突破2023年高考數(shù)學(xué)題型之2022年數(shù)學(xué)高考真題(全國(guó)通用)專(zhuān)題37 成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題(含詳解)

專(zhuān)題37成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題

【高考真題】

1.（2022?全國(guó)乙理）某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)一林區(qū)某種樹(shù)木的總

材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹(shù)木，測(cè)量每棵樹(shù)的根部橫截面積（單位：m2）和材積量（單位：nP）,得

到如下數(shù)據(jù)：

樣本號(hào)i12345678910總和

根部橫截面積飛0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材積量X0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并計(jì)算得=0.038,^^=1.6158.=0.2474.

i=li=li=l

（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹(shù)木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹(shù)木的根部橫截面積，并得到所有這種樹(shù)木的根部橫截面積總和為

186m2.已知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹(shù)木的總材

積量的估計(jì)值.

附：相關(guān)系數(shù)1=I“曰“，7?頡=1.377.

住（玉與之（片-反）2

Vi=ii=i

1.解析（1）樣本中10棵這種樹(shù)木的根部橫截面積的平均值〒=需=0.06

樣本中10棵這種樹(shù)木的材積量的平均值5=子39=0.39

據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積為0.06m2,平均一棵的材積量為Q39n?

1010

Z（Xi-可（兇-5）際

r—i=l._i=l

⑵vToA

_-刃2_/ir斗^?叫?！篢OV

________0.2474-10x0.06x0.39________0.0134~0.0134?慚

7（0.038-10x0.062）（1.6158-10x0.392）V0.00018960.01377，則r=0.97

（3）設(shè)該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值為丫??,

又已知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，可得耗=三，解之得y=1209m3.

則該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量估計(jì)為1209m3.

2.（2022?新高考I）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好

和

不夠良好兩類(lèi)）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱(chēng)為病例組），同時(shí)在未患該疾病

的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱(chēng)為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù):

不夠良好良好

病例組4060

對(duì)照組1090

（1）能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該

P(B\A)P(少少

疾病與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)

P(B\A)P(B\A)

為R.

P(A|8)P(N|月)

(i)證明:R=

P(A\B)P(A\B)

（ii）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P（*8）,P（川乃的估計(jì)值，并利用（i）的結(jié)果給出R的估計(jì)值.

_n{ad-be)22

附長(zhǎng)2P(K>k)0.0500.0100.001

(a+Z?)(c+d)(a+c)S+d)'

2.解析（1）由已知k3.8416.63510.828

n(ad-bc)2_200(40x90-60x10)2

(a+〃)(c+4)(“+c)S+d)--50x150x100x100

又PIK?26.635）=0.01,24>6,635,

所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.

p（giA）P(B\A)_P(AB)P(A)/(A8)P(A)

(2)⑴因?yàn)镽=P(B\A)~P(A)P(AB)P(A)P(AB)

P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(A|B)國(guó))4()

所以R=所以K=,(ii)由已知P(A|B)=訴，

P(B)P(AB)P(B)P(A8)P(A\ByP(A\B)

10-60--90

P(A|B)=—,又P(A|B)=——，P(A|B)=——，

100100100

P(A\B)P(A\B)_

所以R=6

P(A|B)P(A|B)-

【知識(shí)總結(jié)】

1.變量的相關(guān)關(guān)系

(1)相關(guān)關(guān)系

兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱(chēng)為相關(guān)關(guān)

系.

(2)相關(guān)關(guān)系的分類(lèi)：正相關(guān)和負(fù)相關(guān).

(3)線性相關(guān)

一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，我們就稱(chēng)這兩個(gè)變

量線性相關(guān).

一般地，如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱(chēng)這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相

關(guān).

