2022-2023學年四川省安岳縣周禮中學高二年級上冊學期期末測數學（理）試題【含答案】

2022-2023學年四川省安岳縣周禮中學高二上學期期末測數學（理）試題一、單選題1．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由三視圖判斷該幾何體是有三條棱兩兩垂直是三棱錐，結合三視圖的數據可得結果.【詳解】由三視圖可得該幾何體是如圖所示的三棱錐，其中AB，BC，BP兩兩垂直，且，則和的面積都是1，的面積為2，在中，，則的面積為，所以該幾何體的表面積為，故選：B.【點睛】三視圖問題是考查學生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據正視圖和側視圖，確定組合體的形狀.2．已知圓和，則兩圓的位置關系是（

）A．內切 B．相交 C．外切 D．外離【答案】C【分析】根據題意，由圓的方程求出兩個圓的圓心和半徑，求出圓心距，由圓與圓的位置關系分析可得答案.【詳解】由題意，知圓的圓心，半徑.圓的方程可化為，則其圓心，半徑.因為兩圓的圓心距，故兩圓外切.故選：C.3．用斜二測畫法畫水平放置的的直觀圖，得到如圖所示的等腰直角三角形.已知點是斜邊的中點，且，則的邊邊上的高為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】在直觀圖中∥軸，可知原圖形中∥軸，故,,求直觀圖中的長即可求解.【詳解】∵直觀圖是等腰直角三角形，，∴，根據直觀圖中平行于軸的長度變?yōu)樵瓉淼囊话?∴△的邊上的高.故選D.【點睛】本題主要考查了斜二測直觀圖的畫法，屬于中檔題.4．已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據已知條件可得出關于實數的不等式組，由此可解得實數的取值范圍.【詳解】因為方程表示焦點在軸上的橢圓，則，解得.故選：D.5．如圖，某圓錐的軸截面是等邊三角形，點是底面圓周上的一點，且，點是的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標系，分別得到，然后根據空間向量夾角公式計算即可.【詳解】以過點且垂直于平面的直線為軸，直線，分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨設，則根據題意可得，，，，所以，，設異面直線與所成角為，則.故選：C.6．鱉臑（biēnào）是我國古代對四個面均為直角三角形的三棱錐的稱呼．已知三棱錐A-BCD是一個鱉臑，其中AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB＝6，BC＝3，DC＝2，則三棱錐A-BCD的外接球的體積是（

