高效課堂的探索

關(guān)于高效課堂的探索第1頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日怎樣的課算是一堂好課?《課程標準》指出：◆學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的；◆提倡學(xué)生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流；◆動手實踐、自主探索與合作交流應(yīng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式；◆學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程；◢而教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，并提供學(xué)生的活動機會；◢使學(xué)生真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法；◢教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。第2頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日好課的標準，應(yīng)是這樣八個字，即

吉林省教育科學(xué)院院長

聶海清教師的教“善于啟發(fā)”，學(xué)生的學(xué)“主動積極”。課堂體現(xiàn)出“善于啟發(fā)”、“主動積極”，就是好課第3頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日數(shù)學(xué)教學(xué)專家邱學(xué)華歸納一堂好課的基本特征是三個字：

語文特級教師袁浩歸納一堂好課的標準是四個字：

⑴趣、⑵實、⑶活。⑴新、⑵實、⑶活、⑷樂。第4頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日趣：

主要體現(xiàn)在培養(yǎng)學(xué)生的興趣，使學(xué)生愛學(xué)、樂學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動機。實：

主要體現(xiàn)在基礎(chǔ)知識和基本技能的訓(xùn)練扎實?；睿?/p>

主要體現(xiàn)在教師教學(xué)方法的靈活，學(xué)生思維的活躍，課堂氣氛的活潑。新：

主要體現(xiàn)在教師有開拓精神，能用先進的數(shù)學(xué)理念指導(dǎo)教學(xué)實踐，常教常新，并能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識，創(chuàng)新思維，創(chuàng)新精神。第5頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日基本要求(1)：有意義

基本要求(2)：有效率基本要求(3)：生成性

基本要求(4)：常態(tài)性華東師范大學(xué)博士生導(dǎo)師葉瀾教授認為，一堂好課沒有絕對的標準，但應(yīng)有一些基本的要求。第6頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日真正的好課，教師應(yīng)教得自然，學(xué)生應(yīng)學(xué)得主動，師生共同沉浸于探索知識的忘我境界之中，課堂充滿探究的氛圍，煥發(fā)出生命的活力。第7頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日然而，自實施新課改以來，我們研究“好課”，研究“減負增效”，卻在推進新課程改革的同時出現(xiàn)了一些痛心的狀態(tài)，如：（1）初中學(xué)生不喜歡的科目是數(shù)學(xué)，最難學(xué)的是數(shù)學(xué)，學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上開小差、睡覺的現(xiàn)象時有發(fā)生；（2）“教教材”的觀念沒有徹底放棄，對數(shù)學(xué)資源開發(fā)嚴重不足，課堂教學(xué)與我們學(xué)生的生活環(huán)境差距較大，課堂平淡乏味，不能激發(fā)學(xué)生興趣；（3）新課程理念在數(shù)學(xué)教學(xué)中落實不到位，過程與方法、情感態(tài)度與價值觀目標嚴重弱化；（4）數(shù)學(xué)教學(xué)出現(xiàn)了“四多”：課上老師講得多、平時老師輔導(dǎo)多、課后學(xué)生練得多、結(jié)果老師抱怨多，老師和學(xué)生都做了許多無效的勞動。第8頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日因此，如何有效地提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量一直是數(shù)學(xué)教學(xué)所關(guān)注的焦點問題。隨著教學(xué)研究的不斷深入，這些關(guān)注逐漸被一個新的名詞所代替，那就是“有效教學(xué)”。第9頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日高效課堂的探索

余姚歷山中學(xué)景祝君課堂有效教學(xué)探索第10頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日美國鮑里奇等教授的研究指出，有效的課堂教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)五個特征：

（1）清晰的教學(xué)思路；（2）多樣化的教學(xué)方法；（3）任務(wù)導(dǎo)向明確；（4）學(xué)生的投入；（5）成功率高。一、什么是有效教學(xué)第11頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日我國的余文森教授從專業(yè)的角度回答了什么是課堂教學(xué)的有效性問題，他認為：課堂教學(xué)的有效性是指通過課堂教學(xué)使學(xué)生獲得發(fā)展。發(fā)展就其內(nèi)涵而言，指的是知識、技能，過程、方法與情感、態(tài)度、價值觀三者（三維目標）的協(xié)調(diào)發(fā)展。余教授認為，“課堂教學(xué)的有效性特征（或表現(xiàn)）可以列舉很多，但最核心的一點是看學(xué)生是否愿意學(xué)、主動學(xué)以及怎么學(xué)、會不會學(xué)”。第12頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日國內(nèi)的其他一些教學(xué)專家對數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性也提出了三個方面的特征要求：（1）是學(xué)生在已有知識經(jīng)驗基礎(chǔ)上的主動建構(gòu)過程；（2）是充滿觀察、實驗、猜想、驗證、推理、交流等豐富多彩的數(shù)學(xué)活動；（3）是富有個性化的、多種學(xué)習(xí)需求的過程。第13頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日那么如何實現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性呢？整體策略

