邏輯函數(shù)的卡諾圖表示及卡諾圖化簡(jiǎn)法

關(guān)于邏輯函數(shù)的卡諾圖表示及卡諾圖化簡(jiǎn)法第1頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六

§1.６.3邏輯函數(shù)卡諾圖化簡(jiǎn)法一、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示1．相鄰最小項(xiàng)的概念

如果兩個(gè)最小項(xiàng)中只有一個(gè)變量互為反變量，其余變量均相同，則稱這兩個(gè)最小項(xiàng)為邏輯相鄰，簡(jiǎn)稱相鄰項(xiàng)。例如，最小項(xiàng)ABC和就是相鄰最小項(xiàng)。

若兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)出現(xiàn)在同一個(gè)邏輯函數(shù)中，可以合并為一項(xiàng)，同時(shí)消去互為反變量的那個(gè)變量。如2.用卡諾圖表示最小項(xiàng)

變量有個(gè)最小項(xiàng)，用一個(gè)小方格代表一個(gè)最小項(xiàng)，變量的全部最小項(xiàng)就與個(gè)小方格對(duì)應(yīng)。第2頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六小方格的排列

美國(guó)工程師卡諾（Karnaugh）將邏輯上相鄰的最小項(xiàng)幾何上也相鄰地排列起來

卡諾圖（K-map）。如三變量Ａ、Ｂ、Ｃ有８?jìng)€(gè)最小項(xiàng)，對(duì)應(yīng)８?jìng)€(gè)小方格ＡＡＢＢＣＣＣ原變量和反變量各占圖形的一半這樣排列，才能使邏輯上相鄰的最小項(xiàng)幾何上也相鄰地表現(xiàn)出來。第3頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六2、圖形法化簡(jiǎn)函數(shù)卡諾圖（K圖）圖中的一小格對(duì)應(yīng)真值表中的一行，即對(duì)應(yīng)一個(gè)最小項(xiàng)，又稱真值圖AB00011011m0m1m2m3AABBABBAABABAB1010m0m1m2m3miABC01000111100001111000011110m0m1m2m3m4m5m6m7m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11ABCD二變量K圖三變量K圖四變量K圖第4頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六（2）三變量卡諾圖(b)（1）二變量卡諾圖(b)卡諾圖結(jié)構(gòu)“1”原變量；“0”反變量；

“mi”

最小項(xiàng)第5頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六（3）四變量卡諾圖(b)仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，卡諾圖實(shí)際上是按格雷碼排列，具有很強(qiáng)的相鄰性：第6頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六4、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)解：該函數(shù)為三變量，先畫出三變量卡諾圖，然后根據(jù)真值表將8個(gè)最小項(xiàng)L的取值0或者1填入卡諾圖中對(duì)應(yīng)的8個(gè)小方格中即可。（1）從真值表到卡諾圖例1

某邏輯函數(shù)的真值表如下，用卡諾圖表示該邏輯函數(shù)。第7頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六例1:圖中給出輸入變量A、B、C的真值表，填寫函數(shù)的卡諾圖ABCF00000101001110010111011100111000ABC010001111011100000010111001110邏輯函數(shù)的卡諾圖表示第8頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六（2）從邏輯表達(dá)式到卡諾圖解：寫成簡(jiǎn)化形式：

然后填入卡諾圖：

如果表達(dá)式為最小項(xiàng)表達(dá)式，則可直接填入卡諾圖。

例2

用卡諾圖表示邏輯函數(shù):第9頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六例3

畫出的卡諾圖

解:直接填入ABCD00011110000111100010001000110111ABCD0001111000011110第10頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六例：將F(A、B、C、D)化為最簡(jiǎn)與非—與非式。解：0100011110001110CDABAB111111BCD11ACDABC11AC1111m14,m15兩次填10000邏輯函數(shù)的卡諾圖表示第11頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六（1）2個(gè)相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合，２項(xiàng)可以而合并為１項(xiàng)，并消去1個(gè)不同的變量。1．卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的原理

:具有相鄰性的最小項(xiàng)可以合并，并消去不同的因子，合并的結(jié)果為這些項(xiàng)的公因子．（2）4個(gè)相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合，４項(xiàng)可以而合并為１項(xiàng)，并消去2個(gè)不同的變量。

（3）8個(gè)相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合，８項(xiàng)可以而合并為１項(xiàng)，并消去3個(gè)不同的變量。二、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法

總之，個(gè)相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合，項(xiàng)可以而合并為１項(xiàng)，可以消去n個(gè)不同的變量。第12頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六

2n項(xiàng)相鄰，并組成一個(gè)矩形組，2n項(xiàng)可以而合并為１項(xiàng)，消去n個(gè)因子，合并的結(jié)果為這些項(xiàng)的公因子。

化簡(jiǎn)依據(jù)第13頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六利用卡諾圖化簡(jiǎn)的規(guī)則相鄰單元格的個(gè)數(shù)必須是2n個(gè)，并組成矩形組時(shí)才可以合并。ABCD0001111000011110ADABCD0001111000011110第14頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六2．用卡諾圖合并最小項(xiàng)的原則（圈“１”的原則）

（1）圈能大則大；（并項(xiàng)多，消變量多）但每個(gè)圈內(nèi)只能含有2n（n=0,1,2,3……）個(gè)相鄰項(xiàng)。（2）圈數(shù)能少則少；（與或式中乘積項(xiàng)少）（3）不能漏圈；卡諾圖中所有取值為1的方格均要被圈過，即不能漏下取值為1的最小項(xiàng)。（4）可重復(fù)圈。但在新畫的包圍圈中至少要含有1個(gè)末被圈過的1方格，否則該包圍圈是多余的。第15頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六

（1）畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖。（2）合并相鄰的最小項(xiàng)，即根據(jù)前述原則圈“１”。（3）寫出化簡(jiǎn)后的表達(dá)式。每一個(gè)圈寫一個(gè)最簡(jiǎn)與項(xiàng)，規(guī)則是，取值為１的變量用原變量表示，取值為0的變量用反變量表示，將這些變量相與。然后將所有與項(xiàng)進(jìn)行邏輯加，即得最簡(jiǎn)與—或表達(dá)式。3．用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的步驟：第16頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六例：將F(A、B、C、D)解：0100011110001110CDAB111111111111ACADBCBDABC化簡(jiǎn)得：圖形法化簡(jiǎn)函數(shù)第17頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六例：圖中給出輸入變量A、B、C的真值表，填寫函數(shù)的卡諾圖ABCF00000101001110010111011100111000ABC010001111011100000ABABCF=ABC+AB得：圖形法化簡(jiǎn)函數(shù)第18頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六利用卡諾圖化簡(jiǎn)ABC0001111001該方框中邏輯函數(shù)的取值與變量A無關(guān)，當(dāng)B=1、C=1時(shí)取“1”。例1：第19頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六ABC0001111001ABBCF=AB+BC化簡(jiǎn)過程：卡諾圖適用于輸入變量為3、4個(gè)的邏輯代數(shù)式的化簡(jiǎn)；化簡(jiǎn)過程比公式法簡(jiǎn)單直觀。第20頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六例3：用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯代數(shù)式

首先：邏輯代數(shù)式卡諾圖

CAB01000111101110000AB1第21頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六例2：化簡(jiǎn)F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)ABCD0001111000011110A第22頁，共24頁，2023年，2月20日，星