2020考研資料夾考研數(shù)三(1987-1997年)歷年真題

1997年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題

一、填空題（本題共5分,每小題3分，滿分15分.把答案在題中橫線上.）

⑴設(shè)y=/（Inx）efM，其中f可微則dy=

⑵若函數(shù)f（x）=廿方+＞/?丁J；/（x）公，則{f[x}dx=.

（3）差分方程til的通解為.

⑷若二次型/（X,&,&）=+x；+4+2%1x2+~凡是正定的，則（的取值范圍是.

⑸設(shè)隨機(jī)變量X和y相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布N（o3）,而X1,…,X9和X，…,％分別是來(lái)自總體X和r的簡(jiǎn)

單隨機(jī)樣本廁統(tǒng)計(jì)量U=”…+居服從分布（2分），參數(shù)為________.

二.選擇題（本題共5小題,每小題3分，滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的

字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）

⑴設(shè)函數(shù)/*）=1"'sin『力,g（x）=「+g則當(dāng)3（）時(shí),/（幻是g（x）的（）

J。56

（A）低階無(wú)窮?。˙）高階無(wú)窮小

（C）等價(jià)無(wú)窮?。―）同階但不等價(jià)的無(wú)窮小

⑵若f（—x）=/（x）（7＜x＜y）,在（—,0）內(nèi)/（尤）＞0,且r（x）＜0，則在（OFE內(nèi)有

（）

（A）r（x）＞0，r（x）＜0（B）r（x）＞o,ru）＞o

(C)r(x)v0""(x)<0(D)r(x)<o,ru)>o

⑶設(shè)向量組弓，4，火線性無(wú)關(guān)則下列向量組中，線性無(wú)關(guān)的是()

(A)/+%,%+%，a3一a\

(B)/+%,%+%/+2%+%

(C)%+2%,2a2+3%，3a3+%

(D)ax+%+%2%一3%+22%,3]+5%—5%

⑷設(shè)A3為同階可逆矩陣，則()

(A)AB=BA(B)存在可逆矩陣P，使P'AP=B

(C)存在可逆矩陣C,使CTAC=B(D)存在可逆矩陣P和。，使PAQ=B

(5)設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量X與丫相互獨(dú)立且同分布：P{X=-\}=P{Y=-l}=^,P{X=1}

=P{Y=1}=g,則下列各式中成立的是()

(A)尸{x=y}=g(B)p{x=y}=i

(C)p{x+y=o}=；(D)P{xy=i}=；

三、(本題滿分6分)

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,稱函數(shù)

Q(x)=A[6K-X+(1-8)I：X]x

為固定替代彈性生產(chǎn)函數(shù)，而稱函數(shù)

Q=AK^-S

為Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)（簡(jiǎn)稱C—D生產(chǎn)函數(shù)）.

試證明：但xf（）時(shí),固定替代彈性生產(chǎn)函數(shù)變?yōu)镃-D生產(chǎn)函數(shù)，即有

limQ（x）=Q.

XTO

四、（本題滿分5分）

設(shè)"=/（x,y,z）有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),y=y（x）和z=z（x）分別由方程*一y=0和/—xz=0所確定，求學(xué).

ax

五、（本題滿分6分）

一商家銷售某種商品的價(jià)格滿足關(guān)系。=7-0.2x（萬(wàn)元/噸）,x為銷售量（單位：噸），商品的成本函數(shù)

C=3,+1（萬(wàn)元）.

（1）若每銷售一噸商品，政府要征稅八萬(wàn)元），求該商家獲最大利潤(rùn)時(shí)的銷售量；

（2），為何值時(shí),政府稅收總額最大.

六、（本題滿分6分）

設(shè)函數(shù)/（X）在［0,+8）上連續(xù)、單調(diào)不減且/（0）>0,試證函數(shù)

若x>0,

F(x)=hJ?J

0,若x=0,

在［0,+oo）上連續(xù)且單調(diào)不減（其中n>0）.