教學(xué)方法靈活化課堂教學(xué)藝術(shù)化教學(xué)指導(dǎo)個性化對待學(xué)生情感化具體策略

教學(xué)目標清晰化課堂引入趣味化講解例題多變化分析思路常規(guī)化點撥規(guī)律條理化數(shù)學(xué)訓(xùn)練科學(xué)化

選題難度層次化運算能力加強化第14頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日（一）教學(xué)目標清晰化

——應(yīng)突出學(xué)生將獲得什么發(fā)展二、實現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂有效性的策略進行數(shù)學(xué)教學(xué)之初，教師應(yīng)先關(guān)注的不是“學(xué)生要學(xué)什么數(shù)學(xué)”，而是“學(xué)完本節(jié)數(shù)學(xué)課學(xué)生將獲得了什么發(fā)展”，這就是教學(xué)目標。確定科學(xué)、準確且符合實際的教學(xué)目標是保證數(shù)學(xué)教學(xué)有效性的首要條件。新課程強調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)課程的三維目標（知識與技能、過程目標、情感態(tài)度價值觀等）的達成，與原有課程相比，新課程在關(guān)注知識結(jié)果目標的同時，更注重對過程目標的關(guān)注和對學(xué)習(xí)者——學(xué)生的關(guān)注，目標更加人文化，更關(guān)注學(xué)生獲得知識的過程以及在學(xué)習(xí)過程中的經(jīng)歷、感受和體驗。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的目標的確定，取決于教師的數(shù)學(xué)教育價值取向、對學(xué)習(xí)者的了解以及對數(shù)學(xué)課程的正確理解把握。第15頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日1.更新數(shù)學(xué)教育觀念，

是確立有效教學(xué)目標的前提在學(xué)校的數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，數(shù)學(xué)課程的目標主要是通過教師的教與學(xué)生的學(xué)來實現(xiàn)的。數(shù)學(xué)課程目標不是抽象的目標，而是表現(xiàn)為在數(shù)學(xué)課程設(shè)計與開發(fā)過程中具有可操作性的《標準》。因此，教師要按照《標準》所提出的基本理念樹立新的數(shù)學(xué)教育觀來指導(dǎo)自己的教學(xué)。例:學(xué)習(xí)有理數(shù)的運算法則第16頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

數(shù)學(xué)教育的價值并非單純地通過積累數(shù)學(xué)事實來實現(xiàn)，它更多地通過對重要數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟、對數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的條理化、對數(shù)學(xué)知識的自我組織等活動來實現(xiàn)。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是“數(shù)學(xué)活動的過程”，這樣的“數(shù)學(xué)活動”，應(yīng)該是學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”、“再創(chuàng)造”的過程、是教師幫助學(xué)生建構(gòu)和發(fā)展認知結(jié)構(gòu)的過程、是師生的互動共同發(fā)展的過程。第17頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日教師的數(shù)學(xué)教育觀，會直接影響數(shù)學(xué)教學(xué)目標的方向，從而直接影響數(shù)學(xué)教學(xué)目標能否真正有效體現(xiàn)新課程的目標。第18頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日2.全面了解學(xué)生，

是確立有效教學(xué)目標的重要基礎(chǔ)《標準》指出：“數(shù)學(xué)課程不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點，更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，……數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)之上”。因此，有效的教學(xué)目標的確定應(yīng)符合學(xué)生的心理與學(xué)習(xí)經(jīng)驗基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該從學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有的體驗開始，根據(jù)學(xué)生的年齡特點和心理發(fā)展規(guī)律出發(fā)，從直觀的、能激發(fā)學(xué)習(xí)積極性的問題入手，讓數(shù)學(xué)背景包含在學(xué)生熟悉的事物和具體情景之中，使數(shù)學(xué)教學(xué)的目標更具現(xiàn)實性。第19頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日當(dāng)今的數(shù)學(xué)教學(xué)活動，過多地注重學(xué)生的智力發(fā)展，超負荷訓(xùn)練的數(shù)學(xué)教學(xué)給學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷留下太多的陰影，從而造成許多“失敗者”的心態(tài)。有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來自于學(xué)生對數(shù)學(xué)活動的參與，而參與的程度卻與學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時產(chǎn)生的情感因素密切相關(guān)。學(xué)生的動機、情感、意志、氣質(zhì)等非智力因素對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和學(xué)生的智力開發(fā)有著很大的影響，是學(xué)生全面發(fā)展的重要標志。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)活動應(yīng)當(dāng)把學(xué)生的非智力因素教育作為教學(xué)目標之一。第20頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日3.準確把握教學(xué)任務(wù)，