2.樣本相關(guān)系數(shù)

(1)相關(guān)系數(shù)，?的計(jì)算

變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)『的計(jì)算公式如下：

n____

Z(.Xi-X)8-y)

/n_n_

-A/Z(kx)吃y)2

\/i=\i=\

(2)相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)

①當(dāng)r>0時(shí)，稱(chēng)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)；當(dāng)r=0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)間

沒(méi)有線性相關(guān)關(guān)系.

②樣本相關(guān)系數(shù)，的取值范圍為[-1,1].

當(dāng)團(tuán)越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)：

當(dāng)仍越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.

3.一元線性回歸模型

(1)經(jīng)驗(yàn)回歸方程與最小二乘法

AAA

我們將稱(chēng)為y關(guān)于X的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱(chēng)經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱(chēng)為經(jīng)驗(yàn)

回歸直線.這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的金，1叫做6,。的最小二乘估計(jì)，

￡(X,-X-y)￡孫一〃Xy

A/=Ii=\A____A____

其中。=-------------------=-------------,a=y-bx

2(為-X)2f(x,—T)2

(2)利用決定系數(shù)R2刻畫(huà)回歸效果

sGf)2

R2=\-----------,W越大，即擬合效果越好，R2越小，模型擬合效果越差.

￡(y1-y)2

尸1

4.列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

(1)2X2列聯(lián)表

一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類(lèi)變量X和匕它們的取值分別為｛制，X2｝和｛力，/)，其2X2列聯(lián)表為

y

X合計(jì)

y=yiy=y2

X=X\aha+b

X=X2cdc+d

合計(jì)a+cb+dn=a+b+c+d

(2)臨界值

/=3+6)(；,焉黑：)(/,+”).忽略/的實(shí)際分布與該近似分布的誤差后，對(duì)于任何小概率值a,可以

找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)為,使得PdNxOna成立.我們稱(chēng)心為a的臨界值，這個(gè)臨界值就可作為判斷/大

小的標(biāo)準(zhǔn).

(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)

基于小概率值a的檢驗(yàn)規(guī)則是：

當(dāng)Z2》/時(shí)，我們就推斷Ho不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)a；

當(dāng)爐＜打時(shí)，我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷Ho不成立，可以認(rèn)為X和y獨(dú)立.

這種利用/的取值推斷分類(lèi)變量X和丫是否獨(dú)立的方法稱(chēng)為/獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，

簡(jiǎn)稱(chēng)獨(dú)立性檢驗(yàn).

下表給出了z2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【題型突破】

考向一概率與回歸分析綜合問(wèn)題

1.(2020?全國(guó)H)某沙漠地區(qū)經(jīng)過(guò)治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)

某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20

個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)8,…，20),其中8和方分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋

202020―

面積(單位：公頃)和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得力,=60,Ey.=l200,Z(XLx)2=80,

i=if=ii-i

20_20__

￡(y1—y)2=9000,Z(M—X)(y,—y)=800.

i=li=l

(1)求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值(這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平

均數(shù)乘以地塊數(shù))；

(2)求樣本(知》)(i=l,2,…，20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；

(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大，為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生

動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說(shuō)明理由.

n__

Z(?—x)8—y)

/=1

附：樣本相關(guān)系數(shù)r=,近七1.414.

E(x,——)2Z(y,——)2

2.如圖給出了根據(jù)我國(guó)2012年?2018年水果人均占有量y(單位：kg)和年份代碼x繪制的散點(diǎn)圖和經(jīng)驗(yàn)

回歸方程的殘差圖(2012年?2018年的年份代碼x為1?7).

8n1我國(guó)2012年~2018年水果人均占,有量散點(diǎn)圖

7n-

6n

5/-我國(guó)2012年~2()18年水果人均占有最殘差圖

4nI-

3H

21123467車(chē)份

代碼x(l)根據(jù)散

點(diǎn)圖分析y與x之間的相關(guān)關(guān)系;

(2)根據(jù)散點(diǎn)圖相應(yīng)數(shù)據(jù)計(jì)算得?==1074,?叨=4517,求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(精確到0.01)；

i=\/=|

(3)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程的殘差圖，分析經(jīng)驗(yàn)回歸方程的擬合效果.

n____

E(Xi-X)(>1,-y)

附：經(jīng)驗(yàn)回歸直線；=：+￡中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為~:------------，?=7-

Z(為一X)2

1=\

A___

bx.

