教學案例 可能性

設計輪盤,體驗可能性相等師:剛才大家還提到了轉輪盤,老師這也有一個輪盤。如果我把粉色的部分送給女同學,你們男生任選一種顏色,指針轉到誰選的顏色上誰就是最幸運的,行嗎?

生:不公平。

師:怎么不公平呢?

生:因為粉色占圓的4分之2,藍色只占4分之1,所以不公平。

師:那怎么設計公平呢?

生:把一個粉色的變成別的顏色就行了。

師:你能說得更清楚一些嗎?

生:粉色、藍色都占4分之1,就公平了。

師:這時他們兩個人被選到的的可能性是……

生:相等的。師:老師這里還有一個輪盤。還提出了3個問題,我們先獨立思考,再和小組同學交流一下。

師:誰來說說?

生:紅色的部分可能性是8分之3,藍色部分的可能性也是8分之3,黃色部分的可能性是8分之2。

生:轉80次,大約會有30次停在紅色上,30次停在藍色上,20次停在黃色上。

師:為什么呢?能說明理由嗎?

生:因為這個圓平均分成8份,80是8的10倍,紅色占3份,就是30次,藍色也是30次,黃色占2份就是20次。

師:你們聽懂了么?

師:他說的有理有據(jù),分析得多清楚呀,我們給他點掌聲吧!

師:如果就用這個輪盤選他們倆誰最幸運,你想怎樣設計規(guī)則呢?

生:一個人占3份紅色,一個人占3份藍色,兩個黃的一人一個,他們的可能性都是2分之1,就公平了。

師:如果我們不改變輪盤,就按照這個輪盤來設計呢?

生:那就男生選藍色,女生選紅色。每個人被選到的可能性都是8分之3。也是一樣的。

師:可以嗎?

生:可以。

師:老師這有一個和他一模一樣的輪盤,我們就按照同學們剛才制定的規(guī)則選一選吧。請兩位幸運的同學到前面來。誰來轉動輪盤呢?

(生舉手。)

師:這么多同學呀,我們從全班的名簽里抽出一名同學好嗎?

生:好!

師:我們每個人被抽到的可能性是多大呢?

生:是36分之1。

生:不對,是34分之1,他們倆都在前面呢。

生:他們倆的名字也在呀。

師:你覺得是多少呢?

生:是36分之1。

師:那要抽到他們倆怎么辦呢?

生:那就拿出去重抽。

師:行嗎?都拿出去后,每個人被抽到的可能性多大?

生:34分之1。

師:來,你們倆先進行猜拳,看看由誰來抽。只猜1次。

師:好,你來。

師:轉到紅的就是……

生:女生。

師:藍色呢?

生:男生。

師:那黃色的……

生:重來!

師:好!那我們開始。(轉輪盤選。)

師:你是最幸運的同學了,看看老師給你準備了什么禮物?一個可愛的小恐龍,他還有12顆可愛的牙齒,只有一顆牙齒按下去他會輕輕咬住你的手,你覺得被咬住的可能性有多大呢?

生:12分之1。

…………

師:呀!你可太幸運了,看來他很喜歡你,帶著你的好朋友回去吧。

師:剛才我們一起研究了拋硬幣、轉輪盤、抽簽并公平地選出了這名女同學成為了班級最幸運的人,還得到了禮物。老師看到很多同學把羨慕的目光送給了這名女同學,有的同學也很失望。不要緊,老師還給你們準備禮物了呢。想得到嗎?

…………

師:快看看小的學具盒里有什么?動手試一試,看看你能得到什么?

(學生動手安裝。)

生:我們得到了一個空輪盤。

生:我們得到了一個骰子。

師:想一想如果用我們剛剛得到的禮物也來選選誰最幸運,該怎樣設計公平呢?3個人怎么選?4個人呢?5個人呢……我們下節(jié)課再研究。從濟南回來已經月余,大賽中的那份緊張好像剛剛退卻,整理資料的過程中那一幕幕場景不時在眼前浮現(xiàn),時而淚水漣漣,時而愁容滿處,時而傻傻發(fā)呆,時而激動興奮……“磨”礪的過程讓我不僅僅感悟到了數(shù)學教學的嚴謹與樸實,更讓我對著神奇而富有魅力的數(shù)學世界深深地著“魔”!在這個舞臺上,每一個舞者都在盡力地彰顯數(shù)學的魅力,品讀數(shù)學的神奇,吮吸數(shù)學的甜美、變幻與平和……靜靜地去細細回味、品讀,還在為當初的“因起惑,惑換思,思連議,議成果”而興奮!真想再次走進這樣的場景,再次感悟那份生命中的激動!