是確立有效教學(xué)目標的重要保障數(shù)學(xué)新課程對教師來說是一個挑戰(zhàn)。如何準確理解和把握教學(xué)內(nèi)容的要求已經(jīng)成為教師在確定教學(xué)目標的一個非常重要的任務(wù)，隱藏在“課時嚴重不夠”、“學(xué)生負擔(dān)加重”等表象后面的重要原因就是教師在確定教學(xué)內(nèi)容任務(wù)與目標的嚴重偏差。第21頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日比如初中數(shù)學(xué)中許多知識內(nèi)容有很好的實際生活背景，像“負數(shù)、數(shù)軸、絕對值、方程應(yīng)用”等，可以通過適當(dāng)?shù)纳钋榫骋搿⑻剿鹘涣?，但也有很多知識內(nèi)容，如“代數(shù)式、運算法則、公式、定理”等可以開門見山，直奔主題，這樣可以使教學(xué)活動不用過久地在外圍游弋，直達問題的核心，節(jié)約時間資源，從而提高課堂教學(xué)效率。第22頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日（二）課堂引入趣味化

——“主題情境”教學(xué)法二、實現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂有效性的策略數(shù)學(xué)教學(xué)為什么要創(chuàng)設(shè)主題情境？

德國一位學(xué)者有這樣一個精辟比喻：將15克鹽放在你眼前，你無論如何也難以下咽，但將15克鹽放入一碗美味可口的湯中，你就會在享受佳肴的同時，將15克鹽全部都吸收了。情境與知識，猶如湯與鹽，鹽需溶入湯中，才能被吸收；知識也需要溶入主題情境之中，才能顯示出活力和美感。第23頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日小飛守角制作數(shù)學(xué)教學(xué)為什么要創(chuàng)設(shè)情境？

著名的數(shù)學(xué)家華羅庚也曾說：“難處不在于有了公式去證明，而在于沒有公式之前怎樣去找出公式來。”因此，教師無論是在數(shù)學(xué)教學(xué)的整個過程，還是在教學(xué)過程中的某個環(huán)節(jié)，都應(yīng)該十分重視數(shù)學(xué)問題主題情境的創(chuàng)設(shè)。而且教師積極營造問題探究的主題情境，能引領(lǐng)學(xué)生在探究問題的過程中活化知識，以幫助學(xué)生基于自己與世界相互作用的獨特經(jīng)驗去建構(gòu)自己的知識體系，為學(xué)生發(fā)現(xiàn)新知識創(chuàng)造一個最佳的心理環(huán)境和認識知識的理想階梯。第24頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日案例一：認識數(shù)學(xué)案例二：不等式的基本性質(zhì)第25頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日案例四：6.1平面直角坐標系（1）案例三：2.6探索勾股定理（1）案例五：5.1平行四邊形的性質(zhì)（1）第26頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日第27頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日立方根很久很久以前，希臘提洛斯島上瘟疫流行，居民恐懼地向島上的守護神阿波羅祈禱，神說，因為你們給我做的這個正方體的祭壇太小，邊長只有10米，如果你們做一個比它體積大一倍的正方體祭壇放在我面前，瘟疫就可以停止?！庇纱丝梢娺@神是很喜歡數(shù)學(xué)的．大家覺得這好辦，于是很快做好了一個新祭壇送到神那里，新祭壇的邊長是原來的二倍．可是神愈發(fā)惱怒，他說，你們竟敢愚弄我！這個祭壇的體積根本不是原來的二倍，我要進一步懲罰你們！第28頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

但是，一個不切合實際的、過于花哨的的情境問題不但不能很好的起到應(yīng)有的作用，相反會影響課堂教學(xué)的效率。例如，關(guān)于“兩點之間連線最短”的概念教學(xué)，有的教師設(shè)計以下兩個“情境”：

情境1：2006年7月1日，世界上海拔最高的鐵路——青藏鐵路全線通車了，如果你乘上這趟列車，你會發(fā)現(xiàn)火車穿越了許多隧道，如果你是工程師，你會這樣設(shè)計嗎？為什么？情境2：你認為小狗會走哪條路去吃骨頭？為什么？（教材所提供的情境：隔一條小溪，小溪上有一座小橋）第29頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日有人說，開始3分鐘就基本看到一節(jié)課的效果，說明問題情境在實現(xiàn)有效教學(xué)過程中的重要性。有效的問題情境應(yīng)當(dāng)符合以下要求：（1）符合學(xué)生的經(jīng)驗（生活的、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的），能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和好奇心；（2）能反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的；（3）能引發(fā)學(xué)生思考，并能迅速引入主題。第30頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日1.例題教學(xué)的地位和作用：(1)例題是學(xué)生解題的示范(2)例題是基本概念、基礎(chǔ)知識應(yīng)用的集中體現(xiàn)(3)例題教學(xué)是理解、吸收、消化和應(yīng)用新學(xué)的公式、法則、性質(zhì)、定理等知識的必要途徑(4)例題教學(xué)是提高學(xué)生興趣、激發(fā)學(xué)生思維的有效手段（三）講解例題多變化

——提高課堂教學(xué)有效性的關(guān)鍵二、實現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂有效性的策略第31頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日（三）講解例題多變化