）A． B． C．49π D．【答案】D【解析】將三棱錐A-BCD可放在長方體中確定直徑AD，計算即得結果.【詳解】依題意，三棱錐A-BCD可放在長方體中，如圖所示易得三棱錐A-BCD的外接球的直徑為AD，則，故三棱錐A-BCD的外接球的半徑，所以．故選：D.【點睛】求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補形法：側面為直角三角形，或正四面體，或對棱二面角均相等的模型，可以還原到正方體或長方體中去求解；②利用球的性質：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據帶其他頂點距離也是半徑，列關系求解即可.7．如圖，已知圓柱底面圓的半徑為，高為2，AB，CD分別是兩底面的直徑，AD，BC是母線.若一只小蟲從A點出發(fā)，從側面爬行到C點則小蟲爬行路線的最短長度是（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】展開圓柱側面，根據兩點間直線距離最短求得正確結論.【詳解】展開圓柱的側面如圖所示，由圖可知小蟲爬行路線的最短長度是.故選：B8．若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】確定曲線是半圓（右半圓），直線過定點，求出直線過點時的斜率，再求得直線與半圓相切時的斜率，由圖形可得的范圍．【詳解】直線恒過定點，曲線表示以點為圓心，半徑為1，且位于直線右側的半圓（包括點，．如圖，作出半圓，當直線經過點時，與曲線有兩個不同的交點，此時，直線記為；當與半圓相切時，由，得，切線記為．由圖形可知當時，與曲線有兩個不同的交點，故選：A．9．若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先確定雙曲線漸近線方程，結合圓的方程可確定兩漸近線截圓所得弦長相等；利用垂徑定理可構造方程求得的值，進而根據離心率可求得結果.【詳解】由雙曲線方程得：漸近線方程為；由圓的方程知：圓心為，半徑；與圖象關于軸對稱，圓的圖象關于軸對稱，兩條漸近線截圓所得弦長相等，不妨取，即，則圓心到直線距離，弦長為，解得：，雙曲線離心率.故選：C.10．已知拋物線：的焦點為,是C上一點，，則（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【分析】解方程即得解.【詳解】解：由題得拋物線的準線方程為，則有，即有，解得．故選：A11．設l是直線，，是兩個不同的平面（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】B【分析】結合空間中直線、平面的位置關系可逐一判斷選項中空間中直線、平面的位置關系是否正確.【詳解】若，，則，可能平行也可能相交，故A錯誤；，，則存在，，則，故，故B正確；若，，則或，故C錯誤；若，，則l與相交、平行或，故D錯誤.故選：B.12．已知三棱錐中，，且、、兩兩垂直，是三棱錐外接球面上一動點，則到平面的距離的最大值是A． B． C． D．【答案】C【分析】是棱長為1的正方體上具有公共頂點的三條棱,以為原點,分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系,三棱錐外接球就是正方體的外接球，由正方體及球的幾何性質可得點與重合時，點到平面的距離最大，求出平面的法向量，由點到直線的距離公式即可得結果.【詳解】三棱錐，滿足兩兩垂直，且，如圖是棱長為1的正方體上具有公共頂點的三條棱,以為原點,分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系,則，，設平面的法向量，則，取，得，三棱錐外接球就是棱長為1的正方體的外接球，是三棱錐外接球上一動點，由正方體與球的幾何性質可得，點點與重合時，點到平面的距離最大，點到平面的距離的最大值為.故選C.【點睛】求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.二、填空題13．若雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程___________.【答案】【分析】根據離心率得出，結合得出關系，即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】解：由題可知，離心率，即，又，即，則，故此雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.14．過點(，－)，且與橢圓有相同焦點的橢圓的標準方程為_______．【答案】【分析】由題設條件設出橢圓方程，再列出關于a2與b2的方程組即可作答.【詳解】所求橢圓與橢圓的焦點相同，則其焦點在y軸上，半焦距c有c2=25-9=16，設它的標準方程為(a＞b＞0)，于是得a2-b2=16，又點(，－)在所求橢圓上，即，聯立兩個方程得，即，解得b2=4，則a2=20，所以所求橢圓的標準方程為.故答案為：15．一動圓與圓外切，同時與圓內切，則動圓圓心的軌跡方程為___________.【答案】【分析】先根據兩圓位置關系得動圓圓心到兩已知圓心距離和為定值，再由橢圓的定義求解，【詳解】圓的圓心為，，圓的圓心為，，設動圓的圓心為，半徑為，由題意得，，則，，由橢圓定義得的軌跡方程為，故答案為：16．已知是拋物線的焦點，是上的兩個點，線段AB的中點為，則的面積等于_______．【答案】2【詳解】設過M的直線方程為，由∴，，由題意，于是直線方程為，，∴，焦點F（1，0）到直線的距離∴的面積是2三、解答題17．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，是的中點，平面，且，.(1)求與平面所成角的正弦；(2)求點到平面的距離.【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，進而求出與平面所成角的正弦；（2）先求出平面的法向量，再利用點到平面距離的向量求法即可求解.【詳解】（1）解：由題意，底面是矩形，平面可得：、、兩兩垂直所以以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，，是的中點，，，，，，設平面的法向量則，令，即設與平面所成角為，則（2）解：由（1）知，，，，設平面的法向量為，則，令，即設點到面的距離為，則18．如圖，的外接圓的直徑垂直于圓所在的平面，.(1)求證：平面平面；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）先證明出平面，利用面面垂直的判定定理可以證明；（2）以為原點，直線為軸，直線為軸，直線為軸建立空間直角坐標系，用向量法求解.【詳解】（1）的外接圓的直徑.又因為平面，平面，所以.又平面，平面，平面，又平面平面平面.（2）以為原點，直線為軸，直線為軸，直線為軸建立空間直角坐標系，則.設設平面的法向量為則，不妨令，則.設平面的法向量為，同理可求.由圖可知，平面與平面夾角不是鈍角.因為，所以平面與平面夾角的余弦值為.19．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，△PAB為等邊三角形，平面PAB⊥底面ABCD，E為AD的中點.(1)求證：CE⊥PD；(2)在線段BD（不包括端點）上是否存在點F，使直線AP與平面PEF所成角的正弦值為，若存在，確定點F的位置；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，點為靠近點的三等分點，即；【分析】（1）取的中點，連結，取的中點，連結，利用面面垂直的性質定理證明，，兩兩垂直，然后建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標和兩條直線的方向向量的坐標，由向量垂直的坐標表示進行分析證明即可；（2）設，則，即可得到的坐標，表示出平面的法向量，利用空間向量方程得到方程，解得即可；【詳解】（1）證明：取的中點，連結，因為，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，所以底面，取的中點，連結，則，，兩兩垂直，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系如圖所示，設，則，所以，則，故，所以；（2）解：由（1）可知，，所以，，設，則，所以，設平面的法向量為，則，即，令，則，故，所以，整理可得，解得，所以在上存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，此時點為靠近點的三等分點，即．20．已知圓C：，直線l：.(1)當a為何值時，直線l與圓C相切；(2)當直線l與圓C相交于A，B兩點，且|AB|=時，求直線l的方程.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）由題設可得圓心為，半徑，根據直線與圓的相切關系，結合點線距離公式列方程求參數a的值即可.（2）根據圓中弦長、半徑與弦心距的幾何關系列方程求參數a，即可得直線方程.【詳解】（1）由圓：，可得，其圓心為，半徑，若直線與圓相切，則圓心到直線距離，即，可得：.（2）由（1）知：圓心到直線的距離，因為，即，解得：，所以，整理得：，解得：或，則直線為或.21．已知拋物線，拋物線C上橫坐標為1的點到焦點F的距離為3．（1）求拋物線C的方程及其準線方程；（2）過的直線l交拋物線C于不同的兩點A，B，交直線于點E，直線BF交直線于點D，是否存在這樣的直線l，使得？若不存在，請說明理由；若存在，求出直線l的方程．【答案】（1）拋物線C的方程為，準線方程為；（2）存在直線或．【分析】（1）根據拋物線的定義即可求得拋物線的標準方程以及準線飛航程.（2）設出直線的方程，聯立直線的方程和拋物線的方程，消去后根據判別式大于零求得的取值范圍，寫出韋達定理.結合得到直線與直線的斜率相等，由此列方程，解方程求得的值，也即求得直線的方程.【詳解】（1）因為橫坐標為的點到焦點的距離為,所以,解得,所以，即準線方程為.（2）顯然直線的斜率存在,設直線的方程為,.聯立得，消去得.由,解得.所以且.由韋達定理得,.直線的方程為,又,所以,所以,因為,所以直線與直線的斜率相等又,所以.整理得,即,化簡得,,即.所以,整理得,解得.經檢驗,符合題意.所以存在這樣的直線,直線的方程為或．22．已知橢圓：的一個頂點為，焦距為．(1