新教材高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何8直線與圓錐曲線的位置關(guān)系第1課時(shí)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系學(xué)案新人教B版選擇性必修第一冊

PAGEPAGE8直線與圓錐曲線的位置關(guān)系課標(biāo)解讀課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過類比直線與圓的位置關(guān)系，學(xué)會(huì)判斷直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關(guān)系.2.會(huì)求直線與圓錐曲線相交所得弦的長，以及直線與圓錐曲線的綜合問題.1.數(shù)學(xué)運(yùn)算一能利用設(shè)而不求的思想方法解決中點(diǎn)弦、弦長問題。2.邏輯推理一能借助一元二次方程解的個(gè)數(shù)判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.第1課時(shí)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系自主學(xué)習(xí)·必備知識(shí)教材研習(xí)教材原句要點(diǎn)一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1.直線與橢圓的位置關(guān)系當(dāng)直線與橢圓有①兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線與橢圓相交；當(dāng)直線與橢圓有且只有②一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，稱直線與橢圓相切；當(dāng)直線與橢圓③沒有公共點(diǎn)時(shí)，稱直線與橢圓相離。2.直線與圓錐曲線相切（1）一般地，給定直線l與圓錐曲線C（圓、橢圓、雙曲線、拋物線)，如果聯(lián)立它們的方程并消去一個(gè)未知數(shù)后，得到的是一個(gè)一元二次方程且該方程④只有一個(gè)實(shí)數(shù)解（即有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解），則稱直線與圓錐曲線相切。（2）直線與圓，直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與它們相切的⑤充要條件；但直線與雙曲線、直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)不是直線與它們相切的⑥充分條件。要點(diǎn)二圓錐曲線的弦和弦長一般地，直線與圓錐曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，以這⑦兩個(gè)公共點(diǎn)為端點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的一條弦，線段的長就是弦長。簡單地說，圓錐曲線的弦就是連接圓錐曲線上任意兩點(diǎn)所得的線段。自主思考1.直線與圓錐曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線與圓錐曲線相切嗎？答案：提示直線與圓錐曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線與圓錐曲線有可能相交，如平行于拋物線對稱軸的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，但不相切。2.直線與圓錐曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與它們對應(yīng)的方程聯(lián)立成的方程組的解的個(gè)數(shù)有什么關(guān)系？答案：提示直線與圓錐曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是它們的方程聯(lián)立成的方程組的解的個(gè)數(shù)。3.過拋物線y2=2px(p>0)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A(x1,答案：提示|AB|=名師點(diǎn)睛圓錐曲線弦長的求法在相交弦問題中,一般不求出交點(diǎn)坐標(biāo),只是先設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)(設(shè)而不求思想),然后利用根與系數(shù)的關(guān)系求弦長.設(shè)直線l：y=kx+m交圓錐曲線F(x,y)=0于P1則|P同理可得|互動(dòng)探究·關(guān)鍵能力探究點(diǎn)一直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定精講精練例已知直線l：y=2x+m,橢圓C：x24+y22=1（3）沒有公共點(diǎn).答案：（1）將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立,得y=2x+m,①x24+將①代入②中,整理得9x則Δ=(8m)所以當(dāng)-32<m<32時(shí),方程③有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,即原方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解,這時(shí)直線l（2）由Δ=0,得m=±32所以當(dāng)m=±32時(shí),方程③有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根,即原方程組有一組實(shí)數(shù)解,這時(shí)直線l與橢圓C（3）由Δ<0,得m<-32或m>3所以當(dāng)m<-32或m>32時(shí),方程③沒有實(shí)數(shù)根,即原方程組沒有實(shí)數(shù)解,這時(shí)直線l與橢圓解題感悟在討論直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí),要先討論得到的方程的二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況,再考慮Δ的情況,而且不要忽略直線斜率不存在的情況.