七、（本題滿分6分）

從點(diǎn)，（1,0）作x軸的垂線，交拋物線y=V于點(diǎn)Q,（1,1）;再?gòu)?。作這條拋物線的切線與x軸交于P2，然后又從

寫作工軸的垂線,交拋物線于點(diǎn)0，依次重復(fù)上述過(guò)程得到一系列的點(diǎn)片,Q；￡,2；…記，0；…?

（1）求。勺；

⑵求級(jí)數(shù)26+26+…+02+…的和?

其中n（n>1）為自然數(shù)，而MXM2表示點(diǎn)與知2之間的距離.

八、（本題滿分6分）

設(shè)函數(shù)/?）在2,+8）上連續(xù)，且滿足方程

f(t)=e4m2+ff必3)dxdy,求f(t).

^+\2<412

九、（本題滿分6分）

設(shè)A為〃階非奇異矩陣,a為〃維列向量,0為常數(shù).記分塊矩陣

E0Aa

P，Q=

-al*|A|a'b

其中A*是矩陣A的伴隨矩陣,E為n階單位矩陣.

⑴計(jì)算并化簡(jiǎn)P。;

⑵證明：矩陣?？赡娴某浞直匾獥l件是〃力一力，兒

十、(本題滿分10分)

設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值是1,2,3；矩陣A的屬于特征值1,2的特征向量分別是

r7

a,=(-l,-l,l),a2=(l,-2,-l).

(1)求A的屬于特征值3的特征向量；

(2)求矩陣A.

十一、(本題滿分7分)

假設(shè)隨機(jī)變量x的絕對(duì)值不大于l;P{X=-l}="p{X=l}=!；在事件

84

{-1<%<1}出現(xiàn)的條件下,X在內(nèi)的任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間長(zhǎng)度成正比.試求X的分布函

數(shù)尸(x)=P{XWx}.

十二、(本題滿分6分)

游客乘電梯從底層到電視塔頂層觀光；電梯于每個(gè)整點(diǎn)的第5分鐘、25分鐘和55分鐘從底層起行.假設(shè)一游

客在早晨八點(diǎn)的第X分鐘到達(dá)底層候梯處，且X在［0,60］上均勻分布，求該游客等候時(shí)間的數(shù)學(xué)期望.

十三、(本題滿分6分)

兩臺(tái)同樣自動(dòng)記錄儀，每臺(tái)無(wú)故障工作的時(shí)間服從參數(shù)為5的指數(shù)分布；首先開動(dòng)其中一臺(tái),當(dāng)其發(fā)生故障時(shí)停用

而另一臺(tái)自行開動(dòng).

試求兩臺(tái)記錄儀無(wú)故障工作的總時(shí)間T的概率密度/(/)、數(shù)學(xué)期望和方差.

1996年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題

一、填空題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.把答案填在題中橫線上.)

(1)設(shè)方程x=V'確定y是x的函數(shù)，則dy=.

⑵設(shè)必:=arcsinx+C廁-----dx=

J/(x)

⑶設(shè)伍,為)是拋物線尸?之+"+。上的一點(diǎn),若在該點(diǎn)的切線過(guò)原點(diǎn)則系數(shù)應(yīng)滿足的關(guān)系是

⑷設(shè)

-111???1T

6Z]a)%,一x21

4；4?3…d

A=/x=X3,B=1

"一1^n-\"〃一1/-I

Q]CI)%***1

其中4。%(i。i,j=1,2,…,ri).則線性方程組A'X=B的解是.

(5)設(shè)由來(lái)自正態(tài)總體X~N(〃,0.92)容量為9的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本彳導(dǎo)樣本均值又=5,則未知參數(shù)〃的置信度為0.95

的置信區(qū)間為.

二、選擇題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的

字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)

⑴累次積分jd可「/(rcose,rsin6)rdr可以寫成()

(A)J；辦J：f(x,y)dx⑻f(x,y)dx

(C)J；公(D)'f(x,y)dy

(2)下述各選項(xiàng)正確的是()

(A)若￡>；和都收斂，則￡>"+匕>收斂

n=ln=l/i=l

(B)￡>同收斂，則￡>:與如，:都收斂

/:=1〃=1〃=1

co?