3.小區(qū)門(mén)口有一個(gè)熟食攤位，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)菜品種類(lèi)和日銷(xiāo)售收入之間有一定關(guān)系，具體

統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：

菜品種類(lèi)r45678910

日銷(xiāo)售收入y147159171184197210221

(1)建立y關(guān)于t的線性回歸方程；(y保留整數(shù))(2)根據(jù)所求線性回歸方程，預(yù)測(cè)如果希望日銷(xiāo)售收入

超過(guò)300元，則菜品種類(lèi)至少多少種？

￡(0-t)8-y)

Ai=\A_八_

附：線性回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為b=---------------------------------,a=y~bt,

i(A-t)2

Z=1

7__7_

參考數(shù)據(jù)：E(ti-t)(y,—y)=350,Z(/,—t>=28.

Z=1/=1

4.配速是馬拉松運(yùn)動(dòng)中常使用的一個(gè)概念，是速度的一種，是指每千米所需要的

時(shí)間，相比配速，把心率控制在一個(gè)合理水平是安全理性跑馬拉松的一個(gè)重要策略.圖①是一個(gè)馬拉

松跑者的心率y(單位：次/分鐘)和配速M(fèi)單位：分鐘/千米)的散點(diǎn)圖，圖②是一次馬拉松比賽(全程約42

千米)前3000名跑者成績(jī)(單位：分鐘)的頻率分布直方圖.

(1)由散點(diǎn)圖看出，可用線性回歸模型擬合

y與x的關(guān)系，求y與x的線性回歸方程;

(2)該跑者如果參加本次比賽，將心率控制在160左右跑完全程，估計(jì)他跑完全程花費(fèi)的時(shí)間，并估計(jì)

他能獲得的名次.

AAA“^.Xiyi-nx-yE(x,—x)(y,-j)

參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程曠=法+4的系數(shù)：人------二—------二-----

^Xj—nx2E(%,—x)2

A—A一

a=y-bx.

參考數(shù)據(jù)：~=135.

5.某機(jī)構(gòu)為研究某種圖書(shū)每?jī)?cè)的成本費(fèi)M單位：元)與印刷數(shù)量x(單位：千冊(cè))的關(guān)系，收集了一些數(shù)據(jù)

并進(jìn)行了初步處理，得到了下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

o1()152025303540455()

印刷數(shù)號(hào)工/千?冊(cè)

8―8一

8―X(即—X)8―X(〃LU)

Z(XLX)2i=l￡(出一2i=l

XyUU)

i=l/=]

■(yi~y)■(y--y)

15.253.630.2692085.5-230.30.7877.049

表中H,=7>

由

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷y^a+bx與y=c+（哪一個(gè)模型更適合作為該圖書(shū)每?jī)?cè)的成本費(fèi)y（單位:元）與印

刷數(shù)量x（單位：千冊(cè)）的經(jīng)驗(yàn)回歸方程？（只要求給出判斷，不必說(shuō)明理由）

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立了關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（回歸系數(shù)的結(jié)果精確到0.01）.

