新教材高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何5橢圓及其方程1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

PAGEPAGE7橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課標(biāo)解讀課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.了解橢圓的實(shí)際背景，感受橢圓在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.2.經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過(guò)程，掌握橢圓的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程.1.數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理——能借助實(shí)驗(yàn)引入橢圓的概念并推導(dǎo)出橢圓的方程.⒉數(shù)學(xué)運(yùn)算——能根據(jù)具體的題目條件求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并能夠應(yīng)用.自主學(xué)習(xí)·必備知識(shí)見(jiàn)學(xué)用75頁(yè)教材研習(xí)教材原句要點(diǎn)一橢圓的定義如果F1，F(xiàn)2，是平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，a是一個(gè)常數(shù)，且2a>|F1F2|，則平面內(nèi)滿足①|(zhì)PF1|+|PF要點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：③x2a2+y2b2.焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：④y2a2+x2b自主思考1.已知F1(-4,0)，F(xiàn)2(4,0)，平面內(nèi)到答案：提示因?yàn)?a=|F1F2|=82.由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程如何判斷橢圓焦點(diǎn)的位置？答案：提示判斷橢圓焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上就要判斷橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)、y名師點(diǎn)睛1.對(duì)橢圓定義的三點(diǎn)說(shuō)明（1）橢圓是在平面內(nèi)定義的，所以“平面內(nèi)”這一條件不能忽視.（2）定義中到兩定點(diǎn)的距離之和是常數(shù)，不能是變量.（3）常數(shù)（2a）必須大于兩定點(diǎn)間的距離，否則軌跡不是橢圓，這是判斷一曲線是不是橢圓的限制條件.2.對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的三點(diǎn)認(rèn)識(shí)（1）標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何特征：橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸或y軸上.（2）標(biāo)準(zhǔn)方程的代數(shù)特征：方程右邊為1，左邊是關(guān)于xa與yb或ya（3）a，b，c三個(gè)量的關(guān)系：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，a表示橢圓上的點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離的和的一半，可借助圖形幫助記憶.長(zhǎng)為a，b，c（都是正數(shù)）的線段恰構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊，a是斜邊長(zhǎng)，所以a>b，a>c，且a2互動(dòng)探究·關(guān)鍵能力見(jiàn)學(xué)用76頁(yè)探究點(diǎn)一橢圓的定義精講精練例（1）如圖所示，A是圓O內(nèi)一定點(diǎn)，B是圓周上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AB的垂直平分線CD與OB交于點(diǎn)E，則點(diǎn)E的軌跡是()A.圓B.橢圓C.線段D.射線（2）若動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足(x-3)2+A.線段B.圓C.橢圓D.直線答案：（1）B（2）A解析：（1）連接EA（圖略），∵CD垂直平分AB，∴|EB|=|EA|，設(shè)圓的半徑為r，則|EO|+|EA|=|EO|+|EB|=r>|OA∣，故點(diǎn)E的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)的橢圓，故選B.（2）動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足(x-3)2+y2可得|PF1|+|P∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為線段.解題感悟橢圓的定義具有雙向作用，即若|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F遷移應(yīng)用1.點(diǎn)P(-3,0)是圓C：x2+y2-6x-55=0內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)圓M答案：方程x2+y2-6x-55=0化成標(biāo)準(zhǔn)形式為(x-3)2+y2=64，則C(3,0)，半徑r=8.因?yàn)閯?dòng)圓M與已知圓內(nèi)切且過(guò)P點(diǎn)，所以|MC|+|MP|=r=8，根據(jù)橢圓的定義知，圓心M到兩定點(diǎn)C探究點(diǎn)二用待定系數(shù)法求橢圓的方程精講精練例（1）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-4,0)(4,0)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,15（2）若橢圓經(jīng)過(guò)(2,0)和(0,1)兩點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.答案：（1）∵橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）設(shè)橢圓的方程為mx∵橢圓過(guò)(2,0)和(1,0)兩點(diǎn)，∴4m=1,n=1,∴解題感悟求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要“先定型，再定量”，即要先判斷焦點(diǎn)位置，再用待定系數(shù)法設(shè)出適合題意的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，最后由條件確定待定系數(shù)即可.（1）當(dāng)所求橢圓的焦點(diǎn)位置不能確定時(shí)，應(yīng)按焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上進(jìn)行分類討論，但要注意a>b>0這一條件.（2）當(dāng)已知橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，把橢圓的方程設(shè)成mx遷移應(yīng)用1.已知橢圓x2a2A.x245C.x227答案：D解析：由題意可得a2-b2=9,2.與橢圓9xA.x24C.x26答案：B解析：9x2+4可知橢圓x24+y2故可設(shè)所求橢圓的方程為y2又2b=2，即b=1，c=5，所以a2=探究點(diǎn)三橢圓的定義及方程的應(yīng)用精講精練例（1）（多選）（2021山東聊城高二期中）已知P是橢圓x29+y24=1A.△PFB.SC.點(diǎn)P到x軸的距離為2D.P（2）已知F1、F2分別是橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)A.2-3B.C.2+1D.答案：（1）B;C;D（2）D解析：（1）由橢圓方程知a=3，b=2，所以c=5，|P所以△PF1F在△PF1F所以20=36-2|PF解得|PF故S△P設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為d，則S△P所以d=2PF（2）設(shè)|PF1|=t∵PQ⊥PF1，由橢圓的定義可得|PF2|=2a-t，|Q∵|PQ|2+|P即4a-3t=3t，解得則△PF1F2與解題感悟（1）在橢圓中，當(dāng)橢圓上的點(diǎn)不是橢圓與焦點(diǎn)所在軸的交點(diǎn)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)三角形，這個(gè)三角形就是焦點(diǎn)三角形.這個(gè)三角形中一條邊長(zhǎng)等于焦距，另兩條邊長(zhǎng)之和等于2a.（2）在處理橢圓中的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題時(shí)，可結(jié)合橢圓的定義|PF遷移應(yīng)用1.設(shè)M為橢圓x225+y29=1上的一個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)A.3B.3C.2D.33答案：D解析：因?yàn)闄E圓的方程為x225+y29=1設(shè)|MF1|=m，|M由余弦定理得4c2=m2又(m+n)所以mn=12，即|MF所以S△M評(píng)價(jià)檢測(cè)·素養(yǎng)提升見(jiàn)學(xué)用77頁(yè)課堂檢測(cè)1.（2020山東濰坊高二月考）若點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1(0,-1)，F(xiàn)2A.橢圓B.直線C.線段D.不存在答案：C2.已知橢圓的焦距是6，且橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于10，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.x225C.x225+y答案：D3.已知橢圓x225+y29=1，F(xiàn)A.5B.10C.20D.40答案：C素養(yǎng)演練邏輯推理——利用橢圓的定義求解最值問(wèn)題1.（2020山東臨沂高二期中）點(diǎn)P在橢圓C1:x24+y23=1上，解析：審：已知橢圓的方程，求橢圓上的動(dòng)點(diǎn)P到圓上的動(dòng)點(diǎn)Q與定點(diǎn)F距離差的最小值.聯(lián)：記橢圓C1:x24+y23答案：解：記橢圓C1:x則①|(zhì)PE|+|PF|=2a=4，所以|PQ|-|PF|=|PQ|+|PE|-4，x2+y2+6x-8y+21=0可化為(x+3)2作出圖形如下：由圓的性質(zhì)