高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)第9講函數(shù)的圖象學(xué)案文

PAGEPAGE12第9講函數(shù)的圖象1．利用描點(diǎn)法作函數(shù)的圖象其基本步驟是列表、描點(diǎn)、連線．首先：①確定函數(shù)的定義域；②化簡(jiǎn)函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等)．其次：列表(尤其注意特殊點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等)，描點(diǎn)，連線．2．利用圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)平移變換(2)對(duì)稱變換①y＝f(x)eq\o(→,\s\up8(關(guān)于x軸對(duì)稱))y＝－f(x)．②y＝f(x)eq\o(→,\s\up8(關(guān)于y軸對(duì)稱))y＝f(－x)．③y＝f(x)eq\o(→,\s\up8(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱))y＝－f(－x)．④y＝ax(a＞0且a≠1)eq\o(→,\s\up8(關(guān)于y＝x對(duì)稱))y＝logax(x＞0)．(3)翻折變換①y＝f(x)eq\o(→,\s\up8(保留x軸及上方圖象),\s\do8(將x軸下方圖象翻折上去))y＝|f(x)|．②y＝f(x)eq\o(→,\s\up8(保留y軸及右邊圖象，并作其),\s\do8(關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象))y＝f(|x|)．(4)伸縮變換①y＝f(x)eq\f(a＞1，橫坐標(biāo)縮短為原來的\f(1,a)倍，縱坐標(biāo)不變,0＜a＜1，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的\f(1,a)倍，縱坐標(biāo)不變)→y＝f(ax)．②y＝f(x)eq\f(a＞1，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的a倍，橫坐標(biāo)不變,0＜a＜1，縱坐標(biāo)縮短為原來的a倍，橫坐標(biāo)不變)→y＝af(x)．常用結(jié)論1．函數(shù)圖象自身的軸對(duì)稱(1)f(－x)＝f(x)?函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．(2)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝a對(duì)稱?f(a＋x)＝f(a－x)?f(x)＝f(2a－x)?f(－x)＝f(2a＋x)．(3)若函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镽，且有f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對(duì)稱．2．函數(shù)圖象自身的中心對(duì)稱(1)f(－x)＝－f(x)?函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．(2)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于(a，0)對(duì)稱?f(a＋x)＝－f(a－x)?f(x)＝－f(2a－x)?f(－x)＝－f(2a＋x)．一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，函數(shù)y＝|f(x)|與y＝f(|x|)的圖象相同．()(2)函數(shù)y＝af(x)與y＝f(ax)(a>0且a≠1)的圖象相同．()(3)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．()(4)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．()(5)將函數(shù)y＝f(－x)的圖象向右平移1個(gè)單位得到函數(shù)y＝f(－x－1)的圖象．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×二、易錯(cuò)糾偏常見誤區(qū)|(1)函數(shù)圖象的平移、伸縮法則記混出錯(cuò)；(2)不注意函數(shù)的定義域出錯(cuò)．1．設(shè)f(x)＝2－x，g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，h(x)的圖象由g(x)的圖象向右平移1個(gè)單位得到，則h(x)＝________．解析：與f(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝－log2x，再將其圖象右移1個(gè)單位得到h(x)＝－log2(x－1)的圖象．答案：－log2(x－1)2．已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)＝logeq\r(2)f(x)的定義域是________．解析：當(dāng)f(x)＞0時(shí)，函數(shù)g(x)＝logeq\r(2)f(x)有意義，由函數(shù)f(x)的圖象知滿足f(x)＞0時(shí)，x∈(2，8]．答案：(2，8]作函數(shù)的圖象(師生共研)作出下列函數(shù)的圖象．(1)y＝x2－2|x|－1.(2)y＝eq\f(x＋2,x－1).(3)y＝|log2(x＋1)|.【解】(1)先化簡(jiǎn)，再作圖，y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x<0，))圖象如圖所示．(2)因?yàn)閥＝eq\f(x＋2,x－1)＝1＋eq\f(3,x－1)，先作出y＝eq\f(3,x)的圖象，將其圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，即得y＝eq\f(x＋2,x－1)的圖象，如圖所示．(3)利用函數(shù)y＝log2x的圖象進(jìn)行平移和翻折變換，圖象如圖實(shí)線所示．