（3）若該圖書(shū)每?jī)?cè)的定價(jià)為10元，則至少應(yīng)該印刷多少冊(cè)才能使銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于78840元？（假設(shè)能夠

全部售出.結(jié)果精確到1）

AAA

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（口l，"I），（幻2，"2），…，（叫，"〃），其經(jīng)臉回歸直線9夕G的斜率和截距的最小

E(助—①)(5?一D)

Af=|A____A_____

二乘估計(jì)分別為￡=------------------,a=~J~p~M.

n__

Z(69,—CO)2

尸I

6.艾滋病是一種危害性極大的傳染病，由感染艾滋病病毒（HIV病毒）引起，它把人體免疫系統(tǒng)中最重要

的CD4—T淋巴細(xì)胞作為主要攻擊目標(biāo)，使人體喪失免疫功能.下表是近八年來(lái)我國(guó)艾滋病病毒累計(jì)

（1）請(qǐng)根據(jù)該統(tǒng)計(jì)表，畫(huà)出這八年我國(guó)艾滋病病毒累計(jì)感染人數(shù)的折線圖；（2）請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說(shuō)明：能用

線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系；

(3)建立y關(guān)于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預(yù)測(cè)2024年我國(guó)艾滋病病毒累計(jì)感染人數(shù).

參考數(shù)據(jù)：痔心6.48；,￡以=449.6,,￡x,y=2319.5,yj(JC,—7)2=^42,yj￡

(y/—y)2=462

s(x,—xXy,—y)

參考公式：相關(guān)系數(shù)/?=/-----

(為一x喀(j,—y)2

AAAA(Xi~X)(y,—y)A_A_

回歸方程：y=6x+“中，b=-----------二-----,a=y~bx.

備(XL1)2

7.近年來(lái)，高鐵的發(fā)展逐漸改變了人們的出行方式，我國(guó)2016?2020年高鐵運(yùn)營(yíng)里程的數(shù)據(jù)如下表所

示.

年份20162017201820192020

年份代碼X12345

高鐵運(yùn)營(yíng)里程y(萬(wàn)千米)1.92.22.52.93.5

(1)若X與y具有線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于X的線性回歸方程；

(2)每一年與前一年的高鐵運(yùn)營(yíng)里程之差即為該年新增的里程，根據(jù)這五年的數(shù)據(jù)，若用2017?2020年

每年新增里程的頻率代替之后每年新增相應(yīng)里程的概率，求2024年中國(guó)高鐵運(yùn)營(yíng)里程大于或等于5萬(wàn)

千米的概率.

AAA"^Xiyi-nxy

附：線性回歸方程y=“+bx中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：方=號(hào)-----二~

ixj—nx2

1=1

a=y-bx.

8.每年春天，婺源的油菜花海吸引數(shù)十萬(wàn)游客紛至沓來(lái)，油菜花成為“中國(guó)最美鄉(xiāng)村”的特色景觀，三

月，婺源篁嶺油菜花海進(jìn)入最佳觀賞期.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了近七年每年(2015年用x=l表示，2016年用x=2表

示)來(lái)篁嶺旅游的人次y(單位：萬(wàn)人次)相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示：

X1234567

y29333644485259

AAA

(1)若y關(guān)于x具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程、=云+。，并預(yù)測(cè)2022年來(lái)篁嶺

旅游的人次；

(2)為維持旅游秩序，今需A,B,C,D四位公務(wù)員去各景區(qū)值班，已知A,B,C去篁嶺值班的概率均

為2東。去篁嶺值班的概率為本1且每位公務(wù)員是否去篁嶺值班不受影響，用X表示此4人中去篁嶺值

班的人數(shù)，求X的分布列與均值.

E(XLx)(yi-y)

Aj"*]A___A___

參考公式：b=-----------------,a—y-bx.

Z(XLx)2

i=l

77__

參考數(shù)據(jù)：ZB=301,Z(x,—x)(j,—y)=140.

1=1尸i

9.研究機(jī)構(gòu)對(duì)某校學(xué)生往返校時(shí)間的統(tǒng)計(jì)資料表明：該校學(xué)生居住地到學(xué)校的距離x（單位：千米）和學(xué)生

花費(fèi)在上學(xué)路上的時(shí)間M單位：分鐘）有如下的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

到學(xué)校的距離x（千米）1.82.63.14.35.56.1

花費(fèi)的時(shí)間y（分鐘）17.819.627.531.336.043.2

由統(tǒng)計(jì)資料表明y與x具有線性相關(guān)關(guān)系.

