上海交大杜秀華老師《現代控制理論》第6章 穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

第六章穩(wěn)定性與李雅普諾夫（Lyapunov）方法6.1概述研究平衡狀態(tài)及其穩(wěn)定性介紹兩類解決穩(wěn)定性問題的方法，即Lyapunov第一法和Lyapunov第二法第一法通過求解微分方程的解來分析運動穩(wěn)定性，即通過分析非線性系統(tǒng)線性化方程特征值分布來判別原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性；第二法則是一種定性方法，它無需求解的非線性微分方程，通過構造一個Lyapunov函數，研究它的正定性及其對時間的沿系統(tǒng)方程解的全導數的負定或半負定，來得到穩(wěn)定性的結論。一般我們所說的Lyapunov方法就是指Lyapunov第二法。雖然在非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中，Lyapunov穩(wěn)定性理論具有基礎性的地位，但在具體確定許多非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，需要技巧和經驗。6.2Lyapunov意義下的穩(wěn)定性問題一、 平衡狀態(tài)、給定運動與擾動方程之原點考慮如下非線性系統(tǒng)x=f(x,t) (6.1)式中x為"維狀態(tài)向量，f(x,t)是變量xx2，…，x和t的12nn維向量函數。假設在給定初始條件下，式(6.1)有唯一解e(t；x0,10)，且當t=t0時，x=x0。于是①(t;x,t)=x0000在式(6.1)的系統(tǒng)中，總存在f(x,t)三0,對所有t (6.2)e則稱x為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)或平衡點。如果系統(tǒng)是線性定常e的，也就是說f(x,t)= 則當A為非奇異矩陣時，系統(tǒng)存在一個唯一的平衡狀態(tài)xe=0；當A為奇異矩陣時，系e統(tǒng)將存在無窮多個平衡狀態(tài)。對于非線性系統(tǒng)，則有一個或多個平衡狀態(tài)，這些狀態(tài)對應于系統(tǒng)的常值解(對所有t,總存在x=x)。平衡狀態(tài)的確定不包括式(6.1)的系統(tǒng)e微分方程的解，只涉及式（6.2）的解。任意一個孤立的平衡狀態(tài)（即彼此孤立的平衡狀態(tài)）或給定運動X=0（t）都可通過坐標變換，統(tǒng)一化為擾動方程X=7（X,t）之坐標原點，即f（O，t）=0或x=0。在本章中，e除非特別申明，我們將僅討論擾動方程關于原點處之平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性問題。這種所謂“原點穩(wěn)定性問題”，由于使問題得到極大簡化，又不會喪失一般性，從而為穩(wěn)定性理論的建立奠定了堅實的基礎。二、 Lyapunov意義下的穩(wěn)定性定義定義6.1設系統(tǒng)X=f（x,t），f（xe,t）三0之平衡狀態(tài)x=0的H鄰域為eIX-XJ|H其中，H>0，I-1為向量的2范數或歐幾里德范數，即IX—Xe||=［（X1—X1e）2+（X2—X2e）2+…+（X-訃皿類似地，也可以相應定義球域S（￡）和S（5）o在H鄰域內，若對于任意給定的0<c<H，均有⑴如果對應于每一個SG），存在一個S（），使得當t趨于無窮時，始于S（8）的軌跡不脫離S@），則系統(tǒng)之平衡狀態(tài)x=0稱為在Lyapunov意義下是穩(wěn)定的。一般地，實e數§與￡有關，通常也與t0有關。如果8與t0無關，則稱此時之平衡狀態(tài)x=0為一致穩(wěn)定的平衡狀態(tài)e以上定義意味著：首先選擇一個球域S(￡),對應于每一個S@),必存在一個球域S(8),使得當t趨于無窮時，始于S(8)的軌跡總不脫離球域S⑹。如果平衡狀態(tài)x=0，在Lyapunov意義下是穩(wěn)定e的，并且始于域S(8)的任一條軌跡，當時間t趨于無窮時，都不脫離S(e)，且收斂于x=0，則稱系統(tǒng)之平衡狀態(tài)ex=0為漸近穩(wěn)定的，其中球域S(8)被稱為平衡狀態(tài)ex=0的吸引域e類似地，如果8與t無關，則稱此時之平衡狀態(tài)x=00e為一致漸近穩(wěn)定的。實際上，漸近穩(wěn)定性比Lyapunov意義下的穩(wěn)定性更重要?？紤]到非線性系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性是一個局部概念，所以簡單地確定漸近穩(wěn)定性并不意味著系統(tǒng)能正常工作。通常有必要確定漸近穩(wěn)定性的最大范圍或吸引域。它是發(fā)生漸近穩(wěn)定軌跡的那部分狀態(tài)空間。換句話說，發(fā)生于吸引域內的每一個軌跡都是漸近穩(wěn)定的。