(C)若正項(xiàng)級(jí)數(shù)y〃“發(fā)散，則??>-

(D)若級(jí)數(shù)￡”“收斂，且un>v?(n=l,2,...)，則級(jí)數(shù)名V,,也收斂

"=lM=1

⑶設(shè)n階矩陣A非奇異(w22),A*是矩陣A的伴隨矩陣，則()

(A)(A*)*=|A「Z(B)(A*)*=|A『Z

(C)(A*)*=|A「2A(D)(A)=|A「2A

⑷設(shè)有任意兩個(gè)n維向量組和必,…,力”，若存在兩組不全為零的數(shù)4,…,4”和區(qū),…,k”,，使

（4+匕）％+…+"”+七）%,+（4-kJ。、+…+（4“-般）&=o,則

）

(A)a,,---,a,“和凡…，見都線性相關(guān)

(B)《“和必，…,才”都線性無(wú)關(guān)

(C).+4-注-"線性無(wú)關(guān)

(D)ax+用,…,。,.+力.,必一夕一4線性相關(guān)

⑸已知0<P(B)<1且P[(A+A)|B1=P(A,|B)+P(A2\B)，則下列選項(xiàng)成立的是()

(A)P[(A+4)[^]=P(A話)+P⑷忸)

(B)P(4B+A,B)=P(4B)+P(A2B)

(C)P(4+&)=P(A|B)+P(闋5)

(D)p(B)=4(A)P(B|A)+P(4)P(44)

三、(本題滿分6分)

設(shè)/(x)=x''其中g(shù)(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且g(O)=l,g'(O)=—L

0,x=0,

⑴求八幻；

⑵討論r(龍)在(-,內(nèi))上的連續(xù)性.

四、(本題滿分6分)

設(shè)函數(shù)Z=/(M),方程〃=以〃)+，〃⑺/確定a是x,y的函數(shù)，其中/(M),°(N)可微；p(f),夕'(")連續(xù)，且

，/、,—,、dz/、0z

。(〃)w1.求p(y)—+p(x)—.

oxoy

五.(本題滿分6分)

計(jì)算

六、(本題滿分5分)

設(shè)/(%)在區(qū)間［0,1］上可微，且滿足條件/⑴=2Fxf(x)dx.試證:存在Je(0,1)使

J0

七、(本題滿分6分)

設(shè)某種商品的單價(jià)為P時(shí)，售出的商品數(shù)量?？梢员硎境蒕=上：—c，其中。、反

p+b

c均為正數(shù)且。＞反.

(1)求P在何范圍變化時(shí),使相應(yīng)銷售額增加或減少.

(2)要使銷售額最大，商品單價(jià)p應(yīng)取何值?最大銷售額是多少?

八、（本題滿分6分）

求微分方程半

的通解.

ax

九、（本題滿分8分）

-0100一

1000

設(shè)矩陣A=

00y1

00i2

⑴已知A的一個(gè)特征值為3,試求y;

⑵求矩陣P，使（AP）'（AP）為對(duì)角矩陣.

十、（本題滿分8分）

設(shè)向量《,%，…，區(qū)是齊次線性方程組"=（）的一個(gè)基礎(chǔ)解系,向量夕不是方程組

AX=0的解，即w0.試證明:向量組尸,/?+/,2+%，…，4+%線性無(wú)關(guān).

十一、（本題滿分7分）

假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為02機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作,若一周5個(gè)工作日里無(wú)故障，可獲

利潤(rùn)10萬(wàn)元；發(fā)生一次故障仍可獲得利潤(rùn)5萬(wàn)元；發(fā)生兩次故障所獲利潤(rùn)0元；發(fā)生三次或三次以上故障就要虧

損2萬(wàn)元.求一周內(nèi)期望利潤(rùn)是多少?

十二、(本題滿分6分)

考慮一元二次方程*2+&+C=0,其中8、C分別是將一枚色子(骰子)接連擲兩次先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).求該方程

有實(shí)根的概率P和有重根的概率q.

十三、(本題滿分6分)

假設(shè)X,X2,…,X,,是來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本；已知￡(X*)=ak(k=1,2,2,4)..

證明：當(dāng)n充分大時(shí)，隨機(jī)變量Z?=-yX；近似服從正態(tài)分布,并指出其分布參數(shù).