（1）判斷y與X的相關(guān)程度;（相關(guān)系數(shù)『的絕對(duì)值大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量相關(guān)程度很強(qiáng),精確到0.01）

（2）求線性回歸方程￡=源+2（精確到0.01）；

AAA

（3）將y<27的時(shí)間數(shù)據(jù)/稱(chēng)為美麗數(shù)據(jù)，現(xiàn)從這6個(gè)時(shí)間數(shù)據(jù)y中任取2個(gè)，求抽取的2個(gè)數(shù)據(jù)全部為

美麗數(shù)據(jù)的概率.

AAA"^,Xiyt-nX-yI（X,—X）（y,—y）

參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程），=6x+a的系數(shù)：b=~\,-----二—=二^-----二-----

^xf—nx2￡］（x,-

a=y-bx.

666__6_6——

2

參考數(shù)據(jù)：Z)*=175.4,2>/y,=764.36,Zx>(第一y)=80.30,Z(?—x)2=14.30,V(j;-y)

/=1i=li=\產(chǎn)]；=1

6_6_

=471.65,X(為-x)2X⑴―y)2=82.13.

10.隨著中美貿(mào)易戰(zhàn)的不斷升級(jí)，越來(lái)越多的國(guó)家科技巨頭加大了科技研發(fā)投入的力度.中華技術(shù)有限公

司擬對(duì)“麒麟”手機(jī)芯片進(jìn)行科技升級(jí)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到科技升級(jí)投入M億元）與科技升級(jí)

直接收益M億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

序號(hào)123456789101112

X2346810132122232425

y1322314250565868.56867.56666

A八L

當(dāng)0<nW17時(shí)，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①：y=4.1x+11.8；模型②：y=21.34一14.4；

AA

當(dāng)x>17時(shí)，確定y與x滿足的線性回歸方程為丫=-0.7x+a.

(1)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)0<xW17時(shí)模型①、②的相關(guān)指數(shù)R2的大小，并選擇擬合精度更

高、更可靠的模型，預(yù)測(cè)對(duì)“麒麟”手機(jī)芯片科技升級(jí)的投入為17億元時(shí)的直接收益

回歸模型模型①模型②

回歸方程f=4.1x+11.8￡=21.35-14.4

7A

石Gf)2182.479.2

“八C

石8一卅_

(附：刻畫(huà)回歸效果的相關(guān)指數(shù)代=1一-------—,717^4.1)

石yy

(2)為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新，當(dāng)科技升級(jí)的投入不少于20億元時(shí)，國(guó)家給予公司補(bǔ)貼5億元，以回歸方程為

預(yù)測(cè)依據(jù)，比較科技升級(jí)投入17億元與20億元時(shí)公司實(shí)際收益的大??；

n__n__

AAA“百孫E(x,—x)(y,—y)

(附：用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)：---------------------二----，

￡田一〃X2(為一X)2

A——A——

a=y-bx)

(3)科技升級(jí)后，“麒麟”芯片的效率X大幅提高,經(jīng)實(shí)際試驗(yàn)得X大致服從正態(tài)分布M0.52,0.012).公

司對(duì)科技升級(jí)團(tuán)隊(duì)的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下：若芯片的效率不超過(guò)50%,不予獎(jiǎng)勵(lì)；若芯片的效率超過(guò)50%但

不超過(guò)53%,每部芯片獎(jiǎng)勵(lì)2元；若芯片的效率超過(guò)53%,每部芯片獎(jiǎng)勵(lì)4元，記丫為每部芯片獲得

的獎(jiǎng)勵(lì)，求E(Y)(精確到0.01).

