《線性代數(shù)》第二章 矩陣

線性代數(shù)矩陣第二章矩陣是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)工具，不僅僅可以解線性方程組，其理論與方法還貫穿于線性代數(shù)的各個(gè)方面，且在數(shù)學(xué)的許多分支都有重要應(yīng)用．本章將介紹矩陣的概念及其運(yùn)算、逆矩陣、分塊矩陣、矩陣的初等變換及相應(yīng)的初等矩陣等有關(guān)理論．第二章２.1矩陣的概念一、引例引例某物流公司向三個(gè)超市配送四種商品，設(shè)

表示某物流公司向第

，個(gè)超市配送第

種商品的數(shù)量，發(fā)貨方案見(jiàn)表2-1．第二章２.1矩陣的概念二、矩陣的概念定義１由

個(gè)數(shù)

排成的

行

列的矩形數(shù)表，稱為

矩陣．矩陣通常用大寫黑體英文字母表示，記作（１）也簡(jiǎn)記為

．其中

稱為矩陣的第

行第

列的元素，簡(jiǎn)稱為矩陣

的

元．為標(biāo)明矩陣的行數(shù)

和列數(shù)

，矩陣

也記作或．如果矩陣

的元素是實(shí)數(shù)，則稱

是實(shí)矩陣；如果矩陣

的元素是復(fù)數(shù)，則稱

是復(fù)矩陣．第二章２.1矩陣的概念二、矩陣的概念元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記作

或

．如果矩陣

只有一行，即

，則稱為行矩陣，或稱行向量．同樣，如果矩陣只有一列，即，則稱為列矩陣，或稱列向量．第二章２.1矩陣的概念二、矩陣的概念若矩陣A、B，對(duì)應(yīng)的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，則稱它們?yōu)橥途仃嚒６x２若矩陣和矩陣為同型矩陣，且對(duì)應(yīng)的元素相等，即，則稱矩陣A與矩陣B相等，記作．注意矩陣和行列式是不同的兩個(gè)概念，不要混淆了它們的實(shí)質(zhì)及表現(xiàn)形式．第二章２.2矩陣的運(yùn)算一、矩陣的加法和數(shù)與矩陣的乘積（簡(jiǎn)稱數(shù)乘）１．矩陣的加（減）法定義１設(shè)矩陣，，則由它們的對(duì)應(yīng)元素相加，所得到的矩陣，稱為矩陣A與矩陣B的和，記作，即注意只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，這兩個(gè)矩陣才能進(jìn)行加法運(yùn)算．第二章２.2矩陣的運(yùn)算一、矩陣的加法和數(shù)與矩陣的乘積（簡(jiǎn)稱數(shù)乘）１．矩陣的加（減）法定義２設(shè)矩陣，則定義矩陣犃的負(fù)矩陣為，即只需把矩陣犃的每個(gè)元素改變符號(hào)即可．于是矩陣的減法也可以看作矩陣加法的逆運(yùn)算．，即矩陣減矩陣可以看作矩陣加上矩陣的負(fù)矩陣．第二章２.2矩陣的運(yùn)算一、矩陣的加法和數(shù)與矩陣的乘積（簡(jiǎn)稱數(shù)乘）１．矩陣的加（減）法矩陣的加法運(yùn)算滿足下列運(yùn)算規(guī)律：設(shè)

，

，

都是同型矩陣，則有（１）交換律

；（２）結(jié)合律

；（３）

（其中

與

為同型矩陣）；（４）

．第二章２.2矩陣的運(yùn)算一、矩陣的加法和數(shù)與矩陣的乘積（簡(jiǎn)稱數(shù)乘）２．?dāng)?shù)與矩陣相乘定義３設(shè)

矩陣，以數(shù)乘矩陣的每一個(gè)元素所得到的矩陣，稱為數(shù)乘矩陣，記作，即第二章２.2矩陣的運(yùn)算二、矩陣的乘法定義４設(shè)矩陣，矩陣，定義與的乘積是一個(gè)矩陣，且的第行第列元素