對所有的狀態(tài)(狀態(tài)空間中的所有點)，如果由這些狀態(tài)出發(fā)的軌跡都保持漸近穩(wěn)定性，則平衡狀態(tài)x=0e稱為大范圍漸近穩(wěn)定?；蛘哒f，如果系統(tǒng)之平衡狀態(tài)兀=0e漸近穩(wěn)定的吸引域為整個狀態(tài)空間，則稱此時系統(tǒng)的平衡狀態(tài)x=0為大范圍漸近穩(wěn)定的。顯然，大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件是在整個狀態(tài)空間中只有一個平衡狀態(tài)。在控制工程問題中，總希望系統(tǒng)具有大范圍漸近穩(wěn)定的特性。如果平衡狀態(tài)不是大范圍漸近穩(wěn)定的，那么問題就轉化為確定漸近穩(wěn)定的最大范圍或吸引域，這通常非常困難。然而，對所有的實際問題，如能確定一個足夠大的漸近穩(wěn)定的吸引域，以致擾動不會超過它就可以了。如果對于某個實數￡>0和任一個實數5>0，不管這兩個實數多么小，在S(5)內總存在一個狀態(tài)x。，使得始于這一狀態(tài)的軌跡最終會脫離開S(￡),那么平衡狀態(tài)x=0稱為不穩(wěn)定的。e圖6?1(a)、(b)和(c)分別表示平衡狀態(tài)及對應于穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性的典型軌跡。在圖6.1(a)、(b)和(c)中，球域S(5)制約著初始狀態(tài)x0，而球域S@)是起始于x0的軌跡的邊界。注意，由于上述定義不能詳細地說明可容許初始條件的精確吸引域，因而除非S(5)對應于整個狀態(tài)平面，否則這些定義只能應用于平衡狀態(tài)的鄰域。此外，在圖6.1(c)中，軌跡離開了S(e)，這說明平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。然而卻不能說明軌跡將趨于無窮遠處，這是因為軌跡還可能趨于在S@)外的某個極限環(huán)(如果線性定常系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，則在不穩(wěn)定平衡狀態(tài)附近出發(fā)的軌跡將趨于無窮遠。但在非線性系統(tǒng)中，這一結論并不一定正確)。圖6?1(a)穩(wěn)定平衡狀態(tài)及一條典型軌跡；(b)漸近穩(wěn)定平衡狀態(tài)及一條典型軌跡；(c)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)及一條典型軌跡上述各定義的內容，對于理解本章介紹的線性和非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，是最低限度的要求。注意，這些定義不是確定平衡狀態(tài)穩(wěn)定性概念的唯一方法。實際上，在其它文獻中還有另外的定義。對于線性系統(tǒng)，漸近穩(wěn)定等價于大范圍漸近穩(wěn)定。但對于非線性系統(tǒng)，一般只考慮吸引區(qū)為有限范圍的漸近穩(wěn)定。最后指出，在經典控制理論中，我們已經學過穩(wěn)定性概念，它與Lyapunov意義下的穩(wěn)定性概念是有一定的區(qū)別的。例如，在經典控制理論中只有漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)才稱為是穩(wěn)定的系統(tǒng)，而僅在Lyapunov意義下是穩(wěn)定的，但卻不是漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)，則被稱之為不穩(wěn)定系統(tǒng)。兩者的區(qū)別與聯系如下表所示經典控制理論(線性系統(tǒng))不穩(wěn)定(Re(s)>0)臨界情況(Re(s)=0)穩(wěn)定(Re(s)<0)Lyapunov意義下不穩(wěn)定穩(wěn)定漸近穩(wěn)定表6.1線性系統(tǒng)穩(wěn)定性概念與Lyapunov意義下的穩(wěn)定性概念三、 預備知識1、純量函數的正定性如果對所有在域Q中的非零狀態(tài)x豐0，有V(x)>0,且在x二0處有V(0)=0,則在域。(域Q包含狀態(tài)空間的原點)內的純量函數V(x)稱為正定函數如果時變函數V(x,t)由一個定常的正定函數作為下限，即存在一個正定函數V(x)，使得V(x,t)>V(x), 對所有t>t0V(0,t)=0, 對所有t>t0則稱時變函數V(x,t)在域Q(Q包含狀態(tài)空間原點)內是正定的。2、純量函數的負定性如果-V(x)是正定函數，則純量函數V(x)稱為負定函數。3、 純量函數的正半定形如果純量函數V(x)除了原點以及某些狀態(tài)等于零外，在域。內的所有狀態(tài)都是正定的，則V(x)稱為正半定純量函數。4、 純量函數的負半定性如果-V(x)是正半定函數，則純量函數V(x)稱為負半定函數。5、 純量函數的不定性如果在域。內，不論域。多么小，V(x)既可為正值，也可為負值時，則純量函數V(x)稱為不定的純量函數。［例］本例給出按照以上分類的幾種純量函數，這里假設x為二維向量。1、 V(x)=x2+2x2正定的122、 V(x)=(xi+x2)2正半定的3、 V(x)=-x2-(3xi+2x2)2負定的4、V(x)=X1x2+x2不定的5、5、2x2V(x)=x?+呢正定的6、二次型建立在Lyapunov第二法基礎上的穩(wěn)定性分析中，有一類純量函數起著很重要的作用，即二次型函數。例如，V(x)=xTV(x)=xTPX=[xi xxn]p11p12p12