(附：若隨機(jī)變量X?N(〃，<r)(<7>0),則Pa—KXW"+<7)=0.6827,尸”,一2<7<乂^〃+2<7)=0.9545)

考向二概率與獨(dú)立性檢驗(yàn)綜合問(wèn)題11.(2021?全國(guó)甲)甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一

級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)

品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：

一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)

甲機(jī)床15050200

乙機(jī)床12080200

合計(jì)270130400

(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？

(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？

,___________n(ad-be)?_________

依K=Q+6)(c+")(a+c)(6+")'

P(K2^k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

12.某社區(qū)管委會(huì)積極響應(yīng)正在開(kāi)展的“創(chuàng)文活動(dòng)”，特制訂了飼養(yǎng)寵物的管理規(guī)定.為了解社區(qū)住戶(hù)對(duì)這

個(gè)規(guī)定的態(tài)度(贊同與不贊同)，工作人員隨機(jī)調(diào)查了社區(qū)220戶(hù)住戶(hù)，將他們的態(tài)度和家里是否有寵

物的情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下2x2列聯(lián)表(單位：戶(hù))：

贊同規(guī)定住戶(hù)不贊同規(guī)定住戶(hù)合計(jì)

家里有寵物住戶(hù)7040110

家里沒(méi)有寵物住戶(hù)9020110

合計(jì)16060220

同時(shí)，工作人員還從上述調(diào)查的不贊同管理規(guī)定的住戶(hù)中，用分層抽樣的方法按家里有寵物、家里沒(méi)

有寵物抽取了18戶(hù)組成樣本7,進(jìn)一步研究完善飼養(yǎng)寵物的管理規(guī)定.

⑴根據(jù)上述列聯(lián)表,能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為“社區(qū)住戶(hù)對(duì)飼養(yǎng)寵物的管理規(guī)定

的態(tài)度與家里是否有寵物有關(guān)系”？

(2)工作人員在樣本T中隨機(jī)抽取6戶(hù)住戶(hù)進(jìn)行訪談，求這6戶(hù)住戶(hù)中，至少有1戶(hù)家里沒(méi)有寵物的概

率P(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示).

。n(ad-be)2_,

附："(“+/,)(c+”)(“+c)"+")’其中^+b+c+d.

Pgko)0.100.0100.001

ko2.7066.63510.828

13.為了了解市民對(duì)A,8運(yùn)營(yíng)商的5G通信服務(wù)的評(píng)價(jià)，分別從4,B運(yùn)營(yíng)商的用戶(hù)中隨機(jī)抽取100名用

戶(hù)對(duì)其進(jìn)行測(cè)評(píng)，已知測(cè)評(píng)得分在70分以上的為優(yōu)秀，測(cè)評(píng)結(jié)果如表：

A運(yùn)營(yíng)商的100名用戶(hù)的測(cè)評(píng)得分

得分[40,50](50,60](60,70](70,80](80,90](90,100]

頻率0.180.230.30.240.030.02

平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);

(2)填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為測(cè)評(píng)得分是否優(yōu)秀與運(yùn)營(yíng)商有關(guān)？

優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)

A運(yùn)營(yíng)商

B運(yùn)營(yíng)商

總計(jì)

1

…Tnfad-bc),

附：K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)^其中"

P(心力給0.1000.0500.0250.0100.001

ko2.7063.8415.0246.63510.828

14.為了響應(yīng)政府“節(jié)能減排”的號(hào)召，某知名品牌汽車(chē)廠家決定生產(chǎn)一款純電動(dòng)汽車(chē).生產(chǎn)前，廠家進(jìn)

行了人們對(duì)純電動(dòng)汽車(chē)接受程度的調(diào)查.在20?60歲的人群中隨機(jī)抽取了100人，調(diào)查數(shù)據(jù)的頻率

分布直方圖和接受純電動(dòng)汽車(chē)的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示:

年齡[20,28)[28,36)[36,44)[44,52)[52,60]

