新教材高中數(shù)學(xué)第4章冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)5.2形形色色的函數(shù)模型提升訓(xùn)練含解析湘教版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE7形形色色的函數(shù)模型基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練題組一一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)模型1.(2020陜西渭南高一上期中)網(wǎng)上購(gòu)鞋常?？吹较旅孢@樣一張表,第一行可以理解為腳的長(zhǎng)度,第二行是我們習(xí)慣稱呼的“鞋號(hào)”.中國(guó)鞋碼實(shí)際標(biāo)準(zhǔn)(mm)220225230235240245250255260265中國(guó)鞋碼習(xí)慣稱呼(號(hào))34353637383940414243從上述表格可以推算出,“30號(hào)”的鞋對(duì)應(yīng)的腳的長(zhǎng)度為()A.150mm B.200mm C.180mm D.210mm2.某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體,當(dāng)溫度不變時(shí),氣球內(nèi)氣體的氣壓P(千帕)是氣球體積V(立方米)的反比例函數(shù),其圖象如圖所示,則這個(gè)函數(shù)的解析式為 ()A.P=96V B.P=-96V C.P=69V D.3.(多選)某雜志以每?jī)?cè)2元的價(jià)格發(fā)行時(shí),發(fā)行量為10萬(wàn)冊(cè).經(jīng)過(guò)調(diào)查,單冊(cè)價(jià)格每提高0.2元,發(fā)行量就減少5000冊(cè).要使該雜志的銷售收入不少于22.4萬(wàn)元,則每?jī)?cè)雜志的定價(jià)可以為 ()A.2.5元 B.3元 C.3.2元 D.3.5元4.國(guó)慶期間,高郵市清水潭旅游景點(diǎn)的團(tuán)隊(duì)收費(fèi)方案如下:不超過(guò)40人時(shí),人均收費(fèi)100元;超過(guò)40人且不超過(guò)m(40<m≤100)人時(shí),每增加1人,人均收費(fèi)降低1元;超過(guò)m人時(shí),人均收費(fèi)都按照m人時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)收費(fèi).設(shè)景點(diǎn)接待有x名游客的某團(tuán)隊(duì),收取的總費(fèi)用為y元.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;(2)景點(diǎn)工作人員發(fā)現(xiàn):當(dāng)接待某團(tuán)隊(duì)人數(shù)超過(guò)一定數(shù)量時(shí),會(huì)出現(xiàn)隨著人數(shù)的增加收取的總費(fèi)用反而減少的現(xiàn)象.為了讓收取的總費(fèi)用隨著團(tuán)隊(duì)中人數(shù)的增加而增加,求m的取值范圍.題組二冪函數(shù)模型5.(2020山東臨沂期中)我國(guó)工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值從1998年到2018年的20年間翻了兩番,設(shè)1998年總產(chǎn)值為1,平均每年的增長(zhǎng)率為x,則有 ()A.(1+x)19=4 B.(1+x)20=3C.(1+x)20=2 D.(1+x)20=46.(2020湖南常德一中高一上月考)某水廠的蓄水池中有400噸水,每天零點(diǎn)開始由池中放水向居民供水,同時(shí)以每小時(shí)60噸的速度向池中注水,當(dāng)池中有水400噸后將維持400噸水量不變,若t小時(shí)內(nèi)向居民供水總量為1006t噸(0≤t≤24),則t為何值時(shí)蓄水池中的存水量最少題組三指數(shù)型函數(shù)模型和對(duì)數(shù)型函數(shù)模型7.醫(yī)學(xué)家們?yōu)榱私沂舅幬镌谌梭w內(nèi)吸收、排出的規(guī)律,常借助恒速靜脈滴注一室模型來(lái)進(jìn)行描述.在該模型中,人體內(nèi)藥物含量x(單位:mg)與給藥時(shí)間t(單位:h)近似滿足函數(shù)關(guān)系式x=k0k(1-e-kt),其中k0,k分別為給藥速率和藥物消除速率(單位:mg/h).