因:一個數(shù)學問題帶來的思考。

還記得一次數(shù)學團隊的研討中,孫校長問了我們一個數(shù)學問題:“數(shù)學課的實驗該怎樣操作?如果實驗的數(shù)據(jù)不真實,這樣的實驗將會給孩子帶來什么?”數(shù)學課的實驗實際上就是學生的一種體驗過程,更是數(shù)學模型建構的過程。從帶著問題走進活動,到在活動中的摸索、對比、研究、發(fā)現(xiàn)到形成結論,實驗的數(shù)據(jù)起著至關重要的作用。如果實驗的過程不夠科學,實驗的數(shù)據(jù)就很可能背離真實的結果,這樣給孩子帶來的就不僅僅是理解上的困惑,更會形成一種知識上的認知障礙。翻開小學數(shù)學課本,在統(tǒng)計與概率中大部分的知識都需要學生的這種實驗體驗,而這種隨機性很強的實驗又該如何控制?能不能給孩子們帶進一個科學、嚴謹而又富于挑戰(zhàn)性的數(shù)學課堂中呢?讓我陷入深深的思考……選擇這個內容使我在矛盾之中充滿了對挑戰(zhàn)的渴望。

華東師大的一位教授曾經做過這樣一次調研。在21世紀之前中國義務教育階段的教材中并未出現(xiàn)過概率這一內容,課改之初當可能性這一內容在大賽中剛剛出現(xiàn),人們趨之若鶩紛紛選擇。但隨著課堂上隨機數(shù)據(jù)的大量產生,教者們無法把握,小概率事件必須通過大數(shù)據(jù)說明又很難實現(xiàn),于是往往將科學家們的實驗結果強加給學生,因此很長一段時間內這一內容便再無人問津。這部分內容到底該如何處理呢?倔犟的我開始邁出了嘗試的第一步……

惑:腦中的問號一個又一個,智慧的金鑰匙在哪里?

困惑一:實驗到底做不做?

孩子們的生活經驗是豐富多彩的,球賽的開場要用到拋硬幣選擇場地、伙伴們的游戲往往也用猜拳的方法來選擇誰先行,抽簽、擲骰子、轉輪盤……各種各樣的方法孩子們司空見慣,可是要來體驗“可能性相等”對于長期習慣于確定性思維的孩子來說是何等的艱難。如果不做實驗,不分析,孩子們似乎理解得很順利:“拋硬幣,正面和反面出現(xiàn)的可能性相等?！薄皵S骰子,每個數(shù)字出現(xiàn)的機會都是一樣的?！薄俺楹瀸τ诿恳粋€人的機會也是相同的”……可是一旦做了實驗后卻會出現(xiàn)另一番景象,教師越分析越糊涂——在一堆懸殊很大的數(shù)據(jù)面前我們試圖說服學生可能性相等顯得那么蒼白無力。

困惑二:科學家的數(shù)據(jù)怎樣呈現(xiàn)?

由于實驗中孩子們所得到的數(shù)據(jù)偏差較大,因此教師們往往將科學家們的實驗數(shù)據(jù)強加給學生。的確,科學家們在嚴格的實驗環(huán)境下有的做了幾千次,有的做了上萬次,但是留給我們的僅僅是最后的實驗結果,沒有實驗的過程。因此無法讓學生真實地感受到在實驗的過程中隨機現(xiàn)象的演變過程,表象過于單一,結果也就過于牽強。

困惑三:數(shù)據(jù)部分該如何處理?

從科學實驗的角度上思考,實驗的工具、實驗的環(huán)境都有嚴格的要求。在課堂上我們排除各種不確定因素,提出具體細致的要求而孩子們實驗的結果也會有很大的偏差。4年級的孩子(參賽5年級上的課程要用4年級的學生)對于分數(shù)僅僅是初步認識,沒有學習過通分、約分的知識,因此對于兩個數(shù)的對比他們往往通過兩個數(shù)的差進行比較,在實驗數(shù)據(jù)不斷增大的時候,正面出現(xiàn)的次數(shù)與反面出現(xiàn)的次數(shù)的差也會隨之增大?？赡苄栽絹碓浇咏慕Y論孩子們理解就很困難!