〃/=1

1995年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題

一、填空題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.把答案填在題中橫線上.)

1—y

⑴設(shè)/(x)=；—，則f")(x)=

1+X

⑵設(shè)z=xyfA,/(w)可導(dǎo)則xz；+K=.

⑶設(shè)了'(lnx)=l+x,則/(x)=.

’100、

⑷設(shè)A=220,4是人的伴隨矩陣則(4尸=.

、345,

⑸設(shè)X?X2,--,X,（是來(lái)自正態(tài)總體N（內(nèi)6）的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其中參數(shù)〃和〃未知，記

又△之X,2=￡（X,-歹f,則假設(shè)4：M=0的/檢驗(yàn)使用統(tǒng)計(jì)量f==.

n/=1/=1

二、選擇題（本題共5小題,每小題3分，滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的

字母填在題后的括號(hào)內(nèi).）

/⑴-/(l-x)

⑴設(shè)/（X）為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足條件lim-1,則曲線〉=/（幻在點(diǎn)

A->02x

（1,./■⑴）處的切線斜率為)

(A)2(B)-1(C)7(D)-2

（2）下列廣義積分發(fā)散的是)

rI1

(A)I----dx⑻

JTsinx

r+oo1

(C)公

Jo

⑶設(shè)矩陣4x?的秩為?A）=〃2<〃，Em為m階單位矩陣,下述結(jié)論中正確的是（）

(A)A的任意m個(gè)行向量必線性無(wú)關(guān)

(B)A的任意一個(gè)現(xiàn)階子式不等于零

(C)若矩陣8滿足8A=0,則5=0

(D)A通過(guò)初等行變換，必可以化為(￡,?,0)的形式

(4)設(shè)隨機(jī)變量X和丫獨(dú)立同分布，記u=x-y,v=x+Y，則隨機(jī)變量u與v必然

()

(A)不獨(dú)立(B)獨(dú)立(C)相關(guān)系數(shù)不為零(D)相關(guān)系數(shù)為零

⑸設(shè)隨即變量X服從正態(tài)分布Na，。>則隨b的增大，概率P{|X-“<耳()

(A)單調(diào)增大(B)單調(diào)減少(C)保持不變(D)增減不定

三、(本題滿分6分)

~y(1—COSX),x<0

廠

設(shè)/(幻=1,尤=0,試討論/(x)在x=0處的連續(xù)性和可導(dǎo)性.

x>0

四.(本題滿分6分)

已知連續(xù)函數(shù)/（X）滿足條件f（x）=￡'/|Y+/*,求/(%).

五、（本題滿分6分）

將函數(shù)），=ln（l-x-2x2）展成x的幕級(jí)數(shù),并指出其收斂區(qū)間.

六、（本題滿分5分）

計(jì)算二次積分/=「'「'min{x,y}e-(Mdxdy.

J-00J-00

七、(本題滿分6分)

設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為Q=Q(p)，收益函數(shù)為R=,其中p為產(chǎn)品價(jià)格,Q為需求量(產(chǎn)品的產(chǎn)量),Q(p)為單

調(diào)減函數(shù).如果當(dāng)價(jià)格為Po,對(duì)應(yīng)產(chǎn)量為&時(shí)，邊際收益

蕓=a>0,收益對(duì)價(jià)格的邊際效應(yīng)—=c<0,需求對(duì)價(jià)格的彈性⑸=匕>1.求P。和g.

dQQ=Q,dpi

八、(本題滿分6分)

設(shè)/(x)、g(無(wú))在區(qū)間[-a,a](a>0)上連續(xù)g(x)為偶函數(shù)，且/(%)滿足條件

/(x)+/(—x)=A(A為常數(shù)).

(1)證明J：/(x)g(xg=Aj：g(x)tZx;

(2)利用Q)的結(jié)論計(jì)算定積分J2|sinarctane*心.

九、（本題滿分9分）

已知向量組（1）々1，%，￡3；（口）%,%，。3，。4；（叫小々2，%，。5，如果各向量組的秩

分別為r（I）="II）=3,r（m）=4.