p22p1np2n注意，這里的x為實向量，P為實對稱矩陣7、復二次型或Hermite型如果x是"維復向量，P為Hermite矩陣，則該復二次型函數稱為Hermite型函數。例如^11 比…Pin~x1V(x)=xHPx=[xx?…x]P\2 P22 …P2n???x2?12n? ? ?? ? ???p p ?…p1n 2n nnxn在基于狀態(tài)空間的穩(wěn)定性分析中，經常使用Hermite型，而不使用二次型，這是因為Hermite型比二次型更具一般性(對于實向量X和實對稱矩陣P，Hermite型xHPx等于二次型xTPx)。二次型或者Hermite型V(x)的正定性可用賽爾維斯特準則判斷。該準則指出，二次型或Hermite型V(x)為正定P「11p12…ppP「>0， 11p%>0，…，P「12?p22?…pii p「12P^22????P1nPn…p的充要條件是矩陣P的所有主子行列式均為正值，即>0nn注意，氣?是杓的復共軛。對于二次型，pj=Pj如果P是奇異矩陣，且它的所有主子行列式均非負則V(x)=xHPx是正半定的。如果-V(x)是正定的，則V(x)是負定的。同樣，如果-V(x)是正半定的，則V(x)是負半定的。［例］試證明下列二次型是正定的。V(x)=10x2+4x2+x2+2xix2-2x2x3-4xix3［解］二次型V(x)可寫為V(x)=10xV(x)=10x2+4x2+x2+2xx一2xx1231V(x)=xTPx=[xxx]1232101一2214

一1-4xx13x1x2x33一2一11利用賽爾維斯特準則，可得因為矩陣P因為矩陣P的所有主子行列式均為正值正定的。所以V(x)是101-2101>0,14一114一2一1110>0,>06.3Lyapunov穩(wěn)定性理論1892年，A?M?Lyapunov提出了兩種方法(稱為第一法和第二法)，用于確定由常微分方程描述的動力學系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第一法包括了利用微分方程顯式解進行系統(tǒng)分析的所有步驟，也稱為間接法。第二法不需求出微分方程的解，也就是說，采用Lyapunov第二法，可以在不求出狀態(tài)方程解的條件下，確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于求解非線性系統(tǒng)和線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程通常十分困難，因此這種方法顯示出極大的優(yōu)越性。第二法也稱為直接法。盡管采用Lyapunov第二法分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，需要相當的經驗和技巧，然而當其它方法無效時，這種方法卻能解決非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。一、Lyapunov第一法基本思路是：首先將非線性系統(tǒng)線性化，然后計算線性化方程的特征值，最后根據線性化方程的特征值判定原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x=f（x,t）,f（（xe,t）三0或寫成Xi=f（Xl，X2,…,Xn，'），'=1,2,…,n將非線性函數fi（?）在平衡狀態(tài)x=0處附近展成Taylor級數，則有f（x,x，…，x,t）=f+fix+-了ix+…i12，，n i0 “1 212+2fix+f（x,x，…，x,t）n八1，2，，n丿n式中f.0為常數，a￡捋xj為一次項系數，且I—f（齊,x2,…,xn，t）I—i1 2n由于f（0,0,…,0,t）=fi0三0，故線性化方程為