接受的人數(shù)146152817

(1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填2X2列聯(lián)表，并判斷能否有95%的把握認(rèn)為以44歲為分界點(diǎn)的不同年齡人群對(duì)

純電動(dòng)汽車(chē)的接受程度有差異？

44歲以下44歲及44歲以上總計(jì)

接受

不接受

總計(jì)

(2)若以44歲為分界點(diǎn)，從不接受“純電動(dòng)汽車(chē)”的人群中，按分層抽樣的方法抽取8人調(diào)查不接受

“純電動(dòng)汽車(chē)”的原因，現(xiàn)從這8人中隨機(jī)抽取2人.記抽到44歲以下的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X

的分布列及數(shù)學(xué)期望.

限.Ki=_____dad—bc?_____

,(a+b)(c-\-d)(a+c)(b+d)

P(K22ko)0.1000.0500.0100.001

履2.7063.8416.63510.828

15.推進(jìn)垃圾分類(lèi)處理，是落實(shí)綠色發(fā)展理念的必然選擇，也是打贏污染防治攻堅(jiān)戰(zhàn)的重要環(huán)節(jié).為了解

居民對(duì)垃圾分類(lèi)的了解程度，某社區(qū)居委會(huì)隨機(jī)抽取1000名社區(qū)居民參與問(wèn)卷測(cè)試，并將問(wèn)卷得分

繪制頻率分布表如下：

得分[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

男性人數(shù)40901201301106030

女性人數(shù)2050801101004020

(1)從該社區(qū)隨機(jī)抽取一名居民參與問(wèn)卷測(cè)試，試估計(jì)其得分不低于60分的概率；

(2)將居民對(duì)垃圾分類(lèi)的了解程度分為“比較了解”(得分不低于60分)和“不太了解”(得分低于60分)

兩類(lèi)，完成2X2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“居民對(duì)垃圾分類(lèi)的了解程度”與“性別”

有關(guān)？

單位：人

了解程度

性別合計(jì)

不太了解比較了解

男性

女性

合計(jì)

(3)從參與問(wèn)卷測(cè)試且得分不低于80分的居民中，按照性別進(jìn)行分層抽樣，共抽取10人，連同

名男性調(diào)查員一起組成3個(gè)環(huán)保宣傳隊(duì).若從這〃+10中隨機(jī)抽取3人作為隊(duì)長(zhǎng)，且男性隊(duì)長(zhǎng)人數(shù)占

的期望不小于2.求〃的最小值.

,_____n(ad—bc￥_____

附：K-=(a+〃)(c+m(a+c)S+m("="+'+'+G'

臨界值表:

P(九〉店)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

16.直播帶貨是扶貧助農(nóng)的一種新模式，這種模式是利用主流媒體的公信力，聚合銷(xiāo)售主播的力量助力打

通農(nóng)產(chǎn)品產(chǎn)銷(xiāo)鏈條，切實(shí)助力貧困地區(qū)農(nóng)民脫貧增收.某貧困地區(qū)有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，2020年該地利用

網(wǎng)絡(luò)直播形式銷(xiāo)售農(nóng)產(chǎn)品的銷(xiāo)售主播年齡等級(jí)分布如圖1所示，一周內(nèi)使用直播銷(xiāo)售的頻率分布扇形

圖如圖2所示.若將銷(xiāo)售主播按照年齡分為“年輕人”（20歲?39歲）和“非年輕人”（19歲及以下或

者40歲及以上）兩類(lèi)，將一周內(nèi)使用的次數(shù)為6次或6次以上的稱(chēng)為“經(jīng)常使用直播銷(xiāo)售用戶(hù)”，使

用次數(shù)為5次或不足5次的稱(chēng)為“不常使用直播銷(xiāo)售用戶(hù)”，則“經(jīng)常使用直播銷(xiāo)售用戶(hù)”中有|是

“年輕人”.

