江西省贛州市2023屆高三下學期3月摸底考試數(shù)學（理）試題含答案

贛州市2023年高三年級摸底考試數(shù)學（理科）試卷 2023年3月本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間120分鐘第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.2.已知i為虛數(shù)單位，若，則實數(shù)的值為（）A.3 B.2 C.1 D.3.在平面直角坐標系中，角，均以坐標原點為頂點，軸的正半軸為始邊.若點在角的終邊上，點在角的終邊上，則（）A. B. C. D.4.某公司對2022年的營收額進行了統(tǒng)計，并繪制成如圖所示的扇形統(tǒng)計圖.在華中地區(qū)的三省中，湖北省的營收額最多，河南省的營收額最少，湖南省的營收額約2156萬元.則下列說法錯誤的是（）A.該公司2022年營收總額約為30800萬元B.該公司在華南地區(qū)的營收額比河南省營收額的3倍還多C.該公司在華東地區(qū)的營收額比西南地區(qū)、東北地區(qū)及湖北省的營收額之和還多D.該公司在湖南省的營收額在華中地區(qū)的營收額的占比約為35.6%5.已知點，雙曲線的左焦點為，點在雙曲線的右支上運動.當?shù)闹荛L最小時，（）A. B. C. D.6.已知，則（）A.40 B.8 C. D.7.在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，成等差數(shù)列，，則（）A. B. C. D.8.已知，，，則（）A. B. C. D.9.若函數(shù)，則方程的實根個數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.610.德國數(shù)學家米勒曾提出最大視角問題，這一問題一般的描述是：已知點，是的邊上的兩個定點，是邊上的一個動點，當在何處時，最大？問題的答案是：當且僅當?shù)耐饨訄A與邊相切于點時最大，人們稱這一命題為米勒定理.已知點，的坐標分別是，，是軸正半軸上的一動點.若的最大值為，則實數(shù)的值為（）A. B.2 C.3 D.411.已知橢圓的左、右焦點分別為、.橢圓在第一象限存在點，使得，直線與軸交于點，且是的角平分線，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.12.在棱長為6的正方體中，，分別為，的中點，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分，第13~21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22~23題為選考題，考生根據要求作答.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，.若，則實數(shù)的值為______.14.若實數(shù)，滿足約束條件則的最大值為______.15.已知函數(shù).若存在，，使不等式成立，則整數(shù)的值可以為______.（寫出一個即可）.16.已知函數(shù)，的定義域均為，且，.若的圖像關于直線對稱，且，有四個結論①；②4為的周期；③的圖像關于對稱；④，正確的是______（填寫題號）.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.17.（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和.18.（本小題滿分12分）近年來，我國加速推行垃圾分類制度，全國垃圾分類工作取得積極進展.某城市推出了兩套方案，并分別在，兩個大型居民小區(qū)內試行.方案一：進行廣泛的宣傳活動，通過設立宣傳點、發(fā)放宣傳單等方式，向小區(qū)居民和社會各界宣傳垃圾分類的意義，講解分類垃圾桶的使用方式，垃圾投放時間等，定期召開垃圾分類會議和知識宣傳教育活動；方案二：智能化垃圾分類，在小區(qū)內分別設立分類垃圾桶，垃圾回收前端分類智能化，智能垃圾桶操作簡單，居民可以通過設備進行自動登錄、自動稱重、自動積分等一系列操作.建立垃圾分類激勵機制，比如，垃圾分類換積分，積分可兌換禮品等，激發(fā)了居民參與垃圾分類的熱情，帶動居民積極主動地參與垃圾分類.經過一段時間試行之后，在這兩個小區(qū)內各隨機抽取了100名居民進行問卷調查，記錄他們對試行方案的滿意度得分（滿分100分），將數(shù)據分成6組：，，，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）請通過頻率分布直方圖分別估計兩種方案滿意度的平均得分，判斷哪種方案的垃圾分類推廣措施更受居民歡迎（同一組中的數(shù)據用該組中間的中點值作代表）；（2）以樣本頻率估計概率，若滿意度得分不低于70分說明居民贊成推行此方案，低于70分說明居民不太贊成推行此方案.現(xiàn)從小區(qū)內隨機抽取5個人，用表示贊成該小區(qū)推行方案的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望.19.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，平面平面，，，，分別為，的中點，且.（1）證明：；（2）若為等邊三角形，求直線與平面所成角的正弦值.20.