．為了使讀者看得更加清楚，我們進(jìn)一步寫出乘積矩陣的表達(dá)式：第二章２.2矩陣的運(yùn)算二、矩陣的乘法這里強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：（１）只有當(dāng)（左矩陣）的列數(shù)等于（右矩陣）的行數(shù)時(shí)，與才能相乘．（２）乘積矩陣的第行第列元素等于將左矩陣的第行元素與右矩陣第列元素對(duì)應(yīng)相乘以后再求和．即（３）乘積矩陣是矩陣，行數(shù)等于左矩陣的行數(shù)，的列數(shù)等于右矩陣的列數(shù)．第二章２.2矩陣的運(yùn)算三、矩陣的轉(zhuǎn)置定義５設(shè)是矩陣，將的行與列依次互換，得到矩陣，則稱此矩陣為的轉(zhuǎn)置矩陣，記作或，即設(shè)第二章２.2矩陣的運(yùn)算四、對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣定義６若階方陣與它的轉(zhuǎn)置矩陣相等，即，則稱為對(duì)稱矩陣．由定義可知，對(duì)于對(duì)稱矩陣有．反之亦然．若階方陣與它的轉(zhuǎn)置矩陣互為負(fù)矩陣，即，則稱為反對(duì)稱矩陣．由定義可知，對(duì)于反對(duì)稱矩陣有．反之亦然．第二章２.2矩陣的運(yùn)算五、方陣的行列式定義７由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變），稱為方陣的行列式，記作或．注意方陣與方陣的行列式是兩個(gè)不同的概念，前者是個(gè)數(shù)按一定次序排列的一張數(shù)表，而后者是個(gè)數(shù)按一定運(yùn)算法則確定的一個(gè)數(shù)值．設(shè)，為階方陣，為數(shù)，方陣的行列式滿足下列規(guī)律：（１）；（２）；（３）．第二章２.3逆矩陣一、逆矩陣的概念定義１設(shè)為階方陣，如果存在階方陣，使得，則稱方陣是可逆矩陣，稱是的逆矩陣，也簡(jiǎn)稱是的逆．如果矩陣是可逆的，那么的逆矩陣是唯一的．事實(shí)上，如若、都是的逆矩陣，則有．于是．由此說(shuō)明的逆矩陣是唯一的．將可逆矩陣的逆矩陣記為．由定義可知，矩陣與其逆矩陣的地位是平等的，因此也可以稱為可逆矩陣，稱為的逆矩陣，即．第二章２.3逆矩陣二、用伴隨矩陣求逆矩陣第二章２.3逆矩陣三、可逆矩陣的運(yùn)算規(guī)律從逆矩陣的定義，可以得出可逆矩陣具有下列運(yùn)算規(guī)律：（１）若矩陣可逆，則也可逆，且；（２）若矩陣可逆，數(shù)，則也可逆，且；（３）若階矩陣與都可逆，則可逆，且，一般地，若都可逆，則可逆，且；（４）若矩陣可逆，則也可逆，且；（５）若矩陣可逆，則．第二章２.4分塊矩陣一、分塊矩陣的概念對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較大的矩陣，為了簡(jiǎn)化矩陣的運(yùn)算，運(yùn)算時(shí)常對(duì)矩陣作適當(dāng)?shù)姆謮K，使階數(shù)較高矩陣的運(yùn)算化為階數(shù)較低矩陣的運(yùn)算．所謂矩陣的分塊，即是用若干條縱線和橫線將矩陣分成許多小矩陣，每一小矩陣稱為矩陣的子塊，以子塊作為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣．將矩陣化為分塊矩陣往往會(huì)使矩陣的結(jié)構(gòu)更加清晰，便于討論及運(yùn)算．第二章２.4分塊矩陣二、分塊矩陣的運(yùn)算第二章２.4分塊矩陣二、分塊矩陣的運(yùn)算第二章２.4分塊矩陣二、分塊矩陣的運(yùn)算第二章２.4分塊矩陣二、分塊矩陣的運(yùn)算第二章２.4分塊矩陣二、分塊矩陣的運(yùn)算５．分塊對(duì)角矩陣設(shè)方陣的分塊矩陣其中主對(duì)角線上子塊都是方陣，其余子塊都是零矩陣，則稱為分塊對(duì)角矩陣．分塊對(duì)角矩陣的行列式具有以下性質(zhì)：．第二章２.4分塊矩陣三、分塊矩陣與線性方程組已知線性方程組記其中稱為線性方程組的系數(shù)矩陣，稱為未知數(shù)矩陣（或向量），稱為常數(shù)項(xiàng)矩陣（或向量），稱為增廣矩陣．增廣矩陣按分塊矩陣的記法，可以寫為

