激光原理課程設(shè)計(jì)-自再現(xiàn)模迭代法

沈陽理工大學(xué)激光原理課程設(shè)計(jì)第第頁第1章引言平行平面腔在激光發(fā)展史上最先被使用,第一臺紅寶石激光器的諧振腔就是用它來做成的。F2P腔具有輸出光束方向性好、模體積大、容易獲得單橫模振蕩等優(yōu)點(diǎn),目前平行平面腔在中小功率激光器中有廣泛應(yīng)用。諧振腔的經(jīng)典理論僅給出了部分簡單腔型的模式解析解。對于平行平面腔以及在激光器的不斷發(fā)展過程中所涌現(xiàn)的許多新型結(jié)構(gòu)諧振腔通常是沒有解析結(jié)果的,必須采用各種數(shù)值模擬方法進(jìn)行求解,如Fox2Li迭代法、快速傅立葉變換法(FFT)、等效透鏡波導(dǎo)法、特征向量法、有限元法(FEM)和有限差分法(FDM)等。Fox2Li方法是一種模式數(shù)值求解中普遍適用的一種方法,本文主要講述此方法。Fox-Li數(shù)值迭代法是GardnerFox和厲鼎毅在1961年發(fā)表文章ResonantModesinaMaserInterferometer首次提出了用計(jì)算機(jī)迭代方法求解衍射積分方程來研究平平腔內(nèi)模式的方法，它的優(yōu)點(diǎn)：理論上可以研究任何類型的光學(xué)諧振腔；通過迭代法近似計(jì)算證明了自再現(xiàn)模的存在性；計(jì)算過程與開腔模式的物理機(jī)制類似，方便理解。缺點(diǎn)：收斂性不好，計(jì)算量大；對高階模式的計(jì)算誤差較大；第2章基本原理及方法2.1基本原理2.1.1諧振腔的衍射積分理論2.1.1.1菲涅耳－基爾霍夫衍射積分惠更斯－菲涅耳原理：一個(gè)光波波前上的每一點(diǎn)都可以看成是新的子波源，從這些點(diǎn)發(fā)出球面子波，空間中某一點(diǎn)的光場就是這些子波在該點(diǎn)相干疊加的結(jié)果。1.菲涅耳——基爾霍夫衍射積分公式設(shè)空間某一曲面S上光波場的振幅和相位分布函數(shù)是u(x',y'),由它在所要考察的空間任一點(diǎn)P處產(chǎn)生的光場分布u(x,y)為2.衍射積分公式在諧振腔中的應(yīng)用因此因此2.1.1.2自在現(xiàn)模所應(yīng)滿足的積分方程式代入衍射積分公式，得表達(dá)式的物理意義腔內(nèi)可能存在著穩(wěn)定共振光波場，它們從一個(gè)腔鏡傳播到另一個(gè)腔鏡時(shí)，雖然受到了衍射效應(yīng)的作用，但其在兩個(gè)腔鏡處的相對振幅和相對相位分布保持不變。共振光波場在腔內(nèi)多次往返過程中始終保持自在現(xiàn)的條件。2.1.1.3積分方程解的物理意義積分方程是個(gè)本征方程，其解可能不止一個(gè)，以vmn(x,y)表示其第mn個(gè)解，mn表示相應(yīng)的復(fù)常數(shù)，則可改寫成其中稱為方程的本征值稱為與本征值相應(yīng)的本征函數(shù)本征函數(shù)的模描述開腔鏡面上光場的振幅分布；幅角則描述鏡面上光場的相位分布復(fù)常數(shù)的物理意義：的模量度自再現(xiàn)模的單程損耗；的輻角量度自再現(xiàn)模的單程相移，從而也決定模的諧振頻率2.1.2平行平面腔的自在現(xiàn)模2.1.2.1平行平面腔的模式積分方程以對稱矩形平行平面鏡腔為例，寫出開腔自再現(xiàn)模所應(yīng)滿足的積分方程式的具體形式設(shè)矩形腔鏡的邊長為2a和2b，且滿足如下關(guān)系忽略高階小量，近似為對稱矩形平行平面鏡腔自再現(xiàn)模滿足的積分方程式的具體形式為對其進(jìn)行變量分離，令得2.1.3平行平面腔模的數(shù)值迭代解法1.