證明:向量組%,火，&3，。5-%的秩為4

十、（本題滿分10分）

已知二次型/（4工2,玉）=4%；-3后+4玉%2-4%七+8±工.

（1）寫出二次型/的矩陣表達(dá)式；

（2）用正交變換把二次型/化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出相應(yīng)的正交矩陣.

十一、（本題滿分8分）

假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺(tái)儀器，以概率0.70可以直接出廠；以概率0.30需進(jìn)一步調(diào)試,

經(jīng)調(diào)試后以概率0.80可以出廠；以概率0.20定為不合格品不能出廠.現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了

n（n>2）臺(tái)儀器（假設(shè)各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過(guò)程相互獨(dú)立）.求：

（1）全部能出廠的概率a；

(2)其中恰好有兩臺(tái)不能出廠的概率夕；

(3)其中至少有兩臺(tái)不能出廠的概率火

十二、(本題滿分8分)

已知隨機(jī)變量x和y的聯(lián)合概率密度為

,、f4xy,0<x<l,0<y<l

(P(x,y)=^—

"]0,其他

求X和丫聯(lián)合分布函數(shù)b(x,y).

1994年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題

一、填空題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.把答案填在題中橫線上.)

⑴L#=

X

⑵已知m則叫(』_狗年…)

⑶設(shè)方程/+V=cosX確定y為X的函數(shù)，則華=?

ax

0q0L0

00G2L0

(4)設(shè)4=MMMM，其中a,H0,j=l,2,L則X

000Ltz?.

a00L0

（5）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

2%,0<%<1,

/(x)=<

0,其他,

以丫表示對(duì)x的三次獨(dú)立重復(fù)觀察中事件出現(xiàn)的次數(shù)，則p{y=2}=

二、選擇題（本題共5小題,每小題3分，滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的

字母填在題后的括號(hào)內(nèi).）

（1）曲線y=e/arctan的漸近線有（）

（尤+l）（x-2）

（A）l條（B）2條（C）3條（D）4條

⑵設(shè)常數(shù)4〉0,而級(jí)數(shù)收斂廁級(jí)數(shù)（）

n=ln=lVYl~+A

（A）發(fā)散（B）條件收斂（C）絕對(duì)收斂（D）收斂性與2有關(guān)

⑶設(shè)A是mx〃矩陣,C是〃階可逆矩陣，矩陣A的秩為r，矩陣B=AC的秩為大則

(A)r>rt(B)r<rt

(C)r=4(D)r與4的關(guān)系由C而定

⑷設(shè)0〈尸(A)<l,O<P(B)<l,P(A|B)+P(N5)=lJini()

(A)事件A和8互不相容(B)事件A和8相互對(duì)立

(C)事件A和8互不獨(dú)立(D)事件A和B相互獨(dú)立

(5)設(shè)乂,X2,X,,是來(lái)自正態(tài)總體)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,X是樣本均值，記

S；-X)2,5；(X,—滅尸

s；=：之區(qū)--4)2,,力(X,.一")2,

則服從自由度為"1的￡分布的隨機(jī)變量是()

...X-LIX-U

(A)t=—^(B)t=-^-

A/H—1yjn—\

(C)(D)t==^~

d3d4

三、(本題滿分6分)

計(jì)算二重積分JJ(x+y)必其中。=1羽田|『+y2<x+y+l|

D

四、(本題滿分5分)

設(shè)函數(shù)y=y（X）滿足條件

I-IL求廣義積心"

五、（本題滿分5分）

—?y?xa2f

已知/(犬,y)=xarctan——yarctan一,求——

xydxdy

（本題滿分5分）

設(shè)函數(shù)/(X)可導(dǎo)且/(0)=0,F(x)=J：tn-'f(x"-tn辿，求lim爸

（本題滿分8分）

已知曲線y=a&a>0）與曲線y=In?在點(diǎn)（%,%）處有公共切線，求:

（1）常數(shù)。及切點(diǎn)（%,%）；

⑵兩曲線與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積匕.

（本題滿分6分）

假設(shè)/（%）在出,+8）上連續(xù)，/（X）在（4,物）內(nèi)存在且大于零記

網(wǎng)幻=四義2（彳>孫

x-a

證明/（X）在（凡物）內(nèi)單調(diào)增加.