第二章２.4分塊矩陣三、分塊矩陣與線性方程組利用矩陣的乘法，此方程組可記為．（２）系數(shù)矩陣是矩陣，若按行分為塊，每一行稱為矩陣的行向量．若第行記作

，則矩陣可記為

則線性方程組可記為第二章２.4分塊矩陣三、分塊矩陣與線性方程組克拉默法則設(shè)含有個(gè)未知量的個(gè)線性方程的方程組如果線性方程組（５）的系數(shù)行列式那么方程組（５）存在唯一解第二章２.4分塊矩陣三、分塊矩陣與線性方程組其中是把系數(shù)行列式中第列元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)列代替后所得到的階行列式，即第二章２.5矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換定義１設(shè)，則稱下面三種變換為矩陣的初等行變換：（i）對(duì)調(diào)變換：即對(duì)換兩行（對(duì)換，兩行，記作）；（ii）數(shù)乘變換：即以數(shù)（）乘某一行的所有元素（第行乘數(shù)，記作）；（iii）倍加變換：即把某一行所有元素的倍加到另一行對(duì)應(yīng)元素上（第行的倍加到第行上，記作）．第二章２.5矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換定義２如果矩陣經(jīng)過(guò)有限次初等行變換變成矩陣，就稱矩陣與行等價(jià)；如果矩陣經(jīng)過(guò)有限次初等列變換變成矩陣，就稱矩陣與列等價(jià)；如果矩陣經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成矩陣，就稱矩陣與等價(jià)，記作．矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有以下性質(zhì)：（i）反身性；（ii）對(duì)稱性若，則；（iii）傳遞性若，則．用初等行變換將矩陣化為行階梯形矩陣與行最簡(jiǎn)形矩陣．第二章２.5矩陣的初等變換二、初等矩陣１．三種初等矩陣定義１對(duì)單位矩陣施以一次初等變換所得到的矩陣稱為初等矩陣．三種初等變換對(duì)應(yīng)有三種初等矩陣．（１）第一種初等矩陣（對(duì)調(diào)兩行或?qū)φ{(diào)兩列）（２）第二種初等矩陣（以數(shù)乘某行或某列）（３）第三種初等矩陣（以數(shù)乘某行（或列）加到另一行（或列）上去）第二章２.5矩陣的初等變換二、初等矩陣２．初等矩陣有關(guān)定理及應(yīng)用定理１設(shè)是一個(gè)矩陣，對(duì)施行一次初等行變換，相當(dāng)于在的左邊乘相應(yīng)的階初等矩陣；對(duì)施行一次初等列變換，相當(dāng)于在的右邊乘相應(yīng)的階初等矩陣．定理２方陣可逆的充分必要條件是存在有限個(gè)初等矩陣，使．推論１方陣可逆的充分必要條件是．推論２矩陣與等價(jià)的充分必要條件是存在犿階可逆矩陣及階可逆矩陣，使第二章２.6矩陣的秩一、矩陣秩的概念及有關(guān)定理定義１設(shè)是一個(gè)矩陣，在中任取行列，將位于這些行列交叉處的個(gè)元素，按照原來(lái)相