x=Ax其中Af=5fl6x~afAf=5fl6x~afnnax1axafnn6x26x6faxn6xn^nxn為Jacobian矩陣。線性化方程（忽略高階小量），是一種十分重要且廣泛使用的近似分析方法。這是因為，在工程技術中，很多系統(tǒng)實質上都是非線性的，而非線性系統(tǒng)求解十分困難，所以經常使用線性化系統(tǒng)近似它。然而這樣做是否正確？我們知道，線性（化）系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)具有根本的區(qū)別，如非線性系統(tǒng)才會出現自振、突變、自組織、混沌等，因此一般說來，關于線性化系統(tǒng)的解和有關結論是不能隨意推廣到原來的非線性的?，F在我們把問題的范圍縮小，只考慮兀=0的穩(wěn)定性問題，并提e出在什么條件下，可用線性化系統(tǒng)代替原非線性系統(tǒng)？Lyapunov證明了三個定理，給出了明確的結論。應該指出，這些定理為線性化方法奠定了理論基礎，從而具有重要的理論與實際意義。定理6.1(Lyapunov)如果線性化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A的所有特征值都具有負實部，則原非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)x=0總是漸近穩(wěn)定的，而且系統(tǒng)的穩(wěn)定性與高階導數項e無關。定理6.2(Lyapunov)如果線性化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A的特征值中，至少有一個具有正實部，則不論高階導數項的情況如何，原非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)x=0總是不穩(wěn)定的。e定理6.3(Lyapunov)如果線性化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A有實部為零的特征值，而其余特征值實部均為負，則在此臨界情況下，原非線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)x=0的穩(wěn)定性決定于高e階導數項，即可能不穩(wěn)定，也可能穩(wěn)定。此時不能再用線性化方程來表征原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性了。上述三個定理也稱為Lyapunov第一近似定理。這些定理為“線性化”提供了重要的理論基礎，即對任一非線性系統(tǒng)，若其線性化系統(tǒng)關于平衡狀態(tài)x0漸近穩(wěn)定或不e穩(wěn)定，則原非線性系統(tǒng)也有同樣的結論。但對臨界情況，則必需考慮高階導數項。二、Lyapunov第二法由力學經典理論可知，對于一個振動系統(tǒng)，當系統(tǒng)總能量（正定函數）連續(xù)減?。ㄟ@意味著總能量對時間的導數為負定），直到平衡狀態(tài)時為止，則此振動系統(tǒng)是穩(wěn)定的。Lyapunov第二法是建立在更為普遍意義的基礎上的，即如果系統(tǒng)有一個漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，則當其運動到平衡狀態(tài)的吸引域內時，系統(tǒng)存儲的能量隨著時間的增長而衰減，直到在平穩(wěn)狀態(tài)達到極小值為止。然而對于一些純數學系統(tǒng)，畢竟還沒有一個定義“能量函數”的簡便方法為了克服這個困難，Lyapunov定義了一個虛構的能量函數，稱為Lyapunov函數。當然，這個函數無疑比能量更為一般，且其應用也更廣泛。實際上，任一純量函數只要滿足Lyapunov穩(wěn)定性定理（見定理6.4和6.5）的假設條件都可作為Lyapunov函數（其構造可能十分困難）。Lyapunov函數與x,x，…，x和t有關，我們用12nV(叫，x2，…，x,t)或者V(x,t)來表示Lyapunov函數。如果12n在Lyapunov函數中不含t,則用V(x,x，…，x)或V(x)表12n示。在Lyapunov第二法中，V(x,t)和其對時間的全導數U(x,t)二dV(x,t)/dt的符號特征，提供了判斷平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性或不穩(wěn)定性的準則。這種間接方法擊lxk\hZA亠41-Ab.bL 幺-4-Q 胡1、關于漸近穩(wěn)定性可以證明：如果x為"維向量，且其純量函數V(x)正定，則滿足V(x)=C的狀態(tài)x處于"維狀態(tài)空間的封閉超曲面上，且至少處于原點附近，這里C為正常數。此時，隨著xT8，上述封閉曲面可擴展為整個狀態(tài)空間。如果C<c2，則超曲面V(x)=C］完全處于超曲面V(x)=C2的內部。對于給定的系統(tǒng)，若可求得正定的純量函數V(x)，并使其沿軌跡對時間的全導數總為負定，則隨著時間的增加，V(x)將取越來越小的C值。隨著時間的進一步增長，最終V(x)變?yōu)榱?，而x也趨于零。這意味著，狀態(tài)空間的原點是漸近穩(wěn)定的。Lyapunov主穩(wěn)定性定理就是前述事實的普遍化，它給出了漸近穩(wěn)定的充分條件。定理6.4考慮如下非線性系統(tǒng)x(t)=f(^(t),t)式中f(0,t)三0,對所有t>t0如果存在一個具有連續(xù)一階偏導數的純量函數V(x,t)，且滿足以下條件：1、 V(x,t)正定;2、 ”(x,t)負定則在原點處的平衡狀態(tài)是(一致)漸近穩(wěn)定的。