九、（本題滿分11分）

設(shè)線性方程組

23

玉+atx2+q&=4，

*+a2x2+a"=a：,

Xf+a3x2+。.注=W，

%+a4x2+a^x3=a：.

(1)證明:若4M2,6,%兩兩不相等，則此線性方程組無(wú)解；

(2)設(shè)4=%=k4=%=一k(k。0)，且已知自,A是該方程組的兩個(gè)解，其中

--inr1

B\=1,僅2=1

1][-1

寫出此方程組的通解.

十、(本題滿分8分)

設(shè)4=x1)有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，求x和>'應(yīng)滿足的條件.

100

十一、（本題滿分8分）

假設(shè)隨機(jī)變量XPX2,X3,X4相互獨(dú)立，且同分布

p{X,=0}=0.6,P{Xi=1}=0.4(/=1,2,3,4),

xX

求行列式乂=12的概率分布

XaXd

十二、（本題滿分8分）

假設(shè)由自動(dòng)線加工的某種零件的內(nèi)徑X（毫米）服從正態(tài)分布N（〃,l），內(nèi)徑小于10或大于12的為不合格品，其余

為合格品,銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品虧損.已知銷售利潤(rùn)7（單位:元）與銷售零件的內(nèi)徑X有如下關(guān)系：

-1,X<10,

T=<20,104X412,

-5,X>12.

問(wèn)平均內(nèi)徑H取何值時(shí)，銷售一個(gè)零件的平均利潤(rùn)最大？

1993年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題

一、填空題（本題共5小題,每小題3分，滿分15分，把答案填在題中橫線上.）

r..3%2+5.2

（1）hm---------sin—=.

XT85X+3x

⑵已知y=/?俘二尸(xbarctanV則半=___________.

(3x+2jdxv=0

⑶級(jí)數(shù)￡耳匚的和為___________.

n=o2

(4)設(shè)4階方陣A的秩為2，則其伴隨矩陣A"的秩為.

(5)設(shè)總體X的方差為L(zhǎng)根據(jù)來(lái)自X的容量為100的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，測(cè)得樣本均值為5,貝！IX的數(shù)學(xué)期望的置信度近

似等于0.95的置信區(qū)間為.

二、選擇題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的,把所選

項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)

⑴設(shè),〃力=則y(x)在點(diǎn)x=()處()

0,x=0,

(A)極限不存在(B)極限存在但不連續(xù)

(C)連續(xù)但不可導(dǎo)(D)可導(dǎo)

⑵設(shè)“力為連續(xù)函數(shù)且/(九)=『〃M，則戶(x)等于()

X

(A)-/(lnx)+4/f->|(B)-/(lnx)+/f-

XXyXJX\xJ

(C)-,/'(lnx)一_y/f-1(D)/(In

XXX)\X,

(3)〃階方陣A具有〃個(gè)不同的特征值是A與對(duì)角陣相似的()

(A)充分必要條件(B)充分而非必要條件

(C)必要而非充分條件(D)既非充分也^必要條件

(4)假設(shè)事件A和B滿足P(3|A)=1,則()

(A)A是必然事件(B)P(5|A)=0.

(C)AnB(D)AuB

(5)設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為(p(x)，旦夕(-x)=虱x).F(A)是X的分布函數(shù)則對(duì)任意實(shí)數(shù)a，有()

pa1_f?

(A)F(-a)-1-J()(p(x)dx.(B)F(-a)=-J(|(p{x}dx

(C)F(—a)=F(a)(D)F(-a)=2F(a)-l

三、(本題滿分5分)

設(shè)2=/(x,y)是由方程z-y-x+xe°T=0所確定的二元函數(shù)求dz.

四、(本題滿分7分)

x-a、x

已知lira=求常數(shù)a的值.

\x+a7Ja

五、(本題滿分9分)

設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為C=aq1+bq+c,需求函數(shù)為4=,(4-〃),其中。為成本,q為需求量(即產(chǎn)量),p為單

e

價(jià),a,b,c,d,e都是正的常數(shù)，且d>b求

(1)利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量及最大利潤(rùn)；

(2)需求對(duì)價(jià)格的彈性；

(3)需求對(duì)價(jià)格彈性的絕對(duì)值為1時(shí)的產(chǎn)量.