——提高課堂教學(xué)有效性的關(guān)鍵二、實現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂有效性的策略例題是數(shù)學(xué)教材的核心內(nèi)容，它具有規(guī)范性、典型性。通過例題教學(xué)不僅可以使學(xué)生在掌握新知識的基礎(chǔ)上構(gòu)建新的認知結(jié)構(gòu)，而且能由例及理、由例及法、由例及類，使學(xué)生舉一反三，觸類旁通。例題教學(xué)追求的目標應(yīng)是：①學(xué)生易于接受;②對學(xué)生自我探索幫助較大。第32頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日（三）講解例題多變化

——提高課堂教學(xué)有效性的關(guān)鍵二、實現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂有效性的策略對于每一個具體的例題，在教學(xué)中應(yīng)該使：①學(xué)生意識到轉(zhuǎn)化；②學(xué)生積極參與；③大多數(shù)學(xué)生能對老師的思維過程心領(lǐng)神會；④少部分不能得出結(jié)論的學(xué)生也能積極思考，尋求轉(zhuǎn)化的方法。第33頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日2.例題教學(xué)的方式、方法（1）如何選擇與設(shè)計例題

1)為理解和鞏固新學(xué)知識而設(shè)計主要是定理、公式或法則的簡單應(yīng)用，以記憶、模仿為主要形式。例如：學(xué)了二元一次方程的概念以后，讓學(xué)生判斷哪些是二元一次方程？哪些不是等。BCADEF如，學(xué)了定理“平行四邊形兩組對邊分別相等”后，課本設(shè)計了例題1(P104)已知：E、F分別是□ABCD的邊AD、BC上的點，且AF∥CE，求證：DE＝BF.第34頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日2）為突出或強調(diào)某個定理或方法而設(shè)計

例如，學(xué)習(xí)了兩個三角形相似的判定（2）之三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似后，課本設(shè)計了例題3：如圖，判斷方格中的兩個三角形是否相似，并說明理由．BACDEF第35頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日3）為了綜合應(yīng)用有關(guān)知識而設(shè)計《直角三角形的復(fù)習(xí)》《平行四邊形的復(fù)習(xí)》第36頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日abcbbbaaacccccccaaaabbbbbbaaccccaabb中考復(fù)習(xí)課第37頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日bbaacc第38頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日bbaacc第39頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日bbaacc第40頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日bbaaccccaabb第41頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日bbaacc第42頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日bbaacc第43頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日bbaacc第44頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日2011初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試紹興市試卷－數(shù)學(xué)第45頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日第46頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日第47頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日bbaacc橫向拓展第48頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日bbaacc要想達到“見到圖形，想到性質(zhì)；想到性質(zhì)，想全性質(zhì)”就必須把基本圖形拿出來認真分析、研究和積累，形成基本圖形儲備。萬變不離本質(zhì)，殊途終須同歸第49頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日1）例題是學(xué)生解題的示范

新授課的例題應(yīng)注重解題的規(guī)范性：包括書寫格式、定理、性質(zhì)的應(yīng)用，做到推理合理，步步有據(jù)，同時對學(xué)生易錯、易漏問題進行設(shè)計，并先讓學(xué)生嘗試再加以糾正；2.例題教學(xué)的方式、方法

（2）如何開展例題教學(xué)第50頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日1）例題是學(xué)生解題的示范

單元復(fù)習(xí)課的例題應(yīng)注重對本單元知識作較系統(tǒng)的整理，對重點內(nèi)容作適當(dāng)?shù)耐貙捄图由睿瑢Ρ締卧袑W(xué)生易錯、易漏問題進行進一步的強化，對與本單元知識有關(guān)的內(nèi)容作科學(xué)合理的整合。2.例題教學(xué)的方式、方法

（2）如何開展例題教學(xué)綜合復(fù)習(xí)課的例題應(yīng)突出思路的點撥和歸納，定理、性質(zhì)在解題中的靈活運用，利用基本圖形、基本方法如何尋找解題思路？應(yīng)強調(diào)知識的綜合應(yīng)用，總結(jié)解題規(guī)律與方法。第51頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日2）例題應(yīng)具有典型性，要充分挖掘例題的教育素材例如在進行科學(xué)計數(shù)法的教學(xué)時，我結(jié)合學(xué)校部分學(xué)生亂倒剩飯現(xiàn)象日趨嚴重的現(xiàn)象補充例題如下：（1）由兩名學(xué)生測試得，數(shù)10粒米需要10秒鐘，則數(shù)100萬粒米需要_________秒（用科學(xué)計數(shù)法表示），若按天計算則需_______天；（2）浙江省在校生約為100萬，若每人一天節(jié)約1粒米，則一天可以節(jié)約________粒米，若100粒米重約2克，則一天可以節(jié)約_______克米（用科學(xué)計數(shù)法表示），若按斤算共_____斤；通過計算得全省在校生每人一天節(jié)約1粒米可節(jié)約40斤米，就是一個人40天的糧食，從而引導(dǎo)學(xué)生要愛惜糧食，養(yǎng)成勤儉節(jié)約的好習(xí)慣.第52頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日3）例題教學(xué)應(yīng)注意突出知識的延伸、思維能力的發(fā)展

