高考數(shù)學(xué)理科二輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案直線與圓專題

直線與圓考向一：直線與圓的位置關(guān)系1、設(shè)直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圓：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d為圓心(a，b)到直線l的距離，聯(lián)立直線和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的判別式為Δ.2、（1）求過圓上的一點(diǎn)(x0，y0)的切線方程的方法先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，若k不存在，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為y＝y(tǒng)0；若k＝0，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為x＝x0；若k存在且k≠0，則由垂直關(guān)系知切線的斜率為－eq\f(1,k)，由點(diǎn)斜式可寫出切線方程．（2）求過圓外一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的兩種方法幾何法當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圓心到直線的距離等于半徑，即可求出k的值，進(jìn)而寫出切線方程代數(shù)法當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓的方程，得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切線方程即可求出3、求直線與圓相交時(shí)弦長(zhǎng)的兩種方法(1)幾何法：直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)弦心距為d，圓C的半徑為r，則|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代數(shù)法：將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設(shè)直線與圓的交點(diǎn)分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)．則|AB|＝eq\r(?x1－x2?2＋?y1－y2?2)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(直線l的斜率k存在)1、［2016?全國Ⅱ，4］圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝()A．－eq\f(4,3) B．－eq\f(3,4) C．eq\r(3) D．2解析圓的方程可化為(x－1)2＋(y－4)2＝4，則圓心坐標(biāo)為(1，4)，圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為eq\f(|a＋4－1|,\r(a2＋1))＝1，解得a＝－eq\f(4,3).故選A.2、【2019年高考浙江卷】已知圓的圓心坐標(biāo)是，半徑長(zhǎng)是.若直線與圓C相切于點(diǎn)，則=___________，=___________．【解析】由題意可知，把代入直線AC的方程得，此時(shí).3、直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是()A．[2,6]B．[4,8]C．[eq\r(2)，3eq\r(2)]D．[2eq\r(2)，3eq\r(2)]解析∵直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，∴A(－2,0)，B(0，－2)，則|AB|＝2eq\r(2).點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，圓心為(2,0)，∴圓心到直線x＋y＋2＝0的距離d1＝eq\f(|2＋0＋2|,\r(2))＝2eq\r(2)，故點(diǎn)P到直線x＋y＋2＝0的距離d2的范圍為[eq\r(2)，3eq\r(2)]，則S△ABP＝eq\f(1,2)|AB|d2＝eq\r(2)d2∈[2,6]，故選A.4、［2016?全國Ⅲ，16］已知直線l：mx＋y＋3m－eq\r(3)＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)．若|AB|＝2eq\r(3)，則|CD|＝________.解析由題意可知直線l過定點(diǎn)(－3，eq\r(3))，該定點(diǎn)在圓x2＋y2＝12上，不妨設(shè)點(diǎn)A(－3，eq\r(3))，由于|AB|＝2eq\r(3)，r＝2eq\r(3)，所以圓心到直線AB的距離為d＝eq\r(?2\r(3)?2－?\r(3)?2)＝3，又由點(diǎn)到直線的距離公式可得d＝eq\f(|3m－\r(3)|,\r(m2＋1))＝3，解得m＝－eq\f(\r(3),3)，所以直線l的斜率k＝－m＝eq\f(\r(3),3)，即直線l的傾斜角為30°.如圖，過點(diǎn)C作CH⊥BD，垂足為H，所以|CH|＝2eq\r(3)，在Rt△CHD中，∠HCD＝30°，所以|CD|＝eq\f(2\r(3),cos30°)＝4.5、［2017?江蘇卷，13］在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，點(diǎn)P在圓O：x2＋y2＝50上．若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))≤20，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是________．答案[－5eq\r(2)，1]設(shè)P(x，y)，則eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－12－x，－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－x，6－y)．∵eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))≤20，∴(－12－x)·(－x)＋(－y)·(6－y)≤20，即2x－y＋5≤0.如圖，作圓O：x2＋y2＝50，直線2x－y＋5＝0與⊙O交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，∵P在圓O上且滿足2x－y＋5≤0，∴點(diǎn)P在eq\x\to(EDF)上．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝50，,2x－y＋5＝0))得F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.又D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－5eq\r(2)，∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為[－5eq\r(2)，1]．考向二：圓的方程綜合問題1、［2018?全國Ⅱ，19］(本小題滿分12分)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．解(1)由題意，得F(1,0)，l的方程為y＝k(x－1)(k>0)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k?x－1?，,y2＝4x，))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2).所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝eq\f(4k2＋4,k2).由題設(shè)知eq\f(4k2＋4,k2)＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此，l的方程為y＝x－1.(2)由(1)，得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝－x0＋5，,?x0＋1?2＝\f(?y0－x0＋1?2,2)＋16，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝3，,y0＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝11，,y0＝－6.))因此，所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.2、［2017?全國Ⅲ，20］已知拋物線C：y2＝2x，過點(diǎn)(2，0)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓．(1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；(2)設(shè)圓M過點(diǎn)P(4，－2)，求直線l與圓M的方程．解(1)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋2，,y2＝2x))可得y2－2my－4＝0，則y1y2＝－4.又x1＝eq\f(y\o\al(2,1),2)，x2＝eq\f(y\o\al(2,2),2)，故x1x2＝eq\f(?y1y2?2,4)＝4.因此OA的斜率與OB的斜率之積為eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝eq\f(－4,4)＝－1，所以O(shè)A⊥OB，故坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上．(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4，故圓心M的坐標(biāo)為(m2＋2，m)，圓M的半徑r＝eq\r(?m2＋2?2＋m2).由于圓M過點(diǎn)P(4，－2)，因此eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.由(1)可知y1y2＝－4，x1x2＝4，所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－eq\f(1,2).當(dāng)m＝1時(shí)，直線l的方程為x－y－2＝0，圓心M的坐標(biāo)為(3，1)，圓M的半徑為eq\r(10)，圓M的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝10.當(dāng)m＝－eq\f(1,2)時(shí)，直線l的方程為2x＋