六、(本題滿分8分)

假設(shè)：(1)函數(shù)y=/(x)(0<x<田)滿足條件/(0)=0和0W/(x)<e'-l;

x

(2)平行于y軸的動(dòng)直線MN與曲線y=/⑶和y=e-l分別相交于點(diǎn)［和￡;

(3)曲線y=f(x)直線MN與x軸所圍封閉圖形的面積S恒等于線段利的長(zhǎng)度

求函數(shù)y=/(x)的表達(dá)式.

七、(本題滿分6分)

假設(shè)函數(shù)/(X)在。1］上連續(xù)在(0,1)內(nèi)二階可導(dǎo)，過(guò)點(diǎn)A(0J(0))與B(1J⑴)的直線與曲線y=/(x)相交于

點(diǎn)C(c"(c)),其中0<CYl.

證明:在(o,i)內(nèi)至少存在一點(diǎn)j，使r'c)=0.

八、(本題滿分10分)

k為何值時(shí)，線性方程組

X]+工2+也=4,

<一X]+Ax,+尤3=k2,

%|一4+2天———4

有惟一解，無(wú)解，有無(wú)窮多組解?在有解情況下，求出其全部解.

九、(本題滿分9分)

設(shè)二次型

/=片+尺+君+2aX]W+2/?x,x,+2毛毛

經(jīng)正交變換X=py化成/=￡+2$,其中乂=（/七,七）7和y=（x，%，為）,是三維列向量，P是3階正交矩陣.

試求常數(shù)0,/?.

十、（本題滿分8分）

設(shè)隨機(jī)變量X和丫同分布，X的概率密度為

—x~,0<x<2,

于（X）=?8

0,其他.

3

⑴已知事件4={X>。}和6={y>a}獨(dú)立，目尸（AU8）=j求常數(shù).

（2）求芹的數(shù)學(xué)期望.

十一.(本題滿分8分)

假設(shè)一大型設(shè)備在任何長(zhǎng)為f的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N")服從參數(shù)為〃的泊松分布.

(1)求相繼兩次故障之間時(shí)間間隔T的概率分布；

(2)求在設(shè)備已經(jīng)無(wú)故障工作8小時(shí)的情形下，再無(wú)故障運(yùn)行8小時(shí)的概率Q.

1992年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題

一、填空題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分，把答案填在題中橫線上.)

⑴設(shè)商品的需求函數(shù)為Q=100-5P,其中Q,P分別表示為需求量和價(jià)格，如果商品需求彈性的絕對(duì)值大于1,則商

品價(jià)格的取值范圍是___.

⑵級(jí)數(shù)之生羿的收斂域?yàn)?

⑶交換積分次序'f(x,y)dx=.

(0A、

⑷設(shè)A為機(jī)階方陣8為〃階方陣且|A|=a,忸|="。=則|C|=.

(5)將C,C,E,E,I,N,S等七個(gè)字母隨機(jī)地排成一行，那么，恰好排成英文單詞SCIENCE的概率為.

二、選擇題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的,把所選

項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)

(1)設(shè)F(x)=——「/■⑺力，其中/(%)為連續(xù)函數(shù)，則limF(x)等于()

x-aJaI

(A)a1(B)a2f(a)

(C)0(D)不存在

(2)當(dāng)x-()時(shí)，下面四個(gè)無(wú)窮小量中,哪一個(gè)是比其他三個(gè)更高階的無(wú)窮小量？()

(A)X2(B)1-cosx

(C)Vl-x2-1(D)x-tanx

(3)設(shè)A為mx〃矩陣，齊次線性方程組Ar=0僅有零解的充分條件是()

(A)A的列向量線性無(wú)關(guān)(B)A的列向量線性相關(guān)

(C)A的行向量線性無(wú)關(guān)(D)A的行向量線性相關(guān)

(4)設(shè)當(dāng)事件A與B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件C必發(fā)生，則()

(A)P(C)<P(A)+P(B)-1(B)P(C)>P(A)+P(B)-1

(C)P(C)=P(A3)(D)P(C)=P(AU8)

