-新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)檢測(cè)19函數(shù)的單調(diào)性含解析北師大版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE5函數(shù)的單調(diào)性[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?a，b)，且對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x1，x2，均有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，則f(x)在(a，b)上()A．單調(diào)遞增B．單調(diào)遞減C．先單調(diào)遞減再單調(diào)遞增D．先單調(diào)遞增再單調(diào)遞減解析：選B若(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1－x2<0，,f（x1）－f（x2）>0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1－x2>0，,f（x1）－f（x2）<0，))即當(dāng)x1<x2時(shí)，f(x1)>f(x2)或當(dāng)x1>x2時(shí)，f(x1)<f(x2)．不論哪種情況，都說(shuō)明f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減．2．已知函數(shù)y＝f(x)在R上為增函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是()A．y＝eq\f(1,f（x）)在R上為減函數(shù)B．y＝|f(x)|在R上為增函數(shù)C．y＝[f(x)]2在R上為增函數(shù)D．y＝－f(x)在R上為減函數(shù)解析：選D由函數(shù)y＝f(x)在R上為增函數(shù)，可設(shè)y＝f(x)＝x.對(duì)于A，y＝eq\f(1,f（x）)＝eq\f(1,x)，定義域?yàn)閧x|x≠0}，不滿足在R上為減函數(shù)，所以A錯(cuò)誤．對(duì)于B，y＝|f(x)|＝|x|，在區(qū)間(－∞，0]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以不滿足在R上為增函數(shù)，所以B錯(cuò)誤．對(duì)于C，y＝[f(x)]2＝x2，在區(qū)間(－∞，0]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以不滿足R上為增函數(shù)，所以C錯(cuò)誤．對(duì)于D，若函數(shù)y＝f(x)在R上為增函數(shù)，則對(duì)任意的x1，x2∈R，且x1<x2時(shí)，都滿足f(x1)<f(x2)，當(dāng)y＝－f(x)時(shí)，[－f(x1)]－[－f(x2)]＝f(x2)－f(x1)>0，即y＝－f(x)為R上的減函數(shù)．故選D.3．設(shè)函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，則()A．f(a)>f(2a) B．f(a2＋1)<f(a2)C．f(a2＋a)<f(a) D．f(a2)<f(a)解析：選B∵a2＋1>a2，且f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，∴f(a2＋1)<f(a2)．4．若函數(shù)y＝x2＋(2a－1)x＋1在區(qū)間(－∞，2]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，＋∞)) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))C．(3，＋∞) D．(－∞，－3]解析：選B∵函數(shù)y＝x2＋(2a－1)x＋1的圖象開口向上，直線x＝eq\f(2a－1,－2)為函數(shù)的對(duì)稱軸，函數(shù)在區(qū)間(－∞，2]上是減函數(shù)，故2≤eq\f(2a－1,－2)，解得a≤－eq\f(3,2).5．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，A(0，1)，B(2，－1)是其圖象上的兩點(diǎn)，則不等式|f(x－1)|>1的解集為()A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(1，3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：選D據(jù)題意可知f(0)＝1，f(2)＝－1.∵f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，∴f(x)在R上單調(diào)遞減．由|f(x－1)|>1得，f(x－1)<f(2)或f(x－1)>f(0)．∴x－1>2或x－1<0，解得x>3或x<1.∴原不等式的解集為(－∞，1)∪(3，＋∞)．故選D.6．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≥0，,－x2，x<0))的單調(diào)遞增區(qū)間為________．解析：畫出函數(shù)圖象如圖所示，由圖象可知，f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)．答案：(－∞，＋∞)7．函數(shù)f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)在區(qū)間(－2，＋∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)＝eq\f(a（x＋2）－2a＋1,x＋2)＝a＋eq\f(1－2a,x＋2)，依題意有1－2a<0，即a>eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))8．f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a－4）x＋5（x≤1），,\f(2a,x)（x>1）))在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：因?yàn)閒(x)為R上的減函數(shù)，所以當(dāng)x≤1時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，即a－4<0， ①當(dāng)x>1時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，即a>0， ②且(a－4)×1＋5≥2a， ③聯(lián)立①②③，解得0<a≤1.答案：(0，1]9．判斷函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(p,x)(p>0)的單調(diào)性．解：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝x1＋eq\f(p,x1)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(p,x2)))＝(x1－x2)＋eq\f(p（x2－x1）,x1x2)＝(x1－x2)·eq\f(x1x2－p,x1x2).(*)當(dāng)x1，x2∈(0，eq\r(p))時(shí)，0<x1x2<p，x1－x2<0，所以(*)式大于0，即f(x1)－f(x2)>0，所以f(x1)>f(x2)，即f(x)在(0，eq\r(p))上是減函數(shù)；當(dāng)x1，x2∈[eq\r(p)，＋∞)時(shí)，x1x2>p，x1－x2<0，所以(*)式小于0，即f(x1)－f(x2)<0，所以f(x1)<f(x2)，即f(x)在[eq\r(p)，＋∞)上是增函數(shù)．同理可得，當(dāng)x∈(－eq\r(p)，0)時(shí)，f(x)＝x＋eq\f(p,x)是減函數(shù)；當(dāng)x∈(－∞，－eq\r(p)]時(shí)，f(x)＝x＋eq\f(p,x)是增函數(shù)．