經(jīng)測(cè)試發(fā)現(xiàn),當(dāng)t=23時(shí),x=k02k,則該藥物的消除速率k的值約為(ln2≈0A.3100 B.310 C.1038.(2021江蘇連云港高一期末)某工廠產(chǎn)生的廢氣必須經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放,規(guī)定排放時(shí)污染物的殘留含量不得超過(guò)原污染物總量的0.25%.已知在過(guò)濾過(guò)程中的污染物的殘留數(shù)量P(單位:毫克/升)與過(guò)濾時(shí)間t(單位:小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系為P=P0·ekt(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),k為常數(shù),P0為原污染物總量).若前4個(gè)小時(shí)廢氣中的污染物被過(guò)濾掉了80%,則k=;要能夠按規(guī)定排放廢氣,還需要過(guò)濾n小時(shí),則正整數(shù)n的最小值為.(參考數(shù)據(jù):log52≈0.43)

9.(2021浙江杭州二中高一期中)某心理學(xué)研究小組在對(duì)學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中發(fā)現(xiàn),其注意力指數(shù)p與聽課時(shí)間t(單位:分鐘)之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線.當(dāng)t∈(0,14]時(shí),曲線是二次函數(shù)圖象的一部分;當(dāng)t∈(14,40]時(shí),曲線是函數(shù)y=loga(t-5)+83(a>0且a≠1)圖象的一部分.根據(jù)專家研究,當(dāng)注意力指數(shù)p大于或等于80時(shí),聽課效果最佳.(1)試求p=f(t)的函數(shù)關(guān)系式;(2)一道數(shù)學(xué)難題,講解需要22分鐘,問(wèn)老師能否經(jīng)過(guò)合理安排在學(xué)生聽課效果最佳時(shí)講完?請(qǐng)說(shuō)明理由.題組四函數(shù)模型的擬合10.茶文化博大精深,茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)驗(yàn)表明,某種綠茶用85℃的水泡制,再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用,可以產(chǎn)生最佳口感.為分析泡制一杯最佳口感的茶水所需時(shí)間,某研究人員每隔1min測(cè)量一次茶水的溫度,根據(jù)所得數(shù)據(jù)作出如圖所示的散點(diǎn)圖.觀察散點(diǎn)圖的分布情況,下列函數(shù)模型可以近似地刻畫茶水溫度y(℃)隨時(shí)間x(min)變化規(guī)律的是 ()A.y=mx2+n(m>0)B.y=mx+n(m>0)C.y=max+n(m>0,a>0,且a≠1)D.y=mlogax+n(m>0,a>0,且a≠1)11.某學(xué)習(xí)小組在暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中,通過(guò)對(duì)某商店一種商品銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn):該商品在過(guò)去的一個(gè)月內(nèi)(以30天計(jì))的日銷售價(jià)格P(x)(元)與時(shí)間x(天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足P(x)=1+kx(k為正常數(shù)).該商品的日銷售量Q(x)(個(gè))與時(shí)間x(天)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示x/天10202530Q(x)/個(gè)110120125120已知第10天該商品的日銷售收入為121元.(1)求k的值;(2)給出以下四種函數(shù)模型:①Q(mào)(x)=ax+b,②Q(x)=a|x-25|+b,③Q(x)=a·bx,④Q(x)=a·logbx.請(qǐng)你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù),從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)來(lái)描述該商品的日銷售量Q(x)與時(shí)間x的關(guān)系,并求出該函數(shù)的解析式;(3)求該商品的日銷售收入f(x)(1≤x≤30,x∈N+)(元)的最小值.