eq\a\vs4\al()函數(shù)圖象的三種畫法(1)直接法：當(dāng)函數(shù)解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本函數(shù)時(shí)，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點(diǎn)直接作出．(2)轉(zhuǎn)化法：含有絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)，可脫掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來畫圖象．(3)圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、伸縮、翻折、對(duì)稱得到，可利用圖象變換作出．[提醒](1)畫函數(shù)的圖象時(shí)一定要注意定義域．(2)利用圖象變換法時(shí)要注意變換順序，對(duì)不能直接找到熟悉的基本函數(shù)的要先變形，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響．分別作出下列函數(shù)的圖象．(1)y＝|x－2|(x＋1)；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|).解：(1)當(dāng)x≥2，即x－2≥0時(shí)，y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(9,4)；當(dāng)x<2，即x－2<0時(shí)，y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(9,4).所以y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))\s\up12(2)－\f(9,4)，x≥2，,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(9,4)，x<2.,))這是分段函數(shù)，每段函數(shù)的圖象可根據(jù)二次函數(shù)圖象作出(如圖)．(2)作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的圖象，保留y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)圖象中x≥0的部分，加上y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的圖象中x>0部分關(guān)于y軸的對(duì)稱部分，即得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)的圖象，如圖中實(shí)線部分．函數(shù)圖象的識(shí)別(多維探究)角度一知式選圖方法一特殊點(diǎn)法函數(shù)f(x)＝x2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的大致圖象是()【解析】由f(0)＝－1，得函數(shù)圖象過點(diǎn)(0，－1)，可排除D；由f(－2)＝4－4＝0，f(－4)＝16－16＝0，得函數(shù)圖象過點(diǎn)(－2，0)，(－4，0)，可排除A，C．故選B．【答案】Beq\a\vs4\al()使用特殊點(diǎn)法排除一些不符合要求的錯(cuò)誤選項(xiàng)，主要注意兩點(diǎn)：一是選取的點(diǎn)要具備特殊性和代表性，能排除一些選項(xiàng)；二是可能要選取多個(gè)特殊點(diǎn)進(jìn)行排除才能得到正確答案．方法二性質(zhì)檢驗(yàn)法函數(shù)f(x)＝ln(2－|x|)的大致圖象為()【解析】由2－|x|>0，解得－2<x<2，所以函數(shù)f(x)＝ln(2－|x|)的定義域?yàn)?－2，2)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．又因?yàn)閒(－x)＝ln(2－|－x|)＝ln(2－|x|)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)＝ln(2－|x|)在定義域上為偶函數(shù)，排除C和D；當(dāng)0<x<2時(shí)，f(x)＝ln(2－x)單調(diào)遞減，排除B．故選A．【答案】Aeq\a\vs4\al()利用性質(zhì)識(shí)別函數(shù)圖象是解題的主要方法，采用的性質(zhì)主要是定義域、值域、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)局部的單調(diào)性等．當(dāng)然，對(duì)于一些更為復(fù)雜的函數(shù)圖象的判斷，還可能同特殊點(diǎn)法結(jié)合起來使用．方法三圖象變換法已知函數(shù)f(x)＝logax(0<a<1)，則函數(shù)y＝f(|x|＋1)的圖象大致為()【解析】當(dāng)x≥0時(shí)，y＝f(|x|＋1)＝f(x＋1)＝loga(x＋1)，而函數(shù)y＝loga(x＋1)的圖象可由函數(shù)y＝logax的圖象向左平移一個(gè)單位得到，又函數(shù)y＝f(|x|＋1)為偶函數(shù)，所以函數(shù)y＝f(|x|＋1)的圖象是由函數(shù)y＝loga(x＋1)，x≥0的圖象及其關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象組成的，所以A正確．【答案】Aeq\a\vs4\al()通過圖象變換識(shí)別函數(shù)圖象要掌握兩點(diǎn)：一是熟悉基本初等函數(shù)的圖象(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等圖象)；二是了解常見的一些變換形式，如平移變換、翻折變換．角度二知圖選式(圖)(1)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝eq\f(ln|x|,x) B．f(x)＝eq\f(ex,x)C．f(x)＝eq\f(1,x2)－1 D．