假設檢驗續(xù)的學習教案

假設檢驗續(xù)的學習教案第1頁/共38頁一、一致最優(yōu)功效檢驗

設統計模型為，考慮檢驗問題對這個一般的假設檢驗問題給出最優(yōu)檢驗的定義如下：定義9.1在檢驗問題(7)中，的檢驗，有不等式第2頁/共38頁(UniformlyMostPowerfulTest)一致最優(yōu)功效檢驗，簡記為UMPT。對所有的都成立，對復合假設檢驗而言，UMPT的存在性不但與總體的分布有關，而且與所考慮的假設檢驗問題有關。為了說明問題，我們先看下面兩個例子。第3頁/共38頁例9.1的簡單樣本。求檢驗問題解由例8.1可知，檢驗問題水平為的最優(yōu)功效檢驗具有拒絕域第4頁/共38頁或檢驗函數它顯然也是檢驗問題(9)的水平為的檢驗。又由于是檢驗問題(9)的水平為的MPT，所以對任意第5頁/共38頁給定的有都有由此例可知對簡單原假設對簡單備擇假設檢如果MPT不依賴于備擇假設的參數，驗問題，則可適當擴大備擇假設，并由MPT獲得UMPT。這擴大了N-P引理的應用范圍。第6頁/共38頁例9.2的簡單樣本，試證明檢驗問題證明反證法假設所考慮檢驗問題的水平為的UMPT是，有則對任何水平為的檢驗第7頁/共38頁因此有特別地，根據N-P引理知具體表示式為第8頁/共38頁此時MPT的功效為由分布函數的非減性知，單調增函數，這與(9)矛盾，故結論成立。第9頁/共38頁我們將N-P引理應用這個例子，對檢驗問題而對檢驗問題第10頁/共38頁這說明對檢驗問題相應MPT的拒絕域與備擇假設有關，因此一致最優(yōu)功效檢驗(UMPT)就不一定存在。那么在什么情況下UMPT存在？若存在，如何來求？為了方便我們將檢驗問題分成單邊檢驗問題和雙邊檢驗問題：第11頁/共38頁雙邊檢驗問題并分別進行討論。（一）單邊假設檢驗從例9.1可知，在有些情況下，關于單邊假設檢驗問題存在UMPT。但一般來說對單邊檢驗問題，由于MPT依賴于參數的備選值，所以UMPT可以不存在。那么在什么情況下UMPT存在及如何求呢？我們有下面的判斷定理。第12頁/共38頁定理9.1率)是單參數的并可表示為函數，則對單邊檢驗問題(1)其檢驗函數為水平為的UMPT存在，（10）第13頁/共38頁其中常數和有下式確定(2)的增函數。注意：有關這個定理的詳細證明可參看BickelP.J.《MathematicalStatistics--BasicIdeasandSelectedTopics》(1)的確定方法可參看N-P引理的注。第14頁/共38頁如果定理中的是的嚴格單減函數，則定理的結論同樣成立，只需要將(10)中的不等號改變方向。(2)(3)對假設檢驗問題則定理8.1的結論全部成立。(4)對假設檢驗問題和假設檢驗問題第15頁/共38頁可以分別化為假設檢驗問題同樣可以使用定理8.1來求UMPT。和假設檢驗問題第16頁/共38頁例9.3分布，設某種設備的壽命服從參數為的指數即密度函數為我們想知道這種類型的設備的平均壽命是否大于，即所考慮假設檢驗問題為現抽取個此類設備進行試驗直到設備不能正第17頁/共38頁解常工作為止，并記錄其壽命分別為樣本的聯合密度函數為令則假設檢驗問題變?yōu)榭筛膶憺榈?8頁/共38頁這樣的拒絕域為由定理9.1可知水平為的UMPT單調增函數，(連續(xù)隨機變量)其中滿足因此只要求出的分布，就可確定常數，留作課后習題。第19頁/共38頁例9.4設是來自正態(tài)總體的簡單樣本，其中是未知參數。試求檢驗問題的水平為的UMPT。解樣本的聯合密度函數為(11)第20頁/共38頁即這樣格單調增函數，所以有定理9.1對檢驗問題(11)而言，UMPT存在。由于是連續(xù)隨機變量，水平為的UMPT的檢驗函數為第21頁/共38頁其中常數由下式確定又由于當時，～再由相互獨立性可得所以～～從而可得，第22頁/共38頁故所求的檢驗問題的水平為的UMPT的拒絕域為第23頁/共38頁（二）雙邊假設檢驗這里僅討論假設檢驗問題的UMPT的存在性及求法，至于另兩類雙邊假設檢驗問題留在后面討論。定理9.2率)是單參數的并可表示為(12)第24頁/共38頁函數，則對雙邊檢驗問題(12)，存在水平為的UMPT,其檢驗函數為其中四個常數由下式確定第25頁/共38頁二、一致最優(yōu)功效無偏檢驗

對另外兩類雙邊假設檢驗問題和即使樣本的聯合密度函數(或分布率)(單參數)具有定理9.1和定理9.2中的常見表達式，關于這兩類檢驗問題的UMPT也不存在。實際上例9.2早已說明了這一事實。(13)(14)第26頁/共38頁既然對上述兩類檢驗問題不存在UMPT，哪如何處理呢？象估計問題一樣，自然是對檢驗提出某種合適的要求，然后在滿足這種特定要求的較小的檢驗類中尋找最優(yōu)的檢驗，其中一種簡單的要求就是所謂的無偏性。定義9.2設是假設檢驗問題的檢驗函數，若其功效函數滿第27頁/共38頁足條件則稱為水平為的無偏檢驗。(UnbiasedTest)顯然，水平為的UMPT一定是無偏檢驗。定義9.3在檢驗問題中，若存在一個水平為的無偏檢驗，使得第28頁/共38頁對任一水平為的無偏檢驗，不等式對所有的都成立，則稱檢驗是水平簡記為UMPUT。為的一致最優(yōu)功效無偏檢驗，(UniformlyMostPowerfulUnbiasedTest)對某些檢驗問題，雖然不存在UMPT，但存在UMPUT，例如對上面提到的兩類雙邊檢驗問題，就存在UMPUT。UMPUT存在性及如何構造歸結為如下兩個定理。第29頁/共38頁定理9.3率)是單參數的并可表示為函數，則對雙邊檢驗問題(14)和任一水平存在UMPUT,其檢驗函數為第30頁/共38頁其中四個常數由下式確定定理9.4率)是單參數的并可表示為函數，則對雙邊檢驗問題(13)和任一水平存在UMPUT,其檢驗函數為第31頁/共38頁其中四個常數由下面兩個式子確定第32頁/共38頁例9.5設是來自正態(tài)總體的簡單樣本，其中是未知參數。試求檢驗問題的水平為的UMPUT。解樣本的聯合密度函數為第33頁/共38頁這樣增函數。又由于所以由定理9.4知水平為的UMPUT存在，其檢驗函數為其中滿足所以由第一第34頁/共38頁式可得由于被積函數是奇函數，將代入第二式可得所以只有當（15）第35頁/共38頁

時上式才能成立。這樣分布的對稱性及(15)式可即～再由可得