大一微積分面積問題與路程

20Sep 設(shè)非負(fù)連續(xù)函數(shù)??=??

函數(shù)曲線??=?? 與直線??=0,??=??,??=??所圍的圖形稱為曲邊梯形?，F(xiàn)求其面積

??,

任意分成????=??0<??1<?<????=Δ??1Δ????.Δ????=?????????;1.??=maxΔ??1,?, 20Sep 近似。在每個(gè)小區(qū)間里任取一點(diǎn)???? ????;1,????.寬為Δ????,高為?? 的矩形近似代替Δ????.Δ????≈?????? ?? Δ???? ??????Δ???? ??= ??????Δ????20Sep 設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)。其速度???? 為時(shí)間??的連續(xù)函數(shù)。求物體在時(shí)間段??,?? 內(nèi)經(jīng)過的路程??.??= ??????Δ????20Sep 定義設(shè)?? 是區(qū)

??,

為????=??0<??1<?<????=??.Δ????=?????????;1,??=1,2,???.任取????∈ ????;1,????,??=1,2,???.作和式????

??????Δ??????=maxΔ??1,Δ??2,?,Δ???? →0時(shí)，????趨于常數(shù)??,且該常數(shù)與區(qū)間??,?? 的分割方式和點(diǎn)????的選擇均無關(guān)，則稱?? 在??, 上可積。稱??為函數(shù)?? 在區(qū)間??, 上定積分，記作????

????. ??=

??????Δ???? ??

????20Sep 在表達(dá)式???? ????中，??稱為積分變量,?? 為被函數(shù),?? ????為被積表達(dá)式,??為積分下限,??為積分 ??, (RiemannIntegral).二十世紀(jì)初????=???20Sep 前述曲邊梯形的面積??是高度函數(shù)??=?? ??, ?? ??

?????? ≥0做直線運(yùn)動(dòng)的物體經(jīng)過的路程??是速度函數(shù)???? 區(qū)間??,?? ?? ??

20Sep ????. ?? ????= ??

??????>???? ????= ?? ???? ??

20Sep 當(dāng)?? ≥0??≤??≤ 時(shí)，定積分????

??????=?? 為頂邊的曲邊梯形的面積??.若?? ≤0,則邊梯形位于??從而有

?? ???

????= ??

?? ????=???.??=??????=??,??=??20Sep P20Sep 例[一個(gè)不可積的函數(shù)Dirichlet函數(shù)在證對(duì)區(qū)間的任意分劃

??=??0<??1<?<????=若????;1≤????≤????1????;1≤????≤????0極限依賴于

的選取。根據(jù)定義，定積分1?? 0不存在。即函數(shù)??

20Sep ??, ??, 上的連續(xù)函數(shù)可積已知某函數(shù)在??,??上有界并且間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)為有限?? 0??等分，即????=????

=??.1??2????= ??→∞

????+ 2??+ =320Sep 以下討論定積分的性質(zhì)。假設(shè)????,?? ???? ????= ?? ???? ?? +??

???? ??

???? ??

?????? ???

???? ??

???? ??

????20Sep [區(qū)間可加性設(shè)??<??<??, ?? ???? ??

???? ??

???? 性質(zhì)三若在

??,

上恒有??

≤?????? ???? ?? ????,??< 20Sep 性質(zhì)四設(shè)??≤??

≤??,??

??,

.?????

?? ????≤???????,??<性質(zhì)五[積分中值定理]設(shè)函數(shù)???? 則???∈ ??,??,使得

??,

?? ????=?? ?????設(shè)函數(shù)??

在??,

上連續(xù)并且?? 不變號(hào)。???

,??????

????=??

?? ????20Sep 表達(dá)式 ??????;

????定義為函數(shù)?? 在區(qū)

例估計(jì)1????2????0解??1≤??≤20Sep

????

?? ????證由不等式

??

≤??

??

此處根據(jù)題設(shè)，若??

??

?????? ??2 ??2 ???? 20Sep 例195-4設(shè)函數(shù)??

??,??

上連續(xù)非負(fù)并且?0????>20Sep 定義設(shè)函數(shù)??在區(qū)間定義設(shè)函數(shù)??在區(qū)間??,Φ ?? ????,??≤??≤20Sep 定理設(shè)??

在??,

上連續(xù)。則Φ

??, 導(dǎo)并且有

=????,??

??,??證固定??∈

??,

.設(shè)??+Δ??∈

??,

.??:ΔΦ??+ ?Φ ?? ????=????注意到??→??Δ??→0Φ??+ ?ΦΦ′ Δ??→0

lim?? =???? Δ??→0最后一個(gè)等號(hào)根據(jù)?? 以上定理表明，Φ?? 是????

??,

20Sep 例 ??sin??2????=sin??2 例 2ln1+ ????=? ??ln1+

???? ?ln1+

20Sep

??2????2 解此變限積分函數(shù)可視為Φ ??????2????與??=0??Φ

=2??????4設(shè)?? 連續(xù)，????,?? 可微，則

??????

????

=????

?????

??′ ??20Sep 例設(shè)??

????????? ????,其中?? ??′ ??,??′′

??20Sep limAns=

cos

.20Sep 證明由已知???? ????和?? 均為?? ??

?? ????+[微積分基本定理Newton-設(shè)函數(shù)?? 在區(qū)間[微積分基本定理Newton-設(shè)函數(shù)?? 在區(qū)間??, 上連續(xù)。設(shè)?? 是?? ??????=??=???????20Sep 例1????????