f(x)＝x－eq\f(1,x)(2)已知f(x)＝(x－a)(x－b)(a＞b)的大致圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)＝ax＋b的大致圖象是()【解析】(1)由函數(shù)圖象可知，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，應(yīng)排除B，C．若函數(shù)為f(x)＝x－eq\f(1,x)，則x→＋∞時(shí)，f(x)→＋∞，排除D，故選A．(2)由函數(shù)f(x)的大致圖象可知3＜a＜4，－1＜b＜0，所以g(x)的圖象是由y＝ax(3＜a＜4)的圖象向下平移－b(0＜－b＜1)個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，其大致圖象應(yīng)為選項(xiàng)A中的圖象，故選A．【答案】(1)A(2)Aeq\a\vs4\al()對(duì)于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域(最值)、單調(diào)性、奇偶性、周期性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系，常用的方法有：(1)定性分析法：通過對(duì)問題進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢(shì)，利用這一特征分析解決問題．(2)定量計(jì)算法：通過定量的計(jì)算來分析解決問題．(3)函數(shù)模型法：由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型分析解決問題．角度三由實(shí)際問題的變化過程探究函數(shù)圖象廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互糾在一起，因而被習(xí)稱為“陰陽魚太極圖”．如圖，是由一個(gè)半徑為2的大圓和兩個(gè)半徑為1的半圓組成的“陰陽魚太極圖”，圓心分別為O，O1，O2，若一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，按路線A→O→B→C→A→D→B運(yùn)動(dòng)(其中A，O，O1，O2，B五點(diǎn)共線)，設(shè)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，y＝|O1P|2，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝f(x)，則y＝f(x)的大致圖象為()【解析】根據(jù)題圖中信息，可將x分為4個(gè)區(qū)間，即[0，π)，[π，2π)，[2π，4π)，[4π，6π]，當(dāng)x∈[0，π)時(shí)，函數(shù)值不變，y＝f(x)＝1；當(dāng)x∈[π，2π)時(shí)，設(shè)eq\o(O2P,\s\up6(→))與eq\o(O2O1,\s\up6(→))的夾角為θ，因?yàn)閨eq\o(O2P,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(O2O1,\s\up6(→))|＝2，θ＝x－π，所以y＝(eq\o(O2P,\s\up6(→))－eq\o(O2O1,\s\up6(→)))2＝5－4cosθ＝5＋4cosx，所以y＝f(x)的圖象是曲線，且單調(diào)遞增；當(dāng)x∈[2π，4π)時(shí)，eq\o(O1P,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OO1,\s\up6(→))，設(shè)eq\o(OP,\s\up6(→))與eq\o(OO1,\s\up6(→))的夾角為α，|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(OO1,\s\up6(→))|＝1，α＝2π－eq\f(1,2)x，所以y＝|O1P|2＝(eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OO1,\s\up6(→)))2＝5－4cosα＝5－4coseq\f(x,2)，函數(shù)y＝f(x)的圖象是曲線，且單調(diào)遞減．【答案】Aeq\a\vs4\al()實(shí)際背景下的函數(shù)圖象識(shí)辨在實(shí)際背景中，判定兩個(gè)量構(gòu)成的函數(shù)圖象時(shí)，在優(yōu)先明確定義域后，一是直接求得解析式(定量分析)進(jìn)行識(shí)辨．二是估計(jì)函數(shù)值的變化趨勢(shì)判斷圖象走勢(shì)(定性分析)作出判斷．1．(2020·高考浙江卷)函數(shù)y＝xcosx＋sinx在區(qū)間[－π，π]上的圖象可能是()解析：選A．令f(x)＝xcosx＋sinx，所以f(－x)＝(－x)cos(－x)＋sin(－x)＝－xcosx－sinx＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，排除C，D，又f(π)＝－π<0，排除B，故選A．2．(2020·貴陽四校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))ln|x|的圖象的大致形狀為()解析：選D．方法一：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))lnx，且當(dāng)0<x<1時(shí)，x＋eq\f(1,x)>0，lnx<0，f(x)<0，故排除B，C；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))ln(－x)，且當(dāng)－1<x<0時(shí)，x＋eq\f(1,x)<0，ln(－x)<0，f(x)>0，故排除A．故選D．方法二：因?yàn)閒(－x)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－x＋\f(1,（－x）)))ln|－x|＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))ln|x|＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除A，B；又當(dāng)x＝2時(shí)，f(2)＝eq\f(5,2)ln2>0，故排除C．