答案全解全析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.B設(shè)腳的長(zhǎng)度為ymm,對(duì)應(yīng)的鞋號(hào)為x號(hào),由題中表格可得,y=5x+50.當(dāng)x=30時(shí),y=5×30+50=200.故選B.2.D因?yàn)闅馇騼?nèi)氣體的氣壓是氣球體積的反比例函數(shù),所以可設(shè)P=kV(k≠0),由題圖可知,點(diǎn)A(1.5,64)在函數(shù)圖象上,所以64=k1.5,解得k=96,故P=3.BC設(shè)每?jī)?cè)雜志定價(jià)為x(x>2)元,則發(fā)行量為10-x-20.2×0.5萬(wàn)冊(cè),所以銷售收入為10-x-20.2×0.5x萬(wàn)元4.解析(1)當(dāng)0<x≤40時(shí),y=100x;當(dāng)40<x≤m時(shí),y=[100-(x-40)]x=-x2+140x;當(dāng)x>m時(shí),y=(140-m)x.∴y=100(2)當(dāng)0<x≤40時(shí),y=100x,y隨x的增大而增大;當(dāng)40<m≤100時(shí),140-m>0,此時(shí)對(duì)于y=(140-m)x,y隨x的增大而增大;當(dāng)40<x≤m時(shí),y=-x2+140x=-(x-70)2+4900,∴當(dāng)40<x≤70時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)x>70時(shí),y隨x的增大而減小.∵x≤m,∴40<m≤70.綜上所述,當(dāng)40<m≤70時(shí),景點(diǎn)收取的總費(fèi)用隨著團(tuán)隊(duì)中人數(shù)的增加而增加.5.D6.解析設(shè)t小時(shí)后,蓄水池中的存水量為y噸,則y=400+60t-1006t(0≤t≤24)設(shè)u=t,則u∈[0,26],y=60u2-1006u+400=60u-∴當(dāng)u=566,即t=257.A將t=23,x=k02k代入x=k0得k02k=k0k(1-e-23k),化簡(jiǎn)得即ln12=-23k,解得k=ln223≈0.698.答案-ln54解析由題意得(1-80%)P0=P0·e4k,即0.2=e4k,所以k=14ln0.2=-ln5設(shè)經(jīng)過(guò)m小時(shí)后能夠按規(guī)定排放廢氣,則P0·e-ln54m≤0.25%P0,即-ln54m≤ln0.25%,所以m·ln5≥8ln20,解得m≥8ln20ln5=8log5所以正整數(shù)n的最小值為15-4=11.9.解析(1)當(dāng)t∈(0,14]時(shí),設(shè)p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0),將點(diǎn)(14,81)代入得c=-14∴當(dāng)t∈(0,14]時(shí),p=f(t)=-14(t-12)2當(dāng)t∈(14,40]時(shí),將點(diǎn)(14,81)代入y=loga(t-5)+83(a>0且a≠1),得a=13∴當(dāng)t∈(14,40]時(shí),p=f(t)=log13(t綜上,p=f(t)=-(2)當(dāng)t∈(0,14]時(shí),令-14(t-12)2+82≥80,得12-22≤t當(dāng)t∈(14,40]時(shí),令log13(得14<t≤32.綜上,當(dāng)t∈[12-22,32]時(shí),學(xué)生聽課效果最佳.∵32-(12-22)=20+22>22,∴老師能夠經(jīng)過(guò)合理安排在學(xué)生聽課效果最佳時(shí)講完.10.C選項(xiàng)A中函數(shù)的圖象是以y軸為對(duì)稱軸,開口向上的拋物線,與散點(diǎn)圖不符;選項(xiàng)B中函數(shù)的圖象是直線,與散點(diǎn)圖不符;選項(xiàng)D中,當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)圖象無(wú)限接近y軸,與散點(diǎn)圖不符.故選C.11.解析(1)由題意得P(10)·Q(10)=1+k10×110=121,解得k(2)由題表中的數(shù)據(jù)知,當(dāng)時(shí)間變化時(shí),該商品的日銷售量有增有減,并不單調(diào),而①,③,④中的函數(shù)均為單調(diào)函數(shù),故只能選②,即Q(x)=a|x-25|+b.由題表可得Q(10)=110,Q(20)=120,即15a+故Q(x)=125-|x-25|(1≤x≤30,x∈N+).(3)由(2)知Q(x)=