新版推薦學(xué)習(xí)重慶市2023屆中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章幾何初步第10節(jié)銳角三角函數(shù)和解直角三角形試題

生活的色彩就是學(xué)習(xí)生活的色彩就是學(xué)習(xí)K12的學(xué)習(xí)需要努力專業(yè)專心堅(jiān)持K12的學(xué)習(xí)需要努力專業(yè)專心堅(jiān)持生活的色彩就是學(xué)習(xí)K12的學(xué)習(xí)需要努力專業(yè)專心堅(jiān)持第十節(jié)銳角三角函數(shù)和解直角三角形課標(biāo)呈現(xiàn)指引方向1．利用相似的直角三角形，探索并認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)(sinA，cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值．2．會(huì)使用計(jì)算器由銳角求它的三角函數(shù)值，由三角函數(shù)值求它的對(duì)應(yīng)銳角．3．能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，考點(diǎn)梳理夯實(shí)根底1．銳角三角函數(shù)的概念在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，那么(1)∠A的正弦：=_____；答案；(1)∠A的余弦：=_____；答案；(3)∠A的正切：=_____；答案；三邊關(guān)系：___________．答案；三角關(guān)系：______________。答案；2．特殊的三角函數(shù)30°，45°，60°角的三角函數(shù)值3．解直角三角形的應(yīng)用(1)在進(jìn)行測(cè)量時(shí)，從下往上看，視線與水平方向的夾角叫做仰角：從上往下看，視線與水平方向的夾角叫俯角，(2)坡度和坡角坡面的鉛直高度矗和水平寬度f的比值叫做坡度或坡比，記作，坡面與水平面的夾角叫坡角，用表示，．(3)方位角方位：上北下南，左東右西，描述：“北偏東〔西〕××度〞或“南偏東〔西〕××度．考點(diǎn)一銳角三角函數(shù)的概念【例l】〔2023廣東〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4坐標(biāo)為(4，3)，那么cosa的值是〔〕A.B.C.D.答案：D解題點(diǎn)撥：此題考查了三角函數(shù)的定義，屬于根底題，解題的關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)的定義和勾股定理的運(yùn)用．考點(diǎn)三特殊角的三角函數(shù)【例2】〔2023慶陽〕在△ABC中，假設(shè)角A，B滿足，那么∠C的大小是〔〕A.45°B.60°C.75°D.105°答案：D解題點(diǎn)撥：此題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值，解答此題的關(guān)鍵是掌握幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值．?多考點(diǎn)三盱解直角三角形及其應(yīng)用【例3】〔2023重慶〕某數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)進(jìn)行測(cè)量大樹CD高度酌綜合實(shí)踐活動(dòng)，如圖，在點(diǎn)A處測(cè)得直立于地面的大樹頂端C的仰角為36。然后沿在。同一剖面的斜坡AB行走13米至坡頂B處，然后再沿水平方向行走6米至大樹腳底點(diǎn)D處，斜面AB的坡度〔或坡比〕，那么大樹CD的高度約為多少米？〔參考數(shù)據(jù)：sin36≈0.59，cos36≈0.81，tan36≈0.73〕解題點(diǎn)撥：此題考查了解直角三角形的應(yīng)用、勾股定理、三角函數(shù)：由勾股定理得出方程是解決問題的關(guān)鍵．解：作BF⊥AE于F，如下圖：那么FE=BD=6米，DE=BF，∵斜面AB的坡度，∴AF=2.4BF，設(shè)BF=x米，那么AF=2.4x米，在Rt△ABF中，由勾股定理得：解得：x=5，∴DE=BF=5米，AF=12米，∴AE=AF+FE=18米，在Rt△ACE中,CE=AEtan36°=18x0.73=13.14米∴CD=CE-DE=13.14米-5米≈8.1米．課堂訓(xùn)練當(dāng)堂檢測(cè)1．