導(dǎo)數(shù)中恒成立問題

導(dǎo)數(shù)中恒成立問題1.函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得對任意，恒成立?假設(shè)不存在，請說明理由，假設(shè)存在，求出的值并加以證明．〔1〕時(shí)，，，，又所以切線方程為〔2〕1°當(dāng)時(shí)，，那么令，，再令，當(dāng)時(shí)，∴在上遞減，∴當(dāng)時(shí)，，∴，所以在上遞增，，所以2°時(shí)，，那么由1°知當(dāng)時(shí)，在上遞增當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，∴∴；由1°及2°得：2.函數(shù)〔1〕求曲線處的切線方程；〔2〕當(dāng)a<0時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔3〕當(dāng)a>0時(shí)，假設(shè)不等式恒成立，求a的取值范圍。解：〔1〕∴曲線處的切線方程為即〔2〕令當(dāng)令上為減函數(shù)，在上增函數(shù)。當(dāng)在R上恒成立。上為減函數(shù)。當(dāng)令在上為增函數(shù)。綜上，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為。當(dāng)當(dāng)單調(diào)遞減區(qū)間為〔〕，〔〕〔3〕a>0時(shí)，列表得：1〔1，+〕+0－0+↗極大值↘極小值↗又從而，當(dāng)由題意，不等式恒成立，所以得從而a的取值范圍為3.函數(shù)，〔1〕當(dāng)時(shí)，判斷在定義域上的單調(diào)性；〔2〕假設(shè)在上的最小值為，求的值；〔3〕假設(shè)在上恒成立，求的取值范圍解：〔1〕由題意：的定義域?yàn)椋遥?，故在上是單調(diào)遞增函數(shù)．〔2〕由〔1〕可知：①假設(shè)，那么，即在上恒成立，此時(shí)在上為增函數(shù)，〔舍去〕．②假設(shè)，那么，即在上恒成立，此時(shí)在上為減函數(shù)，〔舍去〕．③假設(shè)，令得，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，綜上可知：．〔3〕．又令，在上是減函數(shù)，，即，在上也是減函數(shù)，．令得，∴當(dāng)在恒成立時(shí)，4.函數(shù)．〔１〕求的單調(diào)區(qū)間；〔２〕假設(shè)不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值組成的集合．解：〔１〕由得．因?yàn)?，所以?dāng)．故區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間，區(qū)間為的單調(diào)遞增區(qū)間．〔２〕①當(dāng)時(shí)，．令，那么．由〔１〕知當(dāng)時(shí)，有，所以，即得在上為增函數(shù)，所以，所以．②當(dāng)時(shí)，．由①可知，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以，所以．綜合以上得．故實(shí)數(shù)的取值組成的集合為5.函數(shù)〔I〕假設(shè)函數(shù)的值；〔II〕設(shè)的取值范圍解：〔I〕處的切線互相平行〔II〕 令當(dāng)是單調(diào)增函數(shù)。恒成立，值滿足以下不等式組①，或② 不等式組①的解集為空集，解不等式組②得綜上所述，滿足條件的6.函數(shù)其中為常數(shù)，且函數(shù)和的圖像在其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處的切線互相平行．〔1〕求函數(shù)的解析式；〔2〕假設(shè)關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：〔1〕，的圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，的圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為由題意得即，又〔2〕由題意當(dāng)時(shí)，令令當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增。由在上恒成立，得當(dāng)時(shí)，可得單調(diào)遞增。由在上恒成立，得綜上，可知7.設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2－a2x+m(a>0).〔1〕求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；〔2〕假設(shè)函數(shù)f(x)在x∈[－1，1]內(nèi)沒有極值點(diǎn)，求a的取值范圍；〔3〕假設(shè)對任意的a∈[3,6]，不等式f(x)≤1在x∈[－2,2]上恒成立，求m取值范圍解：〔1〕∵f′(x)=3x2+2ax－a2=3(x－)(x+a),又a>0，∴當(dāng)x<－a或x>時(shí)f′(x)>0；當(dāng)－a<x<時(shí)，f′(x)<0.∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為〔－∞，－a〕，(，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－a，).〔2〕由題設(shè)可知，方程f′(x)=3x2+2ax－a2=0在[－1，1]上沒有實(shí)根∴，解得a>3.〔3〕∵a∈[3,6]，∴由〔Ⅰ〕知∈[1，2]，－a≤－3又x∈[－2,2]∴f(x)max=max{f(－2),f(2)}而f(2)－f(－2)=16－4a2<0∴f(x)max=f(－2)=－8+4a+2a2+m又∵f(x)≤1在[－2，2]上恒成立∴f(x)max≤1即－8+4a+2a2+m≤1即m≤9－4a－2a2,在a∈[3，6]上恒成立∵9－4a－2a2的最小值為－87∴m≤－87.8．函數(shù)〔1〕求函數(shù)的最大值；〔2〕設(shè)，求在上的最大值；(3)試證明：對，不等式恒成立．解：〔１〕∵令得顯然是上方程的解令，，那么∴函數(shù)在上單調(diào)∴是方程的唯一解∵當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減∴當(dāng)時(shí)函數(shù)有最大值〔２〕由〔１〕知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減故①當(dāng)即時(shí)在上單調(diào)遞增∴＝②當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減∴＝③當(dāng)，即時(shí)〔３〕由〔１〕知當(dāng)時(shí)，∴在上恒有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“＝〞成立∴對任意的恒有∵∴即對，不等式恒成立．9．函數(shù)為大于零的常數(shù)?！?〕假設(shè)函數(shù)內(nèi)調(diào)遞增，求a的取值范圍；〔2〕求函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的最小值?！?〕求證：對于任意的成立解：〔1〕由，得上恒成立，即上恒成立 又當(dāng)〔2〕當(dāng)時(shí)，在〔1，2〕上恒成立，