直播銷(xiāo)售使用頻率分布

圖2（1）現(xiàn)對(duì)該地相關(guān)居民進(jìn)行“經(jīng)常

使用網(wǎng)絡(luò)直播銷(xiāo)售與年齡關(guān)系”的調(diào)查，采用隨機(jī)抽樣的方法，抽取一個(gè)容量為200的樣本，請(qǐng)你根

據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，完成2X2列聯(lián)表，并判斷能否有85%的把握認(rèn)為經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)直播銷(xiāo)售與年齡有

關(guān)？

使用直播銷(xiāo)售情況與年齡列聯(lián)表

年輕人非年輕人總計(jì)

經(jīng)常使用直播銷(xiāo)售用戶(hù)

不常使用直播銷(xiāo)售用戶(hù)

總計(jì)

（2）某投資公司在2021年年初準(zhǔn)備將1000萬(wàn)元投資到“銷(xiāo)售該地區(qū)農(nóng)產(chǎn)品”的項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩種銷(xiāo)

售方案供選擇：

方案一：線下銷(xiāo)售.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，利用傳統(tǒng)的線下銷(xiāo)售，到年底可能獲利30%,可能虧損15%,也

可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為7缶點(diǎn)1存]

方案二：線上直播銷(xiāo)售.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，利用線上直播銷(xiāo)售，到年底可能獲利50%,可能虧損30%,

也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為小焉點(diǎn)

針對(duì)以上兩種銷(xiāo)售方案，請(qǐng)你從均值和方差的角度為投資公司選擇一個(gè)合理的方案，并說(shuō)明理由.

參考數(shù)據(jù)：獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表

尸（心泌）0.150.100.0500.0250.010

ko2.0722.7063.8415.0246.635

n(ad-bcj1

其中，K2=,n=a-\-b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

17.電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類(lèi)體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查.如

圖所示的是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖.將日均收看該體育

節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱(chēng)為“體育迷”.

迷”與性別有關(guān)?

非體育迷體育迷合計(jì)

男

女1055

合計(jì)

(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1

名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,

求X的分布列，均值E(X)和方差

----n(ad-bcf----

,丁(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.050.01

Xa3.8416.635

18.2018年3月份，上海出臺(tái)了《關(guān)于建立完善本市生活垃圾全程分類(lèi)體系的實(shí)施方案》，4月份又出臺(tái)

了《上海市生活垃圾全程分類(lèi)體系建設(shè)行動(dòng)計(jì)劃(2018?2020年)》，提出到2020年底，基本實(shí)現(xiàn)單位

生活垃圾強(qiáng)制分類(lèi)全覆蓋，居民區(qū)普遍推行生活垃圾分類(lèi)制度.為加強(qiáng)社區(qū)居民的垃圾分類(lèi)意識(shí)，推

動(dòng)社區(qū)垃圾分類(lèi)正確投放，某社區(qū)在健身廣場(chǎng)舉辦了“垃圾分類(lèi)，從我做起”生活垃圾分類(lèi)大型宣傳

活動(dòng)，號(hào)召社區(qū)居民用實(shí)際行動(dòng)為建設(shè)綠色家園貢獻(xiàn)一份力量，為此需要征集一部分垃圾分類(lèi)志愿者.

(1)為調(diào)查社區(qū)居民喜歡擔(dān)任垃圾分類(lèi)志愿者是否與性別有關(guān)，現(xiàn)隨機(jī)選取了一部分社區(qū)居民進(jìn)行調(diào)查,

其中被調(diào)查的男性居民和女性居民人數(shù)相同，男性居民中不喜歡擔(dān)任垃圾分類(lèi)志愿者占男性居民的;，

女性居民中不喜歡擔(dān)任垃圾分類(lèi)志愿者占女性居民的當(dāng)若研究得到在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.010的前

提下，認(rèn)為居民喜歡擔(dān)任垃圾分類(lèi)志愿者與性別有關(guān)，則被調(diào)查的女性居民至少多少人？(2)某垃圾站

A