2

(5)設(shè)n個(gè)隨機(jī)變量X,,X2,???,%?獨(dú)立同分布,D(Xl)=a,X=-Yxi,

n,=i

片二工之途,「又f,則()

〃一1u

(A)S是b的無(wú)偏估計(jì)量(B)S是cr的最大似然估計(jì)量

（C）S是O'的相合估計(jì)量（即一致估計(jì)量）（D）S與又相互獨(dú)立

三、（本題滿分5分）

Incos（x-l）,

設(shè)函數(shù)./>?）=，1-sin-x問(wèn)函數(shù)/（x）在x=l處是否連續(xù)?若不連續(xù)，修改函數(shù)在x=l處的定義使

1,x=1.

之連續(xù).

四、（本題滿分5分）

計(jì)算/=J吧詈與.

五、（本題滿分5分）

Xd~z

設(shè)z=sin（W）+（p{x,—），求—-，其中（p（u,v）有二階偏導(dǎo)數(shù).

ydxdy

六、（本題滿分5分）

求連續(xù)函數(shù)/（%），使它滿足/（x）+/⑺力=%2.

七、（本題滿分6分）

求證:當(dāng)x21時(shí),arctanx——arccos-------=—

21+x-4

八、(本題滿分9分)

設(shè)曲線方程y=ef(xNO).

(1)把曲線y=,x軸,y軸和直線x=J4>0)所圍成平面圖形繞A-軸旋轉(zhuǎn)一周彳導(dǎo)一旋轉(zhuǎn)體，求此旋轉(zhuǎn)體體積

V?)；求滿足V(a)=:lim丫⑹的a.

2A+co

(2)在此曲線上找一點(diǎn),使過(guò)該點(diǎn)的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸所夾平面圖形的面積最大，并求出該面積.

九、(本題滿分7分)

設(shè)矩陣A與8相似其中

-20-100

22020

300

(1)求x和y的值.

(2)求可逆矩陣P，使得P-'AP=B.

十.（本題滿分6分）

已知三階矩陣8w0,且8的每一個(gè)列向量都是以下方程組的解:

$+2X2-2X3=0,

2x,一元2+4當(dāng)-0,

3玉+々一工3=

⑴求4的值；（2）證明慟=0.

十一、（本題滿分6分）

（A0、

設(shè)A、8分別為〃?、〃階正定矩陣試判定分塊矩陣。=是否是正定矩陣.

十二、（本題滿分7分）

假設(shè)測(cè)量的隨機(jī)誤差X口N（0,l（）2）,試求100次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量中,至少有三次測(cè)量誤差的絕對(duì)值大于19.6的概

率。,并利用泊松分布求出a的近似值（要求小數(shù)點(diǎn)后取兩位有效數(shù)字）.

［附表］

A1234567...

e"

0.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001...

十三、（本題滿分5分）

一臺(tái)設(shè)備由三大部分構(gòu)成，在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為0.10,0.20和0.30.假設(shè)各部件的狀態(tài)相互

獨(dú)立，以X表示同時(shí)需要調(diào)整的部件數(shù)，試求X的數(shù)學(xué)期望EX和方差OX.

十四、（本題滿分4分）

設(shè)二維隨機(jī)變量（X,丫）的概率密度為

0<x<y,

f(x,y)="

其他，

（1）求隨機(jī)變量X的密度力（X）；（2）求概率P{x+y<i}.

1991年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題

一、填空題(本題滿分15分,每小題3分.把答案填在題中橫線上.)

(1)設(shè)2=6/貝!］必=.

⑵設(shè)曲線/(x)=9+℃與g(x)=法2+C都通過(guò)點(diǎn)(TO),且在點(diǎn)(TO)有公共切線廁a=,b=

rc=.

⑶設(shè)/(x)=xe*,則f［，，)(x)在點(diǎn)x=處取極小值.

(QA、

(4)設(shè)4和B為可逆矩陣,X=為分塊矩陣，則Xt=.

(5)設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

0,X<—1,

0.4,-14x<1,

R(x)=P{X〈x}=

U.o,1<x<3,