〔2023樂山〕如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，那么以下結(jié)論不正確的選項(xiàng)是〔〕A．B．C．D．答案：C2．〔2023荊州〕如圖，在4x4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，那么圖中∠ABC的余弦值是()A．2B．C.D．答案：D〔2023大慶〕一艘輪船在小島4的北偏東60。方向距小島80海里的B處，沿正西方向航行3小時(shí)后到達(dá)小島的北偏西45°的C處，那么該船行駛的速度為______________海里／小時(shí)答案：4．〔2023鄂州〕為了維護(hù)海洋權(quán)益，新組建酌國(guó)家海洋局加大了在南海的巡邏力度．一天，我兩艘海監(jiān)船剛好在某島東西海岸線上的A、B兩處巡邏，同時(shí)發(fā)現(xiàn)一艘不明國(guó)籍的船只停在C處海域，如下圖，海里，在B處測(cè)得C在北偏東45°的方向上．A處測(cè)得C在北偏西30DU3的方向上，在海岸線A日上有一燈塔D．得海里．(1)分別求A與C及B與C的距離AC，BC〔結(jié)果保存根號(hào)〕(2)在燈塔D周圍100海里范圍內(nèi)有暗礁群，在A處海監(jiān)船沿AC前往C處盤查，途中有無觸礁的危險(xiǎn)？〔參考數(shù)據(jù)：，，〕解：(1)如答案圖1所示，過點(diǎn)C作CE⊥AB亍點(diǎn)E，可得∠CBD=45°，∠CAD=60°，設(shè)CE=x,在RtACBE中,BE=CE=x,在Rt△CAE中,AE=，∵∴解得：，那么答：A與C的距離為海里，B與C的距離為海里：(2)如答案圖2所示，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F．在△ADF中，∵,∠CAD=60°∴故海監(jiān)船沿AC前往C處盤查，無觸礁的危險(xiǎn)A組根底訓(xùn)練一、選擇題1．〔2023沈陽〕如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，那么BC的長(zhǎng)是()A．B．4c．D．答案：D2．〔2023南寧〕如圖，廠房屋頂人字形〔等腰三角形〕鋼架的跨度BC=10米，∠B=36°，那么中柱AD〔D為底邊中點(diǎn)〕的長(zhǎng)是〔〕A．5sin36°米B．5cos36°米C．5tan36°米D．10tan36°米答案：C3．〔2023安順〕如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，那么∠ABC的正切值是()A．2B．C．D．答案：D4.〔2023云南〕一座樓梯的示意圖如下圖，BC是鉛垂線，CA是水平線，BA與CA的夾角為θ.現(xiàn)要在樓梯上鋪一條地毯，CA＝4米，樓梯寬度為1米，那么地毯的面積至少需要〔〕A.米2B.米2C.〔〕米2D.〔〕米2【答案】D二、填空題5.〔2023寧波〕如圖，在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，小聰在距離旗桿10米的A處測(cè)得旗桿頂端B的仰角為60°，測(cè)角儀高AD為1米，那么旗桿高BC為米〔結(jié)果保存根號(hào)〕【答案】〔〕6.〔2023十堰〕在綜合實(shí)踐課上，小聰所在小組要測(cè)量一條河的寬度，如圖，河岸EF∥MN，小聰在河岸MN上點(diǎn)A處用測(cè)角儀測(cè)得河對(duì)岸小樹C位于東北方向，然后沿河岸走了30米，到達(dá)B處，測(cè)得河對(duì)岸電線桿D位于北偏東30°方向，此時(shí)，其他同學(xué)測(cè)得CD＝10米.請(qǐng)根據(jù)這些數(shù)據(jù)求出河的寬度為米.〔結(jié)果保存根號(hào)〕【答案】〔〕7.〔2023菏澤〕如圖，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE＝CE，連接BE那么tan∠EBC＝.【答案】8.〔2023隨州〕某班數(shù)學(xué)興趣小組利用數(shù)學(xué)課活動(dòng)時(shí)間測(cè)量位于烈山山頂?shù)难椎鄣裣窀叨?，烈山坡面與水平在夾角為30°，山高857.5尺，組員從山腳D處沿山坡向著雕像方向前進(jìn)1620尺到達(dá)E點(diǎn)，在點(diǎn)E處測(cè)得雕像頂端A的仰角為60°，求雕像AB的高度.