高中數(shù)學第三章指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)4.1-4.2對數(shù)及其運算換底公式課件北師大版必修

對數(shù)的概念1.對數(shù)的概念一般地,如果a(a>0,a≠1)的b次冪等于N,即ab=N,那么數(shù)b叫作以①

a

為底N的

對數(shù),記作②

logaN=b

,其中a叫作對數(shù)的③底數(shù)

,N叫作④真數(shù)

.2.概念的理解(1)負數(shù)和零沒有對數(shù).(2)特殊值:1的對數(shù)是0,即loga1=0(a>0,且a≠1);底數(shù)的對數(shù)是1,即logaa=1(a>0,且a

≠1).§4對數(shù)4.1對數(shù)及其運算4.2換底公式名稱定義記法常用對數(shù)以⑤10

為底的對數(shù)叫作常用對數(shù)⑥

lgN

自然對數(shù)以無理數(shù)e=2.71828…為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)⑦

lnN

3.常用對數(shù)與自然對數(shù)4.對數(shù)式與指數(shù)式的關系(1)當a>0,且a≠1時,ax=N?⑧

x=logaN

.(2)對數(shù)恒等式:

=N;logaaN=N.(a>0,且a≠1)

對數(shù)的運算性質如果a>0,a≠1,M>0,N>0,則(1)loga(MN)=⑨

logaM+logaN

;(2)loga

=⑩

logaM-logaN

;(3)logaMn=

nlogaM

(n∈R).

對數(shù)的換底公式及其推論1.換底公式logbN=

(a,b>0,a,b≠1,N>0).2.推論lo

Nn=

logbN,logbN=

(N,b大于零且不等于1).

判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“?”.1.細胞個數(shù)b與分裂次數(shù)a滿足b=2a,則a=log2b.

(√)2.以e為底的對數(shù)叫作自然對數(shù).

(√)3.loga(xy)=logax·logay(a>0,且a≠1).

(

?)當x>0,y>0時,根據(jù)對數(shù)的運算性質可知,loga(xy)=logax+logay,所以結論錯誤.4.因為(-2)2=4,所以2=log(-2)4.

(

?)因為在x=logaN中,對數(shù)的底數(shù)a應滿足a>0且a≠1,所以結論錯誤.5.logx2=

(x>0,且x≠1).

(√)由對數(shù)的換底公式得logx2=

=

(x>0,且x≠1),故結論正確.6.使對數(shù)log2(-2a+1)有意義的a的取值范圍是

.

(√)要使對數(shù)log2(-2a+1)有意義,必須使-2a+1>0,解得a<

,故結論正確.

對數(shù)的概念及其應用1.對數(shù)概念的實質是指數(shù)式與對數(shù)式的互化:2.對數(shù)式中求值的基本思想和方法:(1)基本思想:在一定條件下求對數(shù)的值或求對數(shù)式中參數(shù)的值,要注意利用方程

思想求解.(2)基本方法:①將對數(shù)式化為指數(shù)式,構建方程轉化為指數(shù)問題.②利用冪的運算性質和指數(shù)的性質計算.求下列各式中x的取值范圍.(1)lg(x-10);(2)log(x-1)(x+2);(3)log(x+1)(x-1)2.思路點撥由對數(shù)式的真數(shù)和底數(shù)的限制條件列不等式(組)

解不等式(組)

得出x的取值范圍.解析(1)由題意得x-10>0,解得x>10.(2)由題意得

解得

∴x>1且x≠2.(3)由題意得

解得x>-1且x≠0,x≠1.求下列各式中x的值:(1)log64x=-

;(2)logx8=6;(3)log2(log5x)=0;(4)

=2.思路點撥考慮利用對數(shù)性質

將對數(shù)式化為指數(shù)式

進行化簡求值.解析(1)將對數(shù)式log64x=-

化為指數(shù)式,得x=6

=(43

=4-2=

.(2)將對數(shù)式logx8=6化為指數(shù)式,得x6=8.因為x>0,所以x=

=(23

=

=

.(3)因為log2(log5x)=0,所以log5x=20=1,所以x=51=5.(4)因為

=33·

=27x=2,所以x=

.解題模板將對數(shù)式化為指數(shù)式是對數(shù)式中求值的常見方法,解題時要能準確進行指數(shù)

式與對數(shù)式的互化.

利用對數(shù)的運算性質可以將同底對數(shù)式進行恒等變形,解題時要注意下列問題:(1)利用對數(shù)的運算性質,可以把乘、除、乘方的對數(shù)運算轉化為對數(shù)的加、

減、乘法運算,反之亦然.因此在計算時,要靈活運用運算性質,不僅能正用,還要能

逆用.(2)在使用公式的過程中,要注意公式成立的條件.

