2019高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)突破-基本初等函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)學(xué)案

對(duì)數(shù)函數(shù)【考點(diǎn)梳理】1．對(duì)數(shù)的觀點(diǎn)假如ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，此中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．2．對(duì)數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì)(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)．logcb換底公式：logab＝logca(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：假如a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(M·N)＝logaMlogaN；Mn②logaN＝logaM－logaN，③logaM＝nlogaM(n∈R)．3．對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)定義函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)a＞10＜a＜1圖象定義域：(0，＋∞)值域：R性質(zhì)當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即過定點(diǎn)(1,0)當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，y＞0當(dāng)x＞1時(shí)，y＜0在(0，＋∞)上為增函數(shù)在(0，＋∞)上為減函數(shù)4．反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝x(＞0且≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝loga(＞0且≠1)互為反函數(shù)，它們的aaaxaa圖象對(duì)于直線y＝x對(duì)稱．【考點(diǎn)打破】考點(diǎn)一、對(duì)數(shù)的運(yùn)算【例1】計(jì)算：1＋lg2·lg5－lg2·lg50－log35·log259·lg5＝( )A．1B．0C．2D．4[答案]B1lg52lg3[分析]原式＝1＋lg2·lg5－lg2(1＋lg5)－lg3·2lg5·lg5＝1＋lg2·lg5－lg2－lg2·lg5－lg5＝1－(lg2＋lg5)＝1－lg10＝1－1＝0.【類題通法】解決對(duì)數(shù)運(yùn)算問題的常用方法將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進(jìn)行化簡(jiǎn)．將同底對(duì)數(shù)的和、差、倍歸并．利用換底公式將不一樣底的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)變成同底的對(duì)數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用．(4)利用常用對(duì)數(shù)中的lg2＋lg5＝1.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25＝________.[答案]2[分析]原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.考點(diǎn)二、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例2】(1)函數(shù)f(x)＝lg(|x|－1)的大概圖象是( )(2)當(dāng)x∈(1，2)時(shí)，不等式(x－1)2<logx恒建立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．a(chǎn)[答案](1)B(2)(1，2][分析](1)法一：易知函數(shù)f(x)＝lg(|x|－1)的定義域?yàn)?－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域?yàn)镽.又當(dāng)x>1時(shí)，函數(shù)f(x)單一遞加，因此只有選項(xiàng)B正確．法二：函數(shù)f(x)＝lg(|x|－1)的圖象可由函數(shù)y＝lgx的圖象向右平移1個(gè)單位，然后再對(duì)于y軸對(duì)稱獲得．由y＝lgx的圖象可知選B.(2)設(shè)f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使當(dāng)x∈(1，2)時(shí)，不等式(x－1)2<logax恒成立，只要f1(x)＝(x－1)2在(1，2)上的圖象在f2(x)＝logax圖象的下方即可．當(dāng)0<<1時(shí)，明顯不建立；a當(dāng)a>1時(shí)，如圖，要使x∈(1，2)時(shí)f(x)＝(x－1)2的圖象在f(x)＝logx的圖象下方，12a只要f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，又即loga2≥1，因此1<≤2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍a是(1，2]．2【類題通法】1．在辨別函數(shù)圖象時(shí)，要擅長(zhǎng)利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特別點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)清除不切合要求的選項(xiàng)．2．一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄳?yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形聯(lián)合法求解．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．若函數(shù)y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域?yàn)閧y|y≥1}，則函數(shù)y＝loga|x|的圖象大概是( )ABCD[答案]B[分析]若函數(shù)y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域?yàn)閧y|y≥1}，則a＞1，故函數(shù)y＝loga|x|的大概圖象如下圖．log2x，x＞0，且對(duì)于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個(gè)實(shí)2．已知函數(shù)f(x)＝x3，≤0，x根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．[答案](1，＋∞)[分析]如圖，在同一坐標(biāo)系中分別作出y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象，此中a表示直線在y軸上截距，由圖可知，當(dāng)a＞1時(shí)，直線y＝－x＋a與y＝log2x只有一個(gè)交點(diǎn)．考點(diǎn)三、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用1【例3】已知x＝lnπ，y＝log21，z＝e2，則x，y，z的大小關(guān)系為( )3A．x<y<zB．z<x<yC．z<y<xD．y<z<x3[答案]D11111[分析]∵x＝ln2＝π>lne，∴x>1.∵y＝log2<log21，∴y<0.∵z＝e>＝，3e421<z<1.綜上可得，y<z<x.2【類題通法】對(duì)數(shù)函數(shù)值大小比較的方法單一性法在同底的狀況下直接獲得大小關(guān)系，若不一樣底，先化為同底中間量找尋中間數(shù)聯(lián)系要比較的兩個(gè)數(shù)，一般是用“0”，“1”或其余特別值進(jìn)過渡法行“比較傳達(dá)”圖象法依據(jù)圖象察看得出大小關(guān)系【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】已知a＝log3＋log23，b＝log9－log23，c＝log32，則a，b，c的大小關(guān)系是()22A．a(chǎn)＝b＜cB．a(chǎn)＝b＞cC．＜＜cD．＞＞cabab[答案]B[分析]由于a＝log3＋log23＝log233＝2log3＞1，b＝log9－log23＝log3323222a，c＝log32＜log33＝1，因此a＝b＞c.【例4】若loga(a2＋1)<loga2a<0，則a的取值范圍是()1A．(0，1)B．0，21C．2，1D．(0，1)∪(1，＋∞)[答案]C[分析]由題意得a>0且≠1，故必有2＋1>2a，又loga(2＋1)<loga2<0，因此0<<1，aaaaa1a∈1同時(shí)2a>1，∴a>.綜上，，1.22【類題通法】簡(jiǎn)單對(duì)數(shù)不等式問題的求解策略(1)解決簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)不等式，應(yīng)先利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)的對(duì)數(shù)值，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單一性轉(zhuǎn)變?yōu)橐话悴坏仁角蠼猓?2)對(duì)數(shù)函數(shù)的單一性和底數(shù)a的值相關(guān)，在研究對(duì)數(shù)函數(shù)的單一性時(shí)，要按0<a<1和a>1進(jìn)行分類議論．4某些對(duì)數(shù)不等式可轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄳?yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形聯(lián)合法求解．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】3若loga＜1(a＞0，且a≠1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )43B．(1，＋∞)A．0，433C．0，∪(1，＋∞)D．，144[答案]C[分析]當(dāng)0＜a＜1時(shí)，log3344aa3當(dāng)a＞1時(shí)，loga＜logaa＝1，∴a＞1.4即實(shí)數(shù)a的取值范圍是30，4∪(1，＋∞)．fxx2axaxxa【例5】若函數(shù)(a－＋5)(>0且≠1)知足對(duì)隨意的1，2，當(dāng)1<2≤時(shí)，axx2f(x2)－f(x1)<0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．[答案](1，25)[分析]1<x2a21)<0，即函數(shù)f(x)在區(qū)間－∞，a當(dāng)x≤2時(shí)，f(x)－f(x2上為減函數(shù)，設(shè)>1，ag(x)＝x2－ax＋5，則a解得1<a<25，因此實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1，25).2>0，【類題通法】與對(duì)數(shù)相關(guān)的單一性問題的解題策略求出函數(shù)的定義域．(2)判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的關(guān)系，當(dāng)?shù)讛?shù)是含字母的代數(shù)式(包括單唯一個(gè)字母)時(shí)，要考察其單一性，就一定對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類議論．判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單一性，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單調(diào)性．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】已知