例（九上第11頁例1）已知反比例函數(shù)的圖象的一支如圖所示。判斷ｋ是正數(shù)還是負數(shù)；（2）求這個反比例函數(shù)的解析式；補畫這個反比例函數(shù)的另一支。（圖略）第53頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日xyBAO圖1BAOPQ圖2xy第54頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日反比例函數(shù)中k的幾何意義第55頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日4）例題的設(shè)計要有層次，由淺入深，由易到難，逐步提高例如：2.4二次函數(shù)的應(yīng)用⑴主講二次函數(shù)在面積最小化問題上的應(yīng)用第56頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日例1、如圖窗戶邊框的上部分是由4個全等扇形組成的半圓，下部分是矩形。如果制作一個窗戶邊框的材料的總長度為6米，那么如何設(shè)計這個窗戶邊框的尺寸，才能使窗戶的透光面積最大（結(jié)果精確到0.01米）？課本例題：第57頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日情景建模問題：問題1.用長為8米的鋁合金制成如圖窗框，問窗框的寬和高各為多少米時，窗戶的透光面積最大？最大面積是多少？解：設(shè)窗框的一邊長為x米，則另一邊的長為（4－x）米，x4－x又令該窗框的透光面積為y米2，那么：y=x(4－x)(0＜x＜4)又有：a＜0，則：該函數(shù)的圖像開口向下，故函數(shù)有最大值而圖像的對稱軸為直線x=2，而且在自變量的取值范圍內(nèi)．即：y=－x2＋4x所以由求最值公式可知，當(dāng)x=2時，該函數(shù)達到最大值為4.答：該窗框的寬和高相等，都為2米時透光面積達到最大的4米2第58頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日問題2用8m長的鋁合金型材做一個形狀如圖所示的矩形窗框．應(yīng)做成長、寬各為多少時，才能使做成的窗框的透光面積最大？最大透光面積是多少？第59頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日問題3

如圖，要用總長為8m的鐵欄桿，一面靠墻，圍成一個矩形的花圃．怎樣圍法，才能使圍成的花圃面積最大？

第60頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日問題4

如圖，要用總長為8m的鐵欄桿，一面靠墻，（墻的可利用長度為2米），圍成一個矩形的花圃．怎樣圍法，才能使圍成的花圃面積最大？

第61頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日例已知AD為⊙O的直徑，弦AB=AC，求證：AD平分∠BAC。

ADBC５）在例題教學(xué)中應(yīng)注意一題多變、一題多問、一題多解，挖掘例題的廣度和深度。證法1：利用直徑所對的圓周角是直角，證直角三角形全等；證法2：利用同圓的半徑相等，證等腰三角形全等；

證法3：利用同圓中等弦的弦心距相等，證直徑是角平分線；

證法4：利用同圓中等弦對等弧，導(dǎo)出等弧所對的圓周角相等；

證法5：利用等圓中等弦所對的圓心角相等來推導(dǎo)。.O第62頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日例如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，AD//BC，已知∠B＝60°，AD=15,AB=45,求BC的長.一題多解第63頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日等腰三角形練習(xí)：已知等腰三角形一個底角是70°，求其余兩角的度數(shù).變式1.已知等腰三角形的頂角是70°，求它的底角的度數(shù).變式2.已知等腰三角形的一個內(nèi)角是70°，求其余內(nèi)角的度數(shù).變式3.已知等腰三角形的一個內(nèi)角是100°，求其余內(nèi)角的度數(shù).一題多變第64頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日3.1圓(1)

例1如圖所示，在A地正北60m的Ｂ處有一幢民房，正西80m的C處有一變電設(shè)施，在BC的中點D處是一古建筑。

因施工需要，必須在A處進行一次爆破。為使民房、變電設(shè)施、古建筑都不遭到破壞，問爆破影響面的半徑應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？一題多變第65頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

例1如圖所示，在A地正北60m的Ｂ處有一幢民房，正西80m的C處有一變電設(shè)施，在BC的中點D處是一古建筑。E變式：若BC是一條馬路，且馬路上有行人和車輛,在爆破時也不能影響到馬路的行人和車輛，那結(jié)果又如何呢？第66頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日例1：已知:如圖,四邊形ABCD的四個頂點在⊙O上，求證：∠B+∠D=18003.4圓周角（1）變式1：已知:如圖,四邊形ABCD的四個頂點在⊙O上，∠A＝100°，點E在BC的延長線上，求∠DCE的度數(shù)。ＯＣＢＡＤE第67頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日ＯＣＢＡＤ變式2：如圖,B是AC上的一點，∠AOC＝n°，求∠ABC的度數(shù)