下面大家看到的就是在我試講中出現(xiàn)的一組數(shù)據(jù):

我們看到在第一組實驗中,我們實驗了100次,其中正面朝上的次數(shù)和反面朝上的次數(shù)僅相差3次。當我們實驗的次數(shù)累積到320次,相差竟達到了13次。學生自然無法理解。

如果以倍數(shù)的形式來解釋數(shù)據(jù)分析,學生理解起來又很抽象,不能讓大部分學生認同。如何處理數(shù)據(jù)?如何分析數(shù)據(jù)?這個問題一直困擾著我。

思:問題背后的思考。

數(shù)學的魅力就在于它能將追隨者引入探究的圣地。研究的越深入就會越入迷,樂不思蜀。當一個個問題破解的時候,就似那山澗溝壑中噴涌的瀑布,奔放、自如……

翻閱相關資料,發(fā)現(xiàn)統(tǒng)計與概率之間竟然有千絲萬縷的聯(lián)系,可不可以用統(tǒng)計的思想來思考和分析理解概率的知識?可不可以將隨機事件的處理放在學生數(shù)據(jù)的對比中呈現(xiàn)?可不可以將事情發(fā)展的可能性以區(qū)間的形式展現(xiàn)給學生?可不可以借助多媒體教學來幫助完成大數(shù)據(jù)的實驗過程,真實地感悟數(shù)據(jù)之間的變化,發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律?思索得越深入,探究的興趣越濃郁……

果:是大家的攙扶手臂把我撐起在領獎臺上。

帶著這些困惑走進我們的數(shù)學團隊。研討就這樣開始了……一次次的研磨,一次次的模擬,每一個細節(jié)大家都深思熟慮很久很久。多少次的焦灼,多少次的冥思,多少次的無助搖頭……數(shù)學團隊的伙伴們開始了嚴謹?shù)奶骄窟^程。有時為了一個環(huán)節(jié)的設計大家爭得面紅耳赤,為了一個方法的選定大家又各自選擇學生的視角一次又一次地嘗試。從教材與學生、教者與學生、數(shù)學與學生、生活與學生……多個層面多個角度來解析。還記得多少次失敗后,大家靜靜地坐在一起,回想著研討的一個又一個細節(jié),尋求著解決的方法。還記得多少次校園中相遇,大家都會欣喜地交換著剛剛產生的新點子、新思路。翻閱相關的材料,查找各種信息,一串文字突然閃現(xiàn)出來:數(shù)學就是為孩子思維的可持續(xù)發(fā)展奠基。為了呈現(xiàn)數(shù)學家們的實驗過程,大家想到了用條形統(tǒng)計圖的形式動態(tài)生成,讓學生感性地感悟到隨著實驗次數(shù)的不斷增多正面反面出現(xiàn)的次數(shù)越接近。正當我們?yōu)樽约旱木试O計而欣喜若狂的時候,省教研院的高主任一句話點醒了我們:拋硬幣最后的結果不可能是完全接近2分之1,而應該是在2分之1上下波動。面對教學設計中的瓶頸我們請來了市區(qū)教研員,請來了兄弟學校的名師們,對于實驗該不該做,到底怎樣做,數(shù)據(jù)是呈現(xiàn)結果還是體現(xiàn)過程展開一次次的研討。

帶著這樣的思索我們又開始嘗試探究,在作圖紙上一遍遍地重復不同的實驗數(shù)據(jù)帶來的實驗結果。的確,這種波動的過程才是概率產生的現(xiàn)實基礎。而這樣的計算又過于煩瑣,孩子們理解起來更是困難,簡單的問題復雜化不是我們有效課堂的追求。電教媒體的作用在此時讓我們眼前一亮,原來這么煩瑣的計算過程,這么復雜的表現(xiàn)形式在我們所熟悉的電子表格上只需輸入數(shù)據(jù)輕輕一點,就能呈現(xiàn)得淋漓盡致。把統(tǒng)計的觀念與概率的形成過程有機地結合起來,有效地打破了教學的瓶頸。學生感性地認識了等可能實踐的特點,必然性和偶然性是事物發(fā)展過程中兩種不同的趨勢。必然性是指一定要發(fā)生的、確定不移的趨勢。偶然性是指可以這樣也可以那樣的不確定的趨勢。必然性和偶然性是對立統(tǒng)一的辯證關系。必然性存在于偶然性之中,通過偶然性表現(xiàn)出來。偶然性中深藏著必然性,是必然性的表現(xiàn)和補充。兩者相互依存,又在一定條件下相互轉化

