié),完成概括提升

(1)本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法；

(2)歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種，完全歸納法只局限于有限個元素，而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性，數(shù)學(xué)歸納法屬于完全歸納法；

(3)數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，其基本思想是遞推(遞歸)思想，使用要點(diǎn)可概括為：兩個步驟一結(jié)論，遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉；

(4)本節(jié)課所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有：遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、辯證唯物主義思想．

一

（6）、布置課后作業(yè),鞏固延伸鋪墊

作業(yè)：96頁A組1.2

（7）反思：

一、教學(xué)目標(biāo)的確定

針對本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，我參照新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、自身的教學(xué)條件，按照新課程倡導(dǎo)的三維一體的課堂教學(xué)目標(biāo)，制定了“一、理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，感受數(shù)學(xué)歸納法的思維方法二、能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題”這一教學(xué)目標(biāo)，應(yīng)該說作為數(shù)學(xué)歸納法的第一節(jié)課，這個目標(biāo)很恰當(dāng)、科學(xué)、全面，而且易于操作，從而保證課堂教學(xué)達(dá)到應(yīng)有的基本標(biāo)準(zhǔn)，不至于在教學(xué)目標(biāo)上產(chǎn)生較大的偏差.

二、教學(xué)行為的反思

新課程倡導(dǎo)的是教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者、合、促進(jìn)者，是平等的，而不再是“傳道”“解惑”的權(quán)威，更不是學(xué)生學(xué)習(xí)知識的“批發(fā)商”.將學(xué)習(xí)的主動權(quán)交還給學(xué)生，是這節(jié)課給我的最大的啟示.從本節(jié)課一開始就放手讓學(xué)生主動參與課堂的教學(xué)中來。學(xué)生從來不是完全被動地接受知識的，無論什么樣數(shù)學(xué)水平的學(xué)生，他們對某些問題都會有自己的想法，因此我讓他們先感受多米諾骨牌現(xiàn)象，然后從多米諾骨牌現(xiàn)象中提煉出數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)，并在和他們一起探討數(shù)學(xué)歸納法的三個步驟間的邏輯推理關(guān)系這一想法的過程中讓他們體會到一些重要的數(shù)學(xué)思想方法，教會他們用這些思想方法指導(dǎo)自己以后的解題.然而，我的課堂教學(xué)曾經(jīng)是灌輸為主的，總以為只要抓緊時間將基礎(chǔ)知識講完，然后進(jìn)行大量的練習(xí)和講評、多講些例題，就能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績.這樣的課看起來效率很高，其實(shí)不然.我發(fā)現(xiàn)有些題目講過幾遍，學(xué)生依然會做錯，原因就在于灌輸?shù)恼n堂往往不能從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，糾正學(xué)生本來的錯誤，而是把教師的想法和解法填鴨給學(xué)生，幾乎沒有師生之間的交流與互動，這與新課程改革的方向相背離.本節(jié)課的例2的處理方式我覺得很恰當(dāng)，我讓一位同學(xué)上黑板來板演，后來發(fā)現(xiàn)她犯了一個錯誤，在利用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的時候都沒有利用到歸納假設(shè)的結(jié)論，這一點(diǎn)正是數(shù)學(xué)歸納法能否將無限的推理論證轉(zhuǎn)化為有限的步驟演繹的關(guān)鍵所在，反映出剛才的講授學(xué)生還沒有完全弄清楚數(shù)學(xué)歸納法的精髓，因此我與學(xué)生再次回到多米諾骨牌現(xiàn)象中，與他們一起推敲剛才的論證過程是否是數(shù)學(xué)歸納法時，他們異口同聲的說“不是！”，此時我就有一種新課程理念給我?guī)淼某删透?，心里非常的高興。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)方式、改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法是高中數(shù)學(xué)課程追求的基本理念.學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不應(yīng)只限于對概念、結(jié)論和技能的記憶、模仿和接受，獨(dú)立思考、自主探索、動手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.”“教學(xué)中，應(yīng)鼓勵學(xué)生積極參與教學(xué)活動，包括思維的參與和行為的參與.既要有教師的講授和指導(dǎo)，也要有學(xué)生的自主探索與合作交流.教師要創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情境，鼓勵學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律和問題解決的途徑，使他們經(jīng)歷知識形成的過程.”因此，教師的教不僅牽涉到教，更重要的是教為了學(xué).我要轉(zhuǎn)變自己的教學(xué)方式，把自己的一些錯誤的教學(xué)行為糾正到新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求上來，使教學(xué)過程真正變?yōu)閷W(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的無窮魅力.

三、學(xué)生學(xué)習(xí)方式的反思

新課程標(biāo)準(zhǔn)下的學(xué)生的學(xué)習(xí)方式與傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方式有很大的不同，我根據(jù)本節(jié)課的

教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)了必要的情境和條件，選擇了合作型學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生的主體地位得到

充分的體現(xiàn)，而這些問題在傳統(tǒng)教學(xué)中容易忽視，但這卻是新課程倡導(dǎo)的主要學(xué)習(xí)方式

之一，我們教師要充分把握.

四、教學(xué)效果的反思

根據(jù)三維一體的教學(xué)目標(biāo)，對于“知識與技能”、“過程與方法”、“情感態(tài)度與

價(jià)值觀”這三級目標(biāo)而言，我覺得還是在課堂教學(xué)中得到了滲透和體現(xiàn).我覺得只有圍

繞教學(xué)目標(biāo)，制定切實(shí)可行的三維一體目標(biāo)，并在課堂中得以充分的滲透和體現(xiàn)，教師

的教育教學(xué)能力才會有效的提升.一方面師生間的合作學(xué)習(xí)探究使我們的認(rèn)知方式產(chǎn)生

了質(zhì)