?！凶兪?：如圖,在⊙O中，∠AOC=1200，∠ACB=250,求∠BAC的度數(shù)。第68頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日如圖1，在等腰梯形ABCD中，已知AB=6，BC=2，∠DAB=45°以AB所在直線為x軸，A為坐標原點，建立平面直角坐標系，將等腰梯形ABCD繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到等腰梯形OEFG求：（1）寫出C、F兩點的坐標.（2）將等腰梯形ABCD沿x軸負半軸平行移動，設(shè)移動后的OA=x，如圖2，等腰梯形ABCD與等腰梯形OEFG的重疊部分面積為y，當(dāng)D移動到等腰梯形OEFG的內(nèi)部時，求y與x之間的函數(shù)解析式.一題多變第69頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日一題多變矩形平行四邊形正三角形第70頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日1.要根據(jù)學(xué)生基礎(chǔ)和接受能力及教學(xué)目標，進行相應(yīng)變式教學(xué)，在變式教學(xué)中一定要做到學(xué)生“跳一跳摸得到”的原則，一題多變是在學(xué)生具有一定基礎(chǔ)知識和運用能力的前提下，才可以運用，否則會適得其反。“一題多變”應(yīng)注意以下幾方面問題：2.變式教學(xué)以調(diào)動學(xué)習(xí)主觀能動性為主要目的，充分發(fā)揮學(xué)生潛能。教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生去“變”，讓學(xué)生在“變”中獲得知識，在“變”中提高能力，在“變”中形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。3.引申題目數(shù)量要有“度”，引申過多，不但會加重學(xué)生負擔(dān)和無效勞動，而且會使學(xué)生產(chǎn)生逆反心理。變式教學(xué)中例題習(xí)題的引申方式、形式、內(nèi)容，要根據(jù)教材內(nèi)容和學(xué)生情況來安排，恰當(dāng)合理變式引申，可使學(xué)生一題多解，有助于學(xué)生把知識學(xué)活，有助于學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)“最佳動機”和激發(fā)學(xué)生靈感，升華學(xué)生思維，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。第71頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日6）教師在例題教學(xué)過程中應(yīng)關(guān)注學(xué)生，注意反饋，改進教學(xué)教師在例題教學(xué)中一個十分重要的工作就是關(guān)注學(xué)生在聽講、探究、解題過程中的困惑、思維障礙等，確定解題的難點，采取有效手段加以突破。特別是思維定勢的負遷移對學(xué)生思維的影響。要防止：（1）學(xué)生在自主探索中，多數(shù)學(xué)生走過場、一知半解，沒有形成解題思路；（2）學(xué)生沒有帶著自己的問題隨同老師共同探討分析，只是一味被動思維。（3）學(xué)生的理解停留在例題的表層，沒有深入進去，不能舉一反三、靈活應(yīng)用。第72頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日7）教師在例題教學(xué)過程中應(yīng)突出探索、暴露思路、強化應(yīng)用、注重解題后的小結(jié)與歸納。(1)例題教學(xué)中應(yīng)激發(fā)學(xué)生探索的興趣和激情，鼓勵學(xué)生積極參與，大膽想象。(2)例題教學(xué)中應(yīng)進行必要引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生形成自己的解題思路。(3)在例題的教學(xué)上應(yīng)著重于“應(yīng)用所學(xué)知識”，強調(diào)關(guān)鍵點，特別是在一題多解、一題多變等教學(xué)時應(yīng)注重求異思維，提高例題教學(xué)的有效性。(4)教師在例題教學(xué)中若能進行方法歸類、規(guī)律小結(jié)、技能拓展，將有利于學(xué)生知識遷移、舉一反三。第73頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日例題教學(xué)是課堂教學(xué)的核心，對教師本身的素質(zhì)具有較高要求，全體教師應(yīng)該認真研究試題，研究解題方法和解題策略，不斷提高自己的解題能力，只有自己具有較高的解題水平，才能在課堂教學(xué)中講得深、講得透、講的活、講得新?！案拍钚汀崩}，要突出本質(zhì)屬性

“基礎(chǔ)型”例題，要緊扣定理、法則

“技巧型”例題，要突出思路點撥

“規(guī)律型”例題，要注意歸納綜合

“綜合型”例題，要尋求知識聯(lián)系

“開放型”例題，要立足現(xiàn)實生活第74頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，不是不需要訓(xùn)練，相反，我們認為適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)訓(xùn)練是形成并鞏固數(shù)學(xué)活動成果的重要的一個環(huán)節(jié)。但是我們反對超量、過度的訓(xùn)練，過去的“精講多練”已經(jīng)不符合現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的目標。（四）數(shù)學(xué)訓(xùn)練科學(xué)化

——以生為本的根本二、實現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂有效性的策略第75頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日全面正確認識訓(xùn)練的功能是保證有效訓(xùn)練的基礎(chǔ)。進行一定量的訓(xùn)練可以促使學(xué)生對數(shù)學(xué)的基本概念、法則、公式定律、性質(zhì)的進一步理解、掌握、鞏固和應(yīng)用，可以促使學(xué)生的計算、解題、畫圖、測量等基本技能轉(zhuǎn)化為熟練的技能技巧。然而，僅僅把訓(xùn)練的目標定位在這樣的層面，就會陷入“題海戰(zhàn)術(shù)”。我們必須注意到科學(xué)訓(xùn)練的更為重要的目標：