故選D．3.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的解析式可能是()A．f(x)＝x2－2ln|x| B．f(x)＝x2－ln|x|C．f(x)＝|x|－2ln|x| D．f(x)＝|x|－ln|x|解析：選B．由函數(shù)圖象可得，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且x＞0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)性為先減后增，最小值為正，極小值點(diǎn)小于1，分別對(duì)選項(xiàng)中各個(gè)函數(shù)求導(dǎo)，并求其導(dǎo)函數(shù)等于0的正根，可分別得1，eq\f(\r(2),2)，2，1，由此可得僅函數(shù)f(x)＝x2－ln|x|符合條件．故選B．4．如圖，四個(gè)容器高度都相同，將水從容器頂部一個(gè)孔中以相同的速度注入其中，注滿為止．用下面對(duì)應(yīng)的圖象表示該容器中水面的高度h和時(shí)間t之間的關(guān)系，其中不正確的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選A．將水從容器頂部一個(gè)孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和時(shí)間t之間的關(guān)系可以從高度隨時(shí)間的變化率上反映出來．①中應(yīng)該是勻速的，故下面的圖象不正確；②中的變化率應(yīng)該是越來越慢的，正確；③中的變化率是先快后慢再快，正確；④中的變化率是先慢后快再慢，也正確，故只有①是錯(cuò)誤的．函數(shù)圖象的應(yīng)用(多維探究)角度一研究函數(shù)的性質(zhì)已知函數(shù)f(x)＝x|x|－2x，則下列結(jié)論正確的是()A．f(x)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是(0，＋∞)B．f(x)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(－∞，1)C．f(x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(－1，1)D．f(x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(－∞，0)【解析】將函數(shù)f(x)＝x|x|－2x去掉絕對(duì)值得f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0，))畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，觀察圖象可知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(－1，1)上單調(diào)遞減．【答案】Ceq\a\vs4\al()一般根據(jù)圖象觀察函數(shù)性質(zhì)有以下幾方面：一是觀察函數(shù)圖象是否連續(xù)以及最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，確定定義域、值域；二是函數(shù)圖象是否關(guān)于原點(diǎn)或y軸對(duì)稱，確定函數(shù)是否具有奇偶性；三是根據(jù)圖象上升與下降的情況，確定單調(diào)性．角度二解不等式函數(shù)f(x)是周期為4的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)＝x－1，則不等式xf(x)>0在(－1，3)上的解集為()A．(1，3) B．(－1，1)C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1)【解析】作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．當(dāng)x∈(－1，0)時(shí)，由xf(x)>0得x∈(－1，0)；當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，由xf(x)>0得x∈?；當(dāng)x∈(1，3)時(shí)，由xf(x)>0得x∈(1，3)．所以x∈(－1，0)∪(1，3)．【答案】Ceq\a\vs4\al()利用函數(shù)的圖象研究不等式的思路當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關(guān)時(shí)，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的上下關(guān)系問題或函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合法求解．角度三求參數(shù)的值或取值范圍設(shè)函數(shù)f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，對(duì)于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【解析】如圖作出函數(shù)f(x)＝|x＋a|與g(x)＝x－1的圖象，觀察圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)－a≤1，即a≥－1時(shí)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范圍是[－1，＋∞)．【答案】[－1，＋∞)eq\a\vs4\al()當(dāng)參數(shù)的不等關(guān)系不易找出時(shí)，可將函數(shù)(或方程)等價(jià)轉(zhuǎn)化為方便作圖的兩個(gè)函數(shù)，再根據(jù)題設(shè)條件和圖象確定參數(shù)的取值范圍．1．對(duì)于函數(shù)f(x)＝lg(|x|＋1)，給出如下三個(gè)命題：①f(x