第九節(jié) 圓錐曲線的綜合問題

圓錐曲線的綜合問題掌握與圓錐曲線有關(guān)的最值、定值、參數(shù)范圍等問題．[理要點(diǎn)]一、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，通常是將直線方程與曲線方程聯(lián)立，消去變量y(或x)得變量x(或y)的方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．假設(shè)a≠0，可考慮一元二次方程的判別式Δ，有：Δ>0?直線與圓錐曲線；Δ＝0?直線與圓錐曲線；Δ<0?直線與圓錐曲線．假設(shè)a＝0，那么直線與圓錐曲線相交，且有一個(gè)交點(diǎn)．相交相切相離二、圓錐曲線的弦長問題設(shè)直線l與圓錐曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么弦長|AB|＝或.[究疑點(diǎn)]1．由直線與圓錐曲線的位置關(guān)系知，直線與雙曲線有

且只有一個(gè)交點(diǎn)的充要條件是什么？拋物線呢？2．過拋物線外一點(diǎn)有多少條直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)？假設(shè)點(diǎn)在拋物線內(nèi)呢？提示：假設(shè)點(diǎn)在外有三條(兩條切線一條平行于對(duì)稱軸)，假設(shè)點(diǎn)在內(nèi)有一條(平行于對(duì)稱軸)．答案：

A解析：由于直線y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1過定點(diǎn)(1,1)，(1,1)在橢圓內(nèi)，故直線與橢圓必相交．答案：

D[歸納領(lǐng)悟]判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)只需聯(lián)立消元，消元后要注意方程的二次項(xiàng)系數(shù)是否含參數(shù)，假設(shè)含參數(shù)需討論，同時(shí)充分利用根與系數(shù)的關(guān)系求出x1＋x2，x1x2后進(jìn)行整體運(yùn)算變形．[題組自測]1．直線l與拋物線y2＝8x交于A、B兩點(diǎn)，且l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(8,8)，那么線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是________.[題組自測]1．拋物線y＝－x2上的點(diǎn)到直線4x＋3y－8＝0的距離的最

小值是__________．此題中第2問條件假設(shè)變?yōu)椤凹僭O(shè)直線l：y＝kx＋m(k≠0)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)B、C且線段BC的垂直平分線恒過點(diǎn)A(0，－1)〞，求m的范圍．[歸納領(lǐng)悟]1．求參數(shù)范圍的方法據(jù)條件建立等式或不等式的函數(shù)關(guān)系，再求參數(shù)范圍．2．求最值問題的方法(1)幾何法題目中給出的條件有明顯的幾何特征，那么考慮用圖象來解決．(2)代數(shù)法題目中給出的條件和結(jié)論幾何特征不明顯那么可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，求最值的常見方法是根本不等式法，單調(diào)性法等．[歸納領(lǐng)悟]1．求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從

而得到定值．2．定點(diǎn)的探索與證明問題(1)探索直線過定點(diǎn)時(shí)，可設(shè)出直線方程為y＝kx＋b，然后

利用條件建立b、k等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于直線系的

思想找出定點(diǎn)．(2)從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無關(guān)．一、把脈考情從近兩年的高考試題來看，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，弦長、中點(diǎn)弦、最值范圍、定點(diǎn)定值的探索與證明，考查的知識(shí)點(diǎn)多，能力要求高，尤其是運(yùn)算變形能力，同時(shí)考查學(xué)生的分析問題與解決綜合問題的能力，是高考的熱點(diǎn)問題，難度較大．考查形式以解答題為主，注重考查函數(shù)與方程轉(zhuǎn)化與化歸，分類討論等思想方法，預(yù)測2021年仍為命題的重點(diǎn)，要加強(qiáng)訓(xùn)練.2．(2021·福建高考)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2,3)，且點(diǎn)F(2,0)為其右焦點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在平行于