構(gòu)造法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

構(gòu)造法解數(shù)學(xué)問(wèn)題省實(shí)驗(yàn)中學(xué)王磊

長(zhǎng)期以來(lái)，人們對(duì)構(gòu)造進(jìn)行教學(xué)與探討，那么什么是構(gòu)造法呢？對(duì)于某些問(wèn)題，條件與結(jié)論距離較遠(yuǎn)的問(wèn)題，直接推理優(yōu)勢(shì)不能順利進(jìn)行，因而要尋找某種中介工具溝通條件和結(jié)論的關(guān)系。而這個(gè)中介工具往往含在題設(shè)的條件中，要我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)，去構(gòu)造，這種通過(guò)構(gòu)造題目本身所沒有的解題中介工具，去實(shí)現(xiàn)解題的方法為構(gòu)造法。構(gòu)造法是一種重要的思想方法。它體現(xiàn)了類比、劃歸、猜想、試驗(yàn)等思想；構(gòu)造法的內(nèi)涵豐富，使用時(shí)并不像數(shù)學(xué)公式一樣存在一個(gè)固定的模式可以套用，要針對(duì)具體的問(wèn)題特點(diǎn)采用相應(yīng)的方法；解決命題p遇到阻礙時(shí),可以跳過(guò)思維定勢(shì),設(shè)想構(gòu)造一個(gè)與命題p相關(guān)的新命題q,通過(guò)對(duì)命題q的研究達(dá)到解決命題p的目的,這種處理問(wèn)題的方法稱之為構(gòu)造法。構(gòu)造法是一種精巧的數(shù)學(xué)方法,其策略具有非常規(guī)性,方法帶有試探性,思維富有創(chuàng)造性。因此,構(gòu)造法解題是數(shù)學(xué)中最富有活力的思想方法之一,而且具有還原、分解、簡(jiǎn)化及數(shù)形轉(zhuǎn)化功能.在解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們常會(huì)采用這樣的方法：通過(guò)對(duì)條件和結(jié)論充分細(xì)致的分析，抓住問(wèn)題的特征，聯(lián)想熟知的數(shù)學(xué)模型，然后變換命題，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助元素，它可以是一個(gè)圖形，一個(gè)函數(shù)，一個(gè)方程，一個(gè)等價(jià)命題等等，以此架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問(wèn)題得以解決，這種解題的數(shù)學(xué)方法，我們稱之為構(gòu)造法。運(yùn)用構(gòu)造法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學(xué)知識(shí)互相滲透，有利于問(wèn)題的解決。構(gòu)造法作為一種數(shù)學(xué)方法，不同于一般的邏輯方法，它屬于非常規(guī)思維。其方法是：對(duì)某些用常規(guī)方法不易解決的問(wèn)題，依據(jù)題設(shè)條件的特點(diǎn)，用已知條件中的元素去構(gòu)造新的對(duì)應(yīng)關(guān)系或新的數(shù)學(xué)模型，從而使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。在解題過(guò)程中，若按習(xí)慣定勢(shì)思維去探求解題途徑比較困難時(shí)，可以啟發(fā)學(xué)生根據(jù)題目特點(diǎn)，展開豐富的聯(lián)想拓寬自己思維范圍，運(yùn)用構(gòu)造法來(lái)解題也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造意識(shí)和創(chuàng)新思維的手段之一，同時(shí)對(duì)提高學(xué)生的解題能力也有所幫助。運(yùn)用構(gòu)造法解題，關(guān)鍵在于尋找到合理的數(shù)學(xué)模型，一旦運(yùn)用成功，它所呈現(xiàn)的是問(wèn)題的本質(zhì)規(guī)律和數(shù)學(xué)的內(nèi)在美，往往給人耳目一新的感覺。歷史上有不少著名的數(shù)學(xué)家，如歐幾里得、歐拉、高斯、拉格朗日等人，都曾經(jīng)用“構(gòu)造法”成功地解決過(guò)數(shù)學(xué)上的難題。數(shù)學(xué)是一門創(chuàng)造性的藝術(shù)，蘊(yùn)含著豐富的美,而靈活、巧妙的構(gòu)造令人拍手叫絕，能為數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決增添色彩，更具研究和欣賞價(jià)值。近幾年來(lái)，構(gòu)造法及其應(yīng)用又逐漸為數(shù)學(xué)教育界所重視，在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中有著一定的地位。用構(gòu)造法解題，常使數(shù)學(xué)解題由難變易，它無(wú)一定之規(guī)，沒有通用的構(gòu)造法則。運(yùn)用構(gòu)造法解題對(duì)于培養(yǎng)思維的敏捷性和創(chuàng)造性，具有重要的意義。下面通過(guò)幾個(gè)實(shí)例說(shuō)明構(gòu)造法的應(yīng)用。1．構(gòu)造函數(shù)法例1、已知x>0，求證：【巧證】：構(gòu)造函數(shù)則，設(shè)2≤<由顯然∵2≤<∴>0,1>0,>0∴上式>0∴f(x)在上單調(diào)遞增，∴左邊例2、求證：【巧證】：設(shè)則用定義法可證：f(t)在上單調(diào)遞增令：3≤t1<t2則∴2．構(gòu)造方程法：例3、已知實(shí)數(shù)a,b,c，滿足a+b+c=0和abc=2，求證：a,b,c中至少有一個(gè)不小于2?！厩勺C】：由題設(shè)：顯然a,b,c中必有一個(gè)正數(shù)，不妨設(shè)a>0，則即b,c是二次方程的兩個(gè)實(shí)根?！嗉矗篴≥2例4、求證：【巧證】：設(shè)則：(y1)tan2+(y+1)tan+(y1)=0當(dāng)y=1時(shí)，命題顯然成立當(dāng)y1時(shí)，△=(y+1)24(y1)2=(3y1)(y3)≥0∴綜上所述，原式成立。（此法也稱判別式法）3．構(gòu)造圖形法：例5、已知0<a<1，0<b<1，求證：

ABCDOABCDO1bba1O到AD,AB的距離為a,b，則|AO|+|BO|+|CO|+|DO|≥|AC|+|BD|其中，

又：∴在解題教學(xué)時(shí)，若能啟發(fā)學(xué)生從多角度，多渠道進(jìn)行廣泛的聯(lián)想則能得到許多構(gòu)思巧妙，新穎獨(dú)特，簡(jiǎn)捷有效的解題方法而且還能加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，培養(yǎng)思維的靈活性，提高學(xué)生分析問(wèn)題的創(chuàng)新能力?！皹?gòu)造法”作為一種重要