迭代法步驟已知初始場分布u1→得到鏡面2上場分布u2→得到鏡面1上場分布u3→得到場分布uj→得到場分布uj+1←滿足自再現(xiàn)條件要進(jìn)行迭代需要設(shè)置初始值u1，從前面我們對開腔物理模型的分析知道，理論上任何形式的初始模式在經(jīng)過足夠多次的傳播后都會產(chǎn)生穩(wěn)定的自再現(xiàn)模，本文討論的是初始光場為三角分布的條件下的振幅，因此設(shè)u1(x)=x,-m<x<0-x,0<x<m0,其他由于arg[u1(x)]=0，它代表了一個(gè)等相位面就是反射鏡平面，且在等相位面上振幅均勻分布的平面波。將u1帶入迭代公式可以求出第二個(gè)鏡面上的光波u2。由于我們只求相位和振幅的相對分布，因此對u2進(jìn)行歸一化。將歸一化后的u2作為輸入?yún)?shù)帶入迭代公式可以求出u3，依次循環(huán)計(jì)算下去，直到得到的歸一化的uq+1和uq之間只相差一個(gè)與坐標(biāo)無關(guān)的常數(shù)因子為止；此時(shí)求出的uq是迭代方程的穩(wěn)定解，也就是本征函數(shù)；此時(shí)求出的與坐標(biāo)無關(guān)的常數(shù)因子uq+1/uq=r是本征值。自在現(xiàn)模的形成過程及簡化圖：2.迭代法的意義(1)第一次證明了開腔模式的存在性；(2)加深了我們對模的各種特征的認(rèn)識；(3)具有普遍的適用性。2.2實(shí)現(xiàn)方法雖然是復(fù)數(shù)積分，但其和實(shí)數(shù)積分實(shí)現(xiàn)方法相同，即取一定步長，用矩形面積的和代替函數(shù)的定積分。實(shí)現(xiàn)程序：%一維平平腔光場相位振幅laserUa=25λ;L=100λ;N=a^2/(Lλ);λ=1%初始光場分布可任意n=input('單程次數(shù)=');m=input('區(qū)間數(shù)=');aa=25;wl=1;L=1.25*10^2*wl;f1=(i/(L*wl)*exp(-i*L*2*pi/wl))^0.5;a=-aa+aa/m:2*aa/m:aa-aa/m;%初始光場U=0;forJ=1:m/2U(J,1)=J;%U1(J,1);endforJ=m/2+1:mU(J,1)=m-J;%U1(J,1);endholdoffforI=2:n+1forJ=1:mu=0;fork=1:mu=u+fkx(a(J),a(k))*U(k,I-1);%矩形積分endU(J,I)=u*f1*2*aa/m;endI-1endU1=0;A=0;Q=0;fork=1:mU1(k,1)=U(k,I);%最后光場A(k)=abs(U1(k,1));%最后振幅Q(k)=angle(U1(k,1));%最后相位endif(max(max(Q))-min(min(Q)))>piQ=(Q+2*pi)/(2*pi)-fix((Q+2*pi)/(2*pi));%最后相位end%Q=Q*360;UA=abs(U);save('Uxr.mat')save('U1xr.mat','U1')y=0;y=UA(:,I);boxonplot(a,y,'.-')title('條形平平腔衍射積分曲線','Fontsize',10,'FontWeight','bold');ylabel('光場振幅','Fontsize',9);xlabel('腔鏡反射面坐標(biāo)','Fontsize',9);gridontext(-10,min(y),['單程次數(shù)=',num2str(I-1),'區(qū)間點(diǎn)數(shù)=',num2str(m)])holdonfunctiony=U1(x)if-a<x<0y=-xelseif0<x<ay=xelsey=0endfunctionfkx=fkx(x,x1)L=1.25*10^2;%*wl;%wl=1;fkx=exp(-i*pi*(x-x1)^2/L);結(jié)論通過這個(gè)課程設(shè)計(jì)收獲主要有兩點(diǎn)：一是練習(xí)了matlab軟件的使用，學(xué)會了一些用matlab做光學(xué)仿真的方法；二是更深入理解了激光諧振腔在激光器中的地位和作用，鞏固了課本