（本小題滿分12分）已知拋物線，為其焦點，點在上，且（為坐標原點）.（1）求拋物線的方程；（2）若，是上異于點的兩個動點，當時，過點作于，問平面內是否存在一個定點，使得為定值？若存在，請求出定點及該定值；若不存在，請說明理由.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（，e為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）函數(shù)，，記的極小值為，求函數(shù)的值域.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.22.（本小題滿分10分）[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]在直角坐標系中，已知曲線（為參數(shù)），曲線，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求曲線的極坐標方程及曲線的普通方程；（2）已知，是曲線上的兩個動點（異于原點），且，若曲線與直線有且僅有一個公共點，求的值.23.（本小題滿分10分）[選修4-5；不等式選講]已知函數(shù).（1）若，解不等式；（2）證明：.贛州市2023年高三年級摸底考試數(shù)學（理科）參考答案一、選擇題題號123456789101112答案BABDCDCDACBD11.解：由題意得，由橢圓定義得：.記，則，，則，，故，則（或由內角平分線定理得到），則，即（負值已舍）.12.解：如圖，設，分別為棱，的中點，則三棱錐與三棱柱外接球相同.由余弦定理，由正弦定理外接圓半徑，設三棱柱外接球半徑為，則，則三棱錐外接球的表面積.二、填空題13.； 14.； 15.與中的任選一個即可；16.①②③④.16.解：由結合，，，由得：，即，結合得：，從而有，進而得：，故4是的周期.又由的圖像關于直線對稱，即，從而可得：，從而有：，即，結合得，的圖像關于對稱，且，又，得.三、解答題17.解：（1）由…①當時，……1分當時，有…②……3分①-②得：，即……5分不符合上式，故……6分（2）由（1）知……7分故當時，……8分當時，……10分……11分因符合上式，故……12分18.解：（1）設小區(qū)方案一的滿意度平均分為，則……2分設小區(qū)方案二的滿意度平均分為，則……3分∵……4分∴方案二的垃圾分類推行措施更受居民歡迎……5分（2）由題意可知方案二中，滿意度不低于70分的頻率為，低于70分的頻率為……6分現(xiàn)從小區(qū)內隨機抽取5個人，的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，則……7分，……8分，……9分，……10分∴的分布列為012345……11分期望……12分19.證：（1）證明：如圖，連接，∵，為的中點，∴……1分又平面平面，平面平面，平面，故平面……2分∵平面，∴……3分又∵，且，，平面∴平面；而平面，∴……4分（2）解：由為等邊三角形，，得……5分如圖，過作的平行線軸，結合（1）知軸，，兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，設為平面的一個法向量……6分則……7分又，，得取，得，則……8分∵為的中點，∴……9分∵，∴……10分則……11分設直線與平面所成角為，則……12分20.解：（1）因為點在上，則，而……2分所以……3分∴，所以……4分∴該拋物線的方程為……5分（2）法一：設，，，不妨設，∵，則，解得……6分①當與軸不垂直時，，，此時直線的方程為：，整理得……7分∵，∴的方程為：，則直線恒過定點……8分∵，即，∴在以為直徑的圓上，該圓方程為……9分即當為該圓心時，為定值……10分②當軸時，，此時，∵，∴；當時，也滿足……11分綜上，平面內存在一個定點，使得為定值4……12分法二：設直線的方程為，，，聯(lián)立……6分由題意，由韋達定理得：，……7分由，即解得……8分即，直線恒過定點……10分下同法一21.解：（1）法一：由得，故當時，；當時，.故函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在上單調遞增……1分∴，①當時，，函數(shù)無零點……2分②當時，，函數(shù)有一個零點……3分③當時，，又，……4分故當時，函數(shù)有兩個零點……5分法二：方程等于解方程，記，故當時，；當時，.故函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在上單調遞增……1分∴，①當時，函數(shù)，即無零點……2分②當時，函數(shù)即有一個零點……3分③當時，由，……4分故當時，函數(shù)，即有兩個零點……5分（2）法一：由，得：……6分由（1）知：當時，有兩個零點，（不妨設），同時，也是的兩個零點，且函數(shù)與單調性完全相同……7分∴在，上單調遞增，在上單調遞減……8分∴的極小值為……9分又滿足，即，代入上式得……10分又，∴……11分∴……12分法二：由，記，結合顯然函數(shù)在上單調遞增，且，，故存在唯一，使得，且當時，；當時，，故在上單調遞減，在單調遞增，又，，，故存在兩個零點，（不妨設），下同法一注：，即或均可處理.22.解：（1）由曲線（為參數(shù)），得，∴曲線的普通方程為……1分又由，得，∴曲線的極坐標方程為……3分又曲線，得，即……4分∴曲線的普通方程為……5分（2）由題意，設，則，又曲線與直線有且僅有一個公共點，∴即為點到直