遷移應(yīng)用1.設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q,若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn),則直線A.[-B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]答案：C解析：由題意知Q(-2,0),設(shè)過點(diǎn)Q的直線l的方程為y=k(x+2).∵直線l與拋物線有公共點(diǎn),∴方程組y2即k2∴Δ=(4k2∴-1≤k≤1,故選C.探究點(diǎn)二中點(diǎn)弦問題精講精練例（2020深圳紅嶺中學(xué)高二期中）已知橢圓與雙曲線y24-（1）求橢圓方程;（2）過橢圓內(nèi)一點(diǎn)M(1,1)作一條弦AB,使該弦被點(diǎn)M平分,求弦AB所在直線的方程.答案：（1）由題意知,雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4),(0,-4),離心率e=2設(shè)橢圓方程為y則c=4,e∴橢圓方程為y2（2）設(shè)A(x∵M(jìn)為弦AB的中點(diǎn),∴由題意得y1(則k∴弦AB所在直線的方程為y-1=-259(x-1)解題感悟解決中點(diǎn)弦問題有兩個(gè)思路：（1）聯(lián)立直線方程和橢圓方程并消去一個(gè)未知數(shù)后,得到一個(gè)一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解;（2）采用點(diǎn)差法,在求解圓錐曲線時(shí),如果題目中交代了直線與圓錐曲線相交所截得的線段中點(diǎn)坐標(biāo),那么可把兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入圓錐曲線的方程,表示出直線的斜率和中點(diǎn)坐標(biāo),要注意驗(yàn)證得到的直線是否符合題意遷移應(yīng)用1.（2021山東德州高二期中）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)是F(3,0),過點(diǎn)F的直線交橢圓EA.xB.xC.xD.x答案：B解析：設(shè)A(x1,y1),B(x2①-②得(∴又k又9=c∴b2=9,2.直線y=x+1被橢圓x2A.(23C.(-23答案：C解析：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1,y1則x兩式相減得到(x故2x04+故x0=-2探究點(diǎn)三弦長問題精講精練例（2021天津塘沽第十三中學(xué)高二期中）設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),離心率為32（1）求這個(gè)橢圓的方程;（2）若這個(gè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1,右焦點(diǎn)為F2,過F1且斜率為1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),求弦AB答案：（1）設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b（2）由（1）知左焦點(diǎn)F1(-3,0)則直線AB的方程為y=x+3,聯(lián)立得消去y得5x2則|AB|=點(diǎn)F2(3,0)到直線解題感悟直線和圓錐曲線相交問題的解法就是利用“設(shè)而不求”的思想方法,將兩個(gè)方程聯(lián)立后消去一個(gè)未知數(shù)得到一個(gè)一元二次方程,利用弦長公式和根與系數(shù)的關(guān)系解決（要考慮特殊情形）,這類問題運(yùn)算量較大,計(jì)算時(shí)確保其正確性.遷移應(yīng)用1.（2020北京昌平一中高二期中）已知橢圓C：x2a2+y（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）過點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=154,求直線答案：（1）依題意可知c=1,b=3,所以a=所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),A(-1,32),B(-1,-設(shè)直線l的方程為y=k(x+1),由y=k(x+1)，x24因?yàn)橹本€l和橢圓相交,所以Δ=(8k設(shè)A(x1,y1),B(化簡得k2=1所以直線l的方程為y=±1評價(jià)檢測·素養(yǎng)提升課堂檢測1.（2020山東臨沂一中高二期中）已知拋物線x2=4y內(nèi)一點(diǎn)P(1,1),過點(diǎn)P的直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)P為弦AB的中點(diǎn),則直線A.x+2y-3=0B.x-2y+1=0C.2x-y+1=0D.x+y-2=0答案：B2.傾斜角為π4的直線經(jīng)過橢圓x22+y2=1A.223B.423答案：B3.已知雙曲線C過點(diǎn)(3,2)且其漸近線方程為A.雙曲線C的方程為xB.左焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為1C.直線x-2y-1=0與雙曲線D.過右焦點(diǎn)截雙曲線所得弦長為23答案：C素養(yǎng)演練數(shù)學(xué)運(yùn)算——弦長的最值問題1.設(shè)拋物線C：y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F,過F的直線l與C交于（1）若直線l的斜率為1,且|AB|=8,求拋物線C和直線l的方程;（2）若p=2,求線段AB長的最小值.答案：（1）由題意得F(p2,0),l設(shè)A(x1,y1),B(x2,所以|AB|=|AF|+|BF|=(x由題意知4p=8,解得p=2.因此拋物線C的方程是y2=4x,直線l的方程為（2）若p=2,則拋物線C:y由題可知直線l的斜