綜上所述，f(x)＝x＋eq\f(p,x)(p>0)在(－∞，－eq\r(p)]和[eq\r(p)，＋∞)上是增函數(shù)，在(－eq\r(p)，0)和(0，eq\r(p))上是減函數(shù)．10.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．(1)根據(jù)函數(shù)的圖象，寫出f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在[a－1，a＋1]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)由函數(shù)圖象得f(x)在(－∞，－1]和[2，＋∞)上單調(diào)遞增；f(x)在(－1，2)上單調(diào)遞減．(2)因?yàn)閒(x)在[a－1，a＋1]上單調(diào)遞增，所以a＋1≤－1或a－1≥2，解得a≤－2或a≥3.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，－2]∪[3，＋∞)．[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．(多選)使函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋1在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增的一個(gè)條件是()A．0<a<1 B．a(chǎn)≥1C．a(chǎn)>1 D．－1<a<0解析：選BC若f(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,\f(1,a)≤1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,\f(1,a)≥2，))解得a≥1，故選B、C.12．若定義在R上的一元二次函數(shù)f(x)＝ax2－4ax＋b在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，且f(m)≥f(0)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．0≤m≤4 B．0≤m≤2C．m≤0 D．m≤0或m≥4解析：選A因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，所以f(2)>f(0)，解得a<0.又因?yàn)閒(x)的圖象的對(duì)稱軸為x＝－eq\f(－4a,2a)＝2，所以f(x)在區(qū)間[0，2]上的值域與在區(qū)間[2，4]上的值域相同．所以滿足f(m)≥f(0)的m的取值范圍是0≤m≤4.13．若函數(shù)f(x)＝x2－2(a－1)x＋2在區(qū)間(1，4)上不是單調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2－2(a－1)x＋2在區(qū)間(1，4)上不是單調(diào)函數(shù)，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝a－1，所以1<a－1<4，所以2<a<5.答案：(2，5)14．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(3x＋7,x＋2).(1)判斷并證明函數(shù)f(x)在(－2，＋∞)上的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－2，2)，且滿足f(－2m＋3)>f(m2)，求m的取值范圍．解：(1)f(x)＝eq\f(3x＋7,x＋2)＝3＋eq\f(1,x＋2)，f(x)在(－2，＋∞)上單調(diào)遞減，證明如下：任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x2<x1，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(1,x1＋2)－eq\f(1,x2＋2)＝eq\f(x2－x1,（x1＋2）（x2＋2）)，因?yàn)閤1>x2>－2，所以x1＋2>0，x2＋2>0，x2－x1<0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(－2，＋∞)上單調(diào)遞減．(2)由(1)可知，當(dāng)x∈(－2，2)時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以由f(－2m＋3)>f(m2)得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2<－2m＋3<2，,－2<m2<2，,－2m＋3<m2，))解得1<m<eq\r(2)，所以m的取值范圍為(1，eq\r(2))．[C級(jí)拓展探究]15．已知函數(shù)f(x)，g(x)在數(shù)集D上都有定義，對(duì)于任意的x1，x2∈D，當(dāng)x1<x2時(shí)，g(x1)≤eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)≤g(x2)或g(x2)≤eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)≤g(x1)成立，則稱g(x)是數(shù)集D上f(x)的限制函數(shù)．(1)試判斷函數(shù)g(x)＝eq\f(1,x2)是否是函數(shù)f(x)＝－eq\f(1,x)在D＝(0，＋∞)上的限制函數(shù)；(2)設(shè)g(x)是f(x)在區(qū)間D1(D1?D)上的限制函數(shù)且g(x)在區(qū)間D1上的值恒正，求證：函數(shù)f(x)在區(qū)間D1上是增函數(shù)；(3)設(shè)f(x)＝x2－2eq\r(x)，試寫出函數(shù)f(x)在D＝(0，＋∞)上的限制函數(shù)，并利用(2)的結(jié)論，求f(x)在D＝(0，＋∞)上的單調(diào)區(qū)間．解：(1)對(duì)任意0<x1<x2，因?yàn)閑q\f(1,xeq\o\al(2,2))<eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＝eq\f(－\f(1,x1)＋\f(1,x2),x1－x2)＝eq\f(1,x1x2)<eq\f(1,xeq\o\al(2,1))，所以g(x)＝eq\f(1,x2)是f(x)在D＝(0，＋∞)上的限制函數(shù)．(2)證明：對(duì)于任意的x1，x2∈D1?D，當(dāng)x1<x2時(shí)，因?yàn)間(x)在區(qū)間D1?D上恒為正值，所以g(x1)>0，g(x2)>0，由于g(x1)≤eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)≤g(x2)或g(x2)≤eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)≤g(x1)成立，所以0<eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在D1上是增函數(shù)．(3)設(shè)0<x1<x2，則eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＝eq\f(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2),x1－x2)－eq\f(2\r(x1)－2\r(x2),x1－x2)＝x1＋x2－eq\f(2,\r(x1)＋\r(x2))，所以2x1－eq\f(1,\r(x1))<eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)<2x2－eq\f(1,\r(x2))，即g(x)＝2x－eq\f(1,\r(x)).由g(x)＝2x－eq\f(1,\r(x))>0，解得x>eq\f(1,\r(3,4))，因而當(dāng)x