（1）發(fā)展功能：通過訓(xùn)練，使學(xué)生的分析、綜合、概括、判斷、推理等初步邏輯思維能力由簡單向復(fù)雜、由低級向高級逐步得到提高，獲得數(shù)學(xué)思想方法，思維品質(zhì)得到提升；（2）反饋功能：訓(xùn)練可以即時反饋學(xué)生學(xué)習(xí)狀況和信息，正確的得到強化，錯誤的得到糾正，及時調(diào)控教學(xué)進程。教學(xué)質(zhì)量的保證，在很大程度上依賴于能否獲得矯正性的反饋信息，訓(xùn)練正是獲得這種信息的重要渠道.第76頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日有效的數(shù)學(xué)訓(xùn)練需要注意以下幾個方面：1.問題的針對性——要針對本節(jié)課數(shù)學(xué)的核心問題，準確把握教學(xué)目標，突出重點；2.適度的聯(lián)系性——與學(xué)生的生活、生產(chǎn)實際，與學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)的相關(guān)數(shù)學(xué)的聯(lián)系，突出用數(shù)學(xué)的意識與方法；第77頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日4.過程的自主性——在學(xué)生自主探究、合作交流中及時反饋信息，教師及時進行有效的指導(dǎo)。3.重視變式練習(xí)——變式練習(xí)是指通過不同形式變換概念的非本質(zhì)屬性，來突出概念的本質(zhì)屬性的練習(xí)。有效的數(shù)學(xué)訓(xùn)練需要注意以下幾個方面：變式練習(xí)能幫助學(xué)生從事物的各種表現(xiàn)形式和不同的情景變化中認識事物的本質(zhì)屬性，從而對概念的理解更概括更精確更深刻。它對培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、靈活性、批判性、創(chuàng)造性具有十分重要的作用。第78頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日（五）運算能力加強化

——數(shù)學(xué)能力的保障二、實現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂有效性的策略運算能力是數(shù)學(xué)的三大基本能力之一，我國基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程一直將運算作為其主要內(nèi)容，中小學(xué)數(shù)學(xué)教育也一直重視培養(yǎng)學(xué)生的運算能力，并取得了許多成績和寶貴經(jīng)驗。但是學(xué)生的運算能力差的問題卻依然存在，造成的原因是多方面的，有人怪罪于計算器的普及使用，有人認為是因為考試對計算的過高要求，有人認為目前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)仍存在著問題……第79頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日教學(xué)過程中，由于一些教師對運算能力的理解不太準確，將其僅僅等同于運算技能，往往將注意力集中在對運算法則的記憶、運算過程的技巧訓(xùn)練上，并常常以自己的“經(jīng)驗”進行傳授和模仿，只追求學(xué)生算得又快又對而缺少對運算意義的了解以及對算理算法的理解和掌握。第80頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日1.運算出錯是因為“粗心”嗎？

“怎么老是那么粗心？”“做了這么多遍，怎么還是算錯？”，這樣的話我們經(jīng)常聽到。當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)那些“簡單的”、“熟悉”甚至“低級”的錯誤，如果教師簡單地歸結(jié)為學(xué)生的“不認真”、“馬虎”、“粗心”等，而不好好了解、分析學(xué)生產(chǎn)生這些錯誤的思維過程，光靠日復(fù)一日、年復(fù)一年的技能訓(xùn)練，學(xué)生的運算能力是難以得到提高的。第81頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日（1）2+a﹥2為什么錯了？初學(xué)代數(shù)時，一些學(xué)生總認為2+a比2大。在這個問題弄清楚后，你再問他“2+a與a哪個大”，他想“再不要上當(dāng)了，還是分a為正負零來回答吧！”如果教師對這種錯誤的原因不加以分析，對學(xué)生的認識過程不作科學(xué)的了解，類似的錯誤仍然會繼續(xù)發(fā)生。如“a的平方一定比a大”、“一個正數(shù)開方后一定變小了”等。第82頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日出現(xiàn)這種錯誤的一個方面原因是學(xué)生對“+”的理解問題。認為“+”就是“增加”，“增加”了，于是變大了。這樣的“定勢”在剛進入初中的學(xué)生來說會經(jīng)常出現(xiàn)。從本質(zhì)意義上說，這種錯誤的根源是對運算的意義理解不夠。第83頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日另一方面是學(xué)生對“字母表示數(shù)”的概念理解不到位。進入初中階段，由于數(shù)的范圍已經(jīng)擴充到了負數(shù)，這里的字母a既可以是正數(shù)，也可以表示一個負數(shù)。《標準》提出，“在現(xiàn)實情境中進一步理解用字母表示數(shù)的意義”。由于現(xiàn)實情境中的數(shù)量一般是正數(shù)，僅僅通過的一些實例難以突破這種思維的定勢。第84頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日（2）為什么（-3）×（-4）=9？在學(xué)習(xí)有理數(shù)的乘法運算“負負得正”時，一位學(xué)生通過計算，得到（-3）×（-4）=9的結(jié)論。這個結(jié)果顯然是錯誤的，教師不假思索就否定了這個學(xué)生的結(jié)果，并批評這個學(xué)生計算不用心。這個結(jié)果真的是因為學(xué)生不用心嗎？課后與這位同學(xué)進行了交流，他說：根據(jù)乘法法則，-3乘以-4就是按照數(shù)軸的反方向的反方向，以3為單位，數(shù)4個單位。你看，我從數(shù)軸的-3這個位置開始，向正方向數(shù)，不是正好數(shù)到+9的位置嗎？第85頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日（-3）×（-4）=9并沒有全錯，至少結(jié)果的符號判斷是對的，只是該學(xué)生對利用數(shù)軸判斷時的理解上出現(xiàn)了一點偏差。當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)運算錯誤時，有時候教師是需要聽一聽學(xué)生是如何思考的，了解學(xué)生運算出現(xiàn)的過程和原因有助于幫助學(xué)生認識并及時糾正錯誤，才能有效促進和提高學(xué)生的運算能力。第86頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日（3）檢驗了怎么還錯？