當思維的大門打開,大家走出認知的瓶頸后,精彩便如傾瀉噴泉,點點生金。大家從導入的座位安排,到大小禮物的精妙使用,到輪盤的電動設計……為這個“待嫁的姑娘”精心地打點著?？匆姶蠹已杏懺跁r而興奮、時而陶醉、時而津津樂道中展現(xiàn)的幸福與快樂讓我又一次為這樣的探究而深深地著魔!這樣的研磨就似一個美麗的魔咒,在癡迷中感悟,在感悟中升華,在升華中又期待著下一次的到來……評汲淼老師執(zhí)教的“可能性”一課

作者:孫欣

一節(jié)好課的標準眾說紛紜,但有一點是不可動搖的,就是學生是否有收益,是否得到發(fā)展。蘊藏在每個學生身上的智慧和能動性是巨大的,如何能讓學生通過直觀的教學內容,在活潑的學習氛圍中,學習到解決問題的策略與方法,如何讓學生始終充滿信心,充滿激情地學習數(shù)學成為每位數(shù)學教師須要回答的問題?！翱赡苄浴弊鳛樾抡n程標準下的全新內容,在課改之初成為各項賽課、觀摩課的常用課,但由于其數(shù)據(jù)處理的復雜性和教師對數(shù)據(jù)難以控制,一些名家的富有創(chuàng)意的設計難以逾越等因素,漸漸被作課教師淡忘。此次大賽看了汲淼老師執(zhí)教的“可能性”一課又有了耳目一新的感覺,在此與大家一起分享。

一、設計精——問題無痕

潤物細無聲的課堂,教師會將自己對課程的理解,對教材的把握揉于自己的教學設計中,精妙得讓人看不出設計的印痕,精當?shù)米屓藭诨匚吨腥圆唤麌K嘖不已。汲淼老師這節(jié)課就有多處會讓人有這種感觸。如學生的座位,一組男生、一組女生、一組一半男生一半女生,看似無意,可是教師的稍加調整就成了有利的課程資源,這樣的有效情境的創(chuàng)設讓學生自然而然地融入其中,既營造了男女大比拼誰更幸運的場,又為學生獲取知識提供了載體。通過“到哪一組里選一名女生回答問題”促使學生從身邊的情境中引發(fā)數(shù)學思考?！霸谀猩M里不可能找到女生”孩子們那會心的微笑,抑制不住的參與的熱情,興趣的大門就這樣悄然打開。也更加深入充分體會到可能性的兩個層面:即可確定的“一定”“不可能”;不可確定的“可能”。把區(qū)間的認識滲透給學生是汲老師設計的精細之處。簡單的黑板設計、自然地問題梳理使學生輕松地發(fā)現(xiàn)可能性發(fā)生的區(qū)間竟然在0～1之間,無形之中實現(xiàn)了從定性向定量的過渡。這一系列的活動激發(fā)了學生的興趣,讓學生親身體驗、自主思考,感受數(shù)學獨特的魅力,萌發(fā)愛數(shù)學、學數(shù)學的興趣!

幸運搜索產生候選人、抽簽選取操作者,輪盤旋轉決定勝負,每一項活動中都蘊涵著奇妙的數(shù)學問題,巧妙的是汲老師不是去提出問題,而是在學生思索、推理中發(fā)現(xiàn)問題引發(fā)學生的認知沖突,學生能夠主動地尋找解決沖突的辦法,這份自發(fā)的興趣有著巨大的潛能,學習成了深入的探究,從“我為他們出主意”的兒童視角,通過各種親身活動體會等可能的價值使數(shù)學味道慢慢融入其中,讓每一個環(huán)節(jié)都充滿數(shù)學的味道,散發(fā)數(shù)學的清香。這正體現(xiàn)了課程標準中提到的數(shù)學本身的情趣強于數(shù)學知識的興趣。尤為可貴的是本節(jié)課的設計并沒有因為生活化、情境化、活動化沖淡了數(shù)學的味道。問題于無痕之中,學生學得自自然然,輕輕松松。