進一步地，若|兀|T8，V(x,t)TS(徑向無窮大)，則在原點處的平衡狀態(tài)x=0是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。e［例］考慮如下非線性系統(tǒng)x=x-x(x2+x2)12112x=-x-x(x2+x2)21212顯然原點(x〔=0，x2=0)是唯一的平衡狀態(tài)。試確定其穩(wěn)定性。［解］如果定義一個正定純量函數V(x)是負定的，這說明V(x)沿任一軌跡連續(xù)地減小，因此V(x)是一個Lyapunov函數。由于V(x)隨著|刑T8而變?yōu)闊o窮，則由定理6.4，該系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。注意，如使V(x)取一系列的常值0,JC2,…(0<q<C2<…)，則V(x)=0對應于狀態(tài)平面的原點，而V而V(x)=C］，V(x)=C2，…，描述了包圍狀態(tài)平面原點的互不相交的一簇圓，如圖6.2所示。還應注意，由于V(x)是徑向無窮大的，即隨著ixiT8，V(x)T8，所以這一簇圓可擴展到整個狀態(tài)平面。由于圓V(x)=Ck完全處在V(x)=Ck+］的內部，所以典型軌跡從外向里穿過各V圓。從而Lyapunov函數V(x)的幾何意義之一，可解釋為狀態(tài)x到狀態(tài)空間原點x=0之e間距離的一種度量。如果原點與瞬時狀態(tài)x(t)之間的距離隨t的增加而連續(xù)地減小，即"(x(t))<0，則x(t)T0。U增大圖6.2常數V圓和典型軌跡定理6.4是Lyapunov第二法的基本定理，下面對這一重要定理作如下幾點說明。這里僅給出了充分條件，也就是說，如果我們構造出了Lyapunov函數V(x,t,那么系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。但如果我們找不到這樣的Lyapunov函數，我們并不能給出任何結論，例如我們不能據此說該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對于漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，則Lyapunov函數必存在。對于非線性系統(tǒng)，通過構造某個具體的Lyapunov函數，可以證明系統(tǒng)在某個穩(wěn)定域內是漸近穩(wěn)定的，但這并不意味著穩(wěn)定域外的運動是不穩(wěn)定的。對于線性系統(tǒng)，如果存在漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，則它必定是大范圍漸近穩(wěn)定的。我們這里給出的穩(wěn)定性定理，既適合于線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)，也適合于定常系統(tǒng)、時變系統(tǒng)，具有極其一般的普遍意義。顯然，定理6.4仍有一些限制條件，比如卩(x,t必須是負定函數。如果在U(x,t)上附加一個限制條件，即除了原點以外，沿任一軌跡卩(x,t)均不恒等于零，則要求“(x,t)負定的條件可用"(x,t)取負半定的條件來代替。定理6.5考慮如下非線性系統(tǒng)x(t)=f(:K(t),t)式中f(0,t)三0,對所有t>t0若存在具有連續(xù)一階偏導數的純量函數V(x,t)，且滿足以下條件：1、 V(x,t)是正定的；2、 V(x,t)是負半定的；3、 V[?(t;x0,10),t]對于任意t0和任意x0圭0,在t>t0時，不恒等于零，這里，?(t;x0,10)表示在t0時從x°出發(fā)的軌跡或解4.當|xTg時有V(x)T8則在系統(tǒng)原點處的平衡狀態(tài)x=0是大范圍漸近穩(wěn)定的。e注意，若^(X,/)不是負定的，而只是負半定的，則典型點的軌跡可能與某個特定曲面V(x,t)=C相切，然而由于叩(t;X0,10),t]對任意t0和任意X豐0，在t>t0時不恒等于零，所以典型點就不可能保持在切點處(在這點上，卩(x,t)=0)，因而必然要運動到原點。例給定連續(xù)時間的定常系統(tǒng)X2=-X1-(1+X2)2X2判定其穩(wěn)定性。解:系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為X]=0,x2=0?，F取V(x)=X2+x2且有：V(x)=X2+X2為正定；%)J?V%1內丐丄X2」=bx2xj1 2[—X1-(1+X2)2X2」=—2x2(1+X)222可以看出，除以下情況(a)x任意，x2=0(b)兀]任意，X=-1時V(x)二0以外，均有卩＜0。"(x)為半負定。(iii)檢查是否卩(。(t；x,0)豐0?？疾?a):&(t;x°，0)二[X