一位九年級學(xué)生拿了一份剛做好的試卷（作業(yè)）來找我，希望我面批一下。我瀏覽了一下，發(fā)現(xiàn)該生在解一元一次方程、一元一次方程組、一元二次方程和分式方程都出現(xiàn)了不同程度的錯誤。第87頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

檢驗并不只是解分式方程必須的一個過程，雖然在解一元一次方程（組）的最后不需要用文字的形式表示這種過程，但這種檢驗常常能幫助我們迅速判斷結(jié)果的真?zhèn)?。分式方程的檢驗也不能簡單地只看分母的值是否為0，還應(yīng)該看結(jié)果能否滿足原方程，用以發(fā)現(xiàn)過程是否有錯誤。這些暴露了我們在教學(xué)過程中，只關(guān)注一些“技巧”往往會使得學(xué)生的思維僵化。第88頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日經(jīng)常算錯，是運算能力差的表現(xiàn)，只求細心還不夠，還要提高其驗算能力并養(yǎng)成良好的習(xí)慣和方法。教學(xué)過程中，教師應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生正確地進行驗算，培養(yǎng)學(xué)生自我檢查的習(xí)慣，形成對自己工作的責(zé)任感，從而有根據(jù)地深信自己工作的正確性。第89頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日2.運算能力的特點及其培養(yǎng)途徑運算能力是一個綜合性的能力。它與記憶能力、理解能力、推理能力、表達能力、以及空間想象等其他認識能力相互滲透、相互支撐著的：學(xué)生不能熟記各種數(shù)據(jù)和公式，就無法正確、迅速地進行各種運算；如果對概念的理解不透徹，或根本不理解，運算必然會陷入盲目性；學(xué)生不善推理，就無法選取合理的運算方法，甚至對不合理的運算結(jié)果也必然覺察不出；估計能力與空間想象能力常常能幫助學(xué)生預(yù)測結(jié)果，從而也容易糾正不正確的運算結(jié)果……第90頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日對于中學(xué)數(shù)學(xué)運算能力的要求大致以下幾個層次：①計算的準確性——基本要求②計算的合理、簡捷、迅速——較高要求③計算的技巧性、靈活性——高標準要求。運算技能上升到能力的層次，就能把運算的技巧與發(fā)展思維融合在一起。

第91頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日（1）經(jīng)歷過程，理解運算的意義

《標準》降低了對有理數(shù)運算的要求，降低了式的運算和變形的難度和技巧，并不代表現(xiàn)在不需要重視學(xué)生運算能力的培養(yǎng)，而是結(jié)合時代特點對運算的內(nèi)涵及其重點進行必要的調(diào)整。從基礎(chǔ)教育的目標要求來看，重要的不再是計算的熟練程度和技巧，而是對運算意義的理解。第92頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日傳統(tǒng)的代數(shù)課程，給人的印象是公式多。單就乘法公式就有六、七個，如果考慮那些變形，那就更多了。而現(xiàn)在《標準》只要求兩個：平方差公式和完全平方公式。但對其理解的要求更高了：會推導(dǎo)乘法公式，了解公式的幾何背景，并能進行簡單計算。在教學(xué)中。通過學(xué)生自己的發(fā)現(xiàn)過程，可以體會到數(shù)與代數(shù)中公式的這一本質(zhì)。而且如果真的碰到的話，也會用類似的方法計算或推導(dǎo)出新的公式。因此最主要的還是對“公式”本身的意義和作用的理解，體會公式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過程，懂得怎么應(yīng)用公式，而不在公式的多少。第93頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日（2）講究策略，優(yōu)化運算的過程

運算過程可以理解為是根據(jù)運算定義及其性質(zhì)從已知的運算對象推導(dǎo)出結(jié)果的過程，因此，運算過程的實質(zhì)是一種推理過程。例如，1+2+3+…+99+100=？第94頁，共108頁，2023年，2月20日，星期日

加強運算策略的學(xué)習(xí)，可以避免復(fù)雜運算，優(yōu)化解決問題的過程。在教學(xué)中要為學(xué)生提供足