對數(shù)性質與對數(shù)運算的應用化簡下列各式:(1)4lg2+3lg5-lg

;(2)

;(3)2

-

×log2

+2lg(

+

);(4)lo

(

-

).思路點撥分析對數(shù)式的運算結構

選擇對數(shù)運算性質

利用運算性質進行化簡.解析(1)原式=lg

=lg(24×54)=lg(2×5)4=4.(2)原式=

=

=

=

.(3)原式=(33

-

×log22-3+lg(

+

)2=32-3×(-3)+lg10=9+9+1=19.(4)∵

=

=2+

,

=

=2-

,∴原式=log

(2+

-2+

)=log

(

)3=3.解題模板對數(shù)式化簡的兩種常用技巧1.“收”,將同底的兩對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù);2.“拆”,將積(商)的對數(shù)拆成同底的兩對數(shù)的和(差).

對數(shù)的換底公式及其應用對不同底的對數(shù)式進行恒等變形時,可以用對數(shù)的換底公式將底數(shù)換為相同

的數(shù),可以根據(jù)題目的特點換為指定的底數(shù),也可以換為常用對數(shù)或自然對數(shù).

(1)若logab·log3a=4,則b的值為

;(2)已知log189=a,18b=5,用a、b表示log3645為

.思路點撥(1)化同底

化簡求值.(2)思路一:由18b=5得log185=b

由換底公式得log3645=

利用對數(shù)運算性質進行化簡,得出結果.思路二:由log189=a,18b=5得,lg9=alg18,lg5=blg18

由換底公式得log3645=

利用對數(shù)運算性質進行化簡,得出結果.思路三:將log189=a化成指數(shù)式

令log3645=x,利用指數(shù)和對數(shù)的運算性質進行化簡,求出x即可.解析(1)∵logab·log3a=

·

=

=4,∴l(xiāng)gb=4lg3=lg34,∴b=34=81.(2)解法一:∵18b=5,∴l(xiāng)og185=b,∴l(xiāng)og3645=

=

=

=

=

.解法二:∵log189=a,18b=5,∴l(xiāng)g9=alg18,lg5=blg18,∴l(xiāng)og3645=

=

=

=

=

.解法三:∵log189=a,∴18a=9.又∵18b=5,∴45=5×9=18b·18a=18a+b.令log3645=x,則36x=45=18a+b,即36x=

=18a+b,∴

=18a+b,∴xlog18

=a+b,∴x=

=

.答案(1)81(2)

解題模板用已知對數(shù)式表示未知對數(shù)式,此類問題的本質是把目標分解為基本“粒

子”,然后用指定字母換元.

已知a,b,c是不等于1的正數(shù),且ax=by=cz,

+

+

=0,求abc的值.思路點撥思路一:設ax=by=cz=t(t>0,且t≠1),則x=logat,y=logbt,z=logct,代入

+

+

=0,利用對數(shù)運算性質可求得abc的值.思路二:設ax=by=cz=t(t>0,且t≠1),可得x=

,y=

,z=

,代入

+

+

=0,利用對數(shù)運算性質即可求得abc的值.解析

解法一:設ax=by=cz=t(t>0,且t≠1),則x=logat,y=logbt,z=logct,∴

+

+

=

+

+

=logta+logtb+logtc=logt(abc)=0,∴abc=t0=1,即abc=1.解法二:設ax=by=cz=t,t>0且t≠1,∴x=logat=

,y=logbt=

,z=logct=

,∴

+

+

=

+

+

=

.∵

+

+

=0,且lgt≠0,∴l(xiāng)ga+lgb+lgc=lg(abc)=0,∴abc=1.解題模板指數(shù)式與對數(shù)式互化時,將不同底的對數(shù)化為相同底的對數(shù),這是解決指

數(shù)、對數(shù)問題的常見方法,逐步掌握它們在解題中的運用,提高解題能力.

對數(shù)在實際問題中的應用在實際生活中,經常會遇到一些指數(shù)或對數(shù)運算的問題.求解對數(shù)的實際應

用題時,一要合理建立數(shù)學模型,尋找量與量之間的關系;二要充分利用對數(shù)的運

算性質以及兩邊取對數(shù)的方法計算求解.

在不考慮空氣阻力的情況下,火箭的最大速度v(單位:m/s)和燃料的質量M(單位:

kg)、火箭(除燃料外)的質量m(單位:kg)滿足ev=

1+

2000(e為自然對數(shù)的底數(shù)).當燃料質量M為火箭質量m的兩倍時,求火箭的最大速度.(參考數(shù)據(jù):ln3≈1.099)信息提?、賓v=

1+

2000;②當M=2m時,求v.數(shù)學建模本題以火箭發(fā)射為背景,構建指數(shù)型函數(shù)模型,利用指數(shù)與對數(shù)的關系求出數(shù)學

模型的解,從而解決實際問題.解析∵