,??∈ ??:1例設(shè)?? ??2,0≤??≤??+1,2<??≤

求4??0

解4?? ???? 2?? ???? 4?? ????=32.在計(jì) [2,4]區(qū)間積分時(shí)，令?? =20Sep 值，??0,??為常量。解

0,

??= ??0sin????????0

.例求函數(shù)?? x打開絕對(duì)

?????。

????0<??< 1??

,0<??< 20Sep -8lim1: :?: =

1????????0

1??:1

,??>??→∞

1??:1??:1??:1

+?

=ln220Sep 例207-3設(shè)?? 在[0,+∞)上為正值連續(xù)函數(shù)。證?????? ???? ????在0, 上單調(diào)增 20Sep 定定理設(shè)????:??, →??嚴(yán)格單調(diào)有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)。設(shè)數(shù)????:??→?連續(xù)。設(shè)?? =??,?? =??.則 ?? ???? ???? Remark.Newton-Leibniz 對(duì)a<b和a=b也成立。Remark.換元法中???? Remark.換元法等式雙向使用。Remark.當(dāng)??>??20Sep 例求?? ??/2sin5??cos??00解令sin??=??可得?? 1??5????=0例01

????

201:

????=2ln3,?? 例

???? ??/29cos2??????=9??/4,??=3sin??9?9?20Sep

2

+ln2?ln??+ ,??=????. 1+

??+11; ??=ln22 2;11:?? =?2,??=.20Sep 例設(shè)??

?? ???? ?????

證令??=?????

?? ????

?????0

+??

20Sep

sin ???? sin??+cos 例203-14設(shè)?? ????sin

?????? ??sin

例0

??sin1:cos2

????=20Sep 203-15設(shè)??

在???

?? ????;

?? +??

間???,

??推論若?? ;

?? ????= ??0

若?? 為奇函數(shù)，;

?? ????=20Sep 例 sin?? ??????=ln3; 2:?? sin2??????=???1;??/41:?? 20Sep 定理設(shè)函數(shù)????,??

??,

與??′?? ????′????=

?? ????′.證??????′???? ??????′????.

????

??????

?????? ??20Sep 例1/2arcsin??????=

?3 3sin??sinh??????0

1 sin??cosh???cos??sinh??20Sep 例WallisIntegrals證明???∈?, 2???1???? cos????????

2?? ,??= 2??2??+1

,??=2??+

=??;1

及初始值 =??, =

??;2

注意總有??/2cos???????? ??/2sin???????? 例11???23????=16??=sin?? 20Sep

sin3???sin5??????=ln

????

1+???? 2????

19 13ln??????=3ln3?1 ??:1????sin?????? 0

??3+cos4

????=6*.;

??2

????=0;21:??007.0

??/2??sin ????

??/2??cos

???? 8*.Prove ??sin?? ????=20 sin62??????=

??sin

????20Sep 6.3. 20Sep 定義設(shè)函數(shù)?? 在區(qū)間[??,+∞)上連續(xù)。若極 ????

????存在，稱其為函數(shù)?? ??→: :?? ???? ??→:

?? ????20Sep :????????=?? ????

?? ????;進(jìn)而定義?? :

??→; :?? ???? ?? ???? ?? ????,??∈; ; 20Sep 例:∞3

1

11? 1

??→:

例:∞

=1

??→: 例:∞cos??????020Sep ????解當(dāng)??≤11:∞????11,??>???:∞=1???1????;1,??>0,??>例:∞??????; ????例; 1:??

=20Sep 定義設(shè)?? 在[??,??)上連續(xù)，并且lim?? =∞.極限 ??????→???

????存在，稱其為函數(shù)??

?? ????

???? 20Sep ?? ????=類似地，定 連續(xù)函數(shù)??

?? ???? ??

???? 20Sep 若函數(shù)??

??=??lim?? =∞. ?? ???? ?? ???? ?? 例 11?

=

1?=21?例反常積分1 ;1

20Sep ?? ?? ,?? ?? ??→: ??→; ?? ????=?? ?????,?∞≤??<??<??= 1,+∞ 20Sep 例1????=0例積分1????當(dāng)??<1收斂到

0????

1;:

1+??2;3/2arctan??????

2?020Sep 219-7:

1+??4

: 1+??4 :??????;??????=

:????;1??;??????,??∈ :??????;??????=??!,??∈020Sep :Γ ????;1??;??????,??>01????,

????;1

1?????;1????,??>0,??> :∞0

????1:??

20Sep 首先確定研究對(duì)象的數(shù)學(xué)模型。確定連續(xù)函數(shù)??以及區(qū)間??,??.其次在??, 內(nèi)任取小區(qū)??,??+Δ??,近似估計(jì)所求變量Δ??=????Δ??.????=????????Δ?? ?? ???? ?? 20Sep ??型平面區(qū)域由???? ≤??≤????,??≤??≤??表示。其中????,???? ??= ?? ?? ????.??

?? ???

??型平面區(qū)域由???? ≤??≤????,??≤??≤??圍成。其中????,???? ?? ?? ??? 20Sep ??2??2=1 ??= ?? ????=

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22221-2??2=2????=??422解??=

??+4;

????=20Sep 于平面??=??,??=?????? ?? ?? ????2? ??????;?

????23???.320Sep 連續(xù)曲線??=???? ??≤??≤?? 圍繞??軸旋轉(zhuǎn)所得立體的體積。體積微元為????=????2?? ????.其體積為?? ????2 由連續(xù)曲線??=?? ??≤??≤

?? ??