二、挖掘深——知識厚重

本節(jié)課的教學從學生認知規(guī)律出發(fā),關注知識間的網狀聯(lián)系,凸顯了數(shù)學的本真味道,體驗了數(shù)學的知識建構。一些教師在教學“可能性”一課時會有這樣的錯誤認識:隨著實驗次數(shù)的增多,實驗結果會越接近于我們的預測值。比如拋擲硬幣,就認為拋擲次數(shù)越多其正反面出現(xiàn)的幾率就會越來越接近,但是當實驗數(shù)據(jù)與預期結果懸殊很大的時候,學生就很難產生同化和順應,越分析越糊涂。正確的理解應該是:隨著實驗次數(shù)的增多,實驗結果會在預測值的上下波動,并趨于平穩(wěn)。本節(jié)課的教學中汲淼老師把對這一難點的探究過程還給了學生。實驗數(shù)據(jù)收集采用了數(shù)據(jù)條的匯報方式,將全班各組數(shù)據(jù)匯總自然而然地形成了條形統(tǒng)計圖,在對條形統(tǒng)計圖分析的過程中學生通過對實驗數(shù)據(jù)與預測值的對比,對實驗結果隨機性有了深入的理解。通過班級中不同小組數(shù)據(jù)間的對比,突破學生的認知界限產生認知沖突,發(fā)現(xiàn)各組數(shù)據(jù)在預測值的上下波動這一特點。課上有效地利用了計算機的excel電子表格,將全班的實驗數(shù)據(jù)輸入自動生成折線統(tǒng)計圖,各小組同學結合折線圖的變化趨勢交流、分析、碰撞,深刻的認識到數(shù)據(jù)越多折線的變化越趨于平穩(wěn)并接近預測值。汲老師又通過計算機對大數(shù)據(jù)實驗過程的揭示從而實現(xiàn)學生對預測值上下波動的抽象認識,使原本無法達成的共識在短短的十幾分鐘內得到了深刻地理解。可以說這部分設計是本節(jié)課的點睛之筆,充分地展示了教者對教材的理解與挖掘,數(shù)學思考,數(shù)學價值得以充分展現(xiàn)。

三、形式靈——興趣盎然

荷蘭數(shù)學家弗萊登塔爾從教育的特點出發(fā)提出了“數(shù)學現(xiàn)實”的原則,學生的特點是對現(xiàn)實的事物充滿了好奇。好奇的本身就能喚起興趣。汲老師的課堂充分利用學生已有的生活經驗去解決問題。接到本節(jié)課的核心任務——選擇最幸運的學生,孩子們的眼睛亮了起來,隨著幸運大搜索、抽簽、拋硬幣、轉輪盤,學生玩得不亦樂乎,玩得興趣濃濃?！吧衩氐亩Y物發(fā)給誰”這個極富吸引力的問題將學生帶入到了興趣盎然的猜測中:幸運搜索中的那份濃濃的期待,全班抽簽中的殷切期盼,設計輪盤中的激烈爭論,制作學具中的全神貫注……每一處都可以看見孩子們的全情投入。學生的思路在不斷地深化,在辯論中研究,學生思維的“火花”不斷碰撞。這些環(huán)節(jié)的設計不僅僅一步步地深化了本節(jié)課所學的知識,又逐步培養(yǎng)了學生解決問題的能力。學生不僅興趣高漲,重要的是對等可能性有了更深刻的認識。

環(huán)環(huán)相扣的活動中總是能感受到學生思考的氣息,我不知道用什么樣的方式記錄學生靈動的智慧和敏銳的思考力,只是深深地被吸引其中,看著孩子們滿臉洋溢著的快樂和幸福,我也分享著來自學生的精彩。

選出最幸運的學生把大家的熱情推向了高潮,恰在此時汲老師拿出了那份神秘的禮物——可愛的小恐龍,并告訴孩子們小恐龍的牙齒藏有機關,孩子們的興趣點再次被點燃,“你被它輕輕咬到的可能性會多大呢?”看似簡單的問題不僅吸引了所有孩子的關注點還有效地復習了本節(jié)課所學的知識。課的尾聲一個小小的紙盒,一張簡單的圓片,一根普通的牙簽,一塊橡皮,在學生的手中變成了神奇的輪盤,帶來幸運的骰子……一個個的興趣點被慢慢點燃。學生們充分