解：如圖，過點(diǎn)E作EF⊥AC，EG⊥CD，在Rt△DEG中，∵DE＝1620，∠D＝30°，∴EG＝DEsin∠D＝＝810，∵BC＝857.5，CF＝EG，∴BF＝BC－CF＝47.5，在Rt△BEF中，tan∠BEF＝，∴EF＝BF，在Rt△AEF中，∠AEF＝60°，設(shè)AB＝x，∵tan∠AEF＝，∴AF＝EFtan∠AEF，∴x＋47.5＝347.5，∴x＝95.答：雕像AB的高度為95尺．9．〔2023廣州〕如圖，某無人機(jī)于空中A處探測(cè)到目標(biāo)B、D的俯角分別是30°、60°，此時(shí)無人機(jī)的飛行高度AC為60m．隨后無人機(jī)從A處繼續(xù)水平飛行30m到達(dá)A′處．(1)求A、B之間的距離：(2)求從無人機(jī)A′上看目標(biāo)D的俯角的正切值解：(1)由題意得：∠ABD＝30°，∠ADC＝60°，在Rt△ABC中，AC＝60m，∴AB＝；(2)過A′作A′E⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于E，連接A′D，那么A′E＝AC＝60，CE＝AA′＝，在Rt△ADC中，AC＝60m，∠ADC＝60°，∵DC＝，∴DE＝，∴tan∠AA′D＝tan∠A′DC＝.答：從無人機(jī)A′上看目標(biāo)D的俯角的正切值是.B組提高練習(xí)10．〔2023龍東〕如圖，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，連接AE，BF交于點(diǎn)G，將△BCF沿BF對(duì)折，得到△BPF，延長(zhǎng)FP交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()①AE＝BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP＝；④．A．4B．3C．2D．1【答案】B(提示：易證Rt△ABE≌Rt△BCF(SAS)，∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，故①正確；又∵∠BAE＋∠BEA＝90°，∴∠CBF＋∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF，故②正確；根據(jù)題意得，F(xiàn)P＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°，∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠ABF，∴∠ABF＝∠PFB，∴QF＝QB，令PF＝k(k>0)，那么PB＝2k，在Rt△BPQ中，設(shè)QB＝x，∴x2＝〔x－k〕2＋4k2，∴，∴sin∠BQP＝，故③正確；∵∠BGE＝∠BCF，∠GBE＝∠CBF，∴△BGE∽△BCF，∵BE＝BC，BF＝，∴BE：BF＝1：，∴△BGE的面積：△BCF的面積＝1:5，∴故④錯(cuò)誤．〕11．〔2023南昌〕如圖，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射線CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠AOC＝60°，那么當(dāng)△PAB為直角三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為．【答案】或或2〔提示：當(dāng)∠APB＝90°時(shí)〔如圖1〕，∵AO＝BO，∴PO＝BO∵∠AOC＝60°，∴∠BOP＝60°，∴△BOP為等邊三角形，∵AB＝BC＝4，∴AP＝AB·sin60°＝；當(dāng)∠ABP＝90°時(shí)〔如圖2〕，∵∠AOC＝∠BOP＝60°，∴∠BPO＝30°，∴BP＝，在直角三角形ABP中，AP＝，情況二：如圖3，∵AO＝BO，∠APB＝90°，∴PO＝AO，∵∠AOC＝60°，∴△AOP為等邊三角形，∴AP＝AO＝2，故答案為：或或2．)12．〔2023山西〕太陽能光伏發(fā)電因其清潔、平安、便利、高效等特點(diǎn)，已成為世界各國(guó)普遍關(guān)注和重點(diǎn)開展的新興產(chǎn)業(yè)，如圖是太陽能電池板支撐架的截面圖，其中的粗線表示支撐角鋼，太陽能電池板與支撐角鋼AB的長(zhǎng)度相同，均為300cm．AB的傾斜角為30°．BE＝CA＝50cm．支撐角鋼CD，EF與底座地基臺(tái)面接觸點(diǎn)分別為D，F(xiàn)．CD垂直于地面，F(xiàn)E⊥AB于點(diǎn)E．兩個(gè)底座地基高度相同〔即點(diǎn)D，F(xiàn)到地面的垂直距離相同〕，均為30cm，點(diǎn)A到地面的垂直距離為50cm，求支撐角鋼CD和EF的長(zhǎng)度各是多少cm〔結(jié)