2021-2022學年江西省撫州市普通高校對口單招高等數學一自考測試卷(含答案及部分解析)

2021-2022學年江西省撫州市普通高校對口單招高等數學一自考測試卷(含答案及部分解析)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.設y=lnx，則y″等于()．

A.1/x

B.1/x2

C.-1/x

D.-1/x2

2.微分方程y"-y'=0的通解為()。A.

B.

C.

D.

3.

A.-e

B.-e-1

C.e-1

D.e

4.曲線y=x+(1/x)的凹區(qū)間是

A.(-∞，-1)B.(-1，+∞)C.(-∞，0)D.(0，+∞)

5.函數f(x)=2x3-9x2+12x-3單調減少的區(qū)間為A.(-∞，1]B.[1，2]C.[2，+∞)D.[1，+∞)

6.設函數z=sin(xy2)，則等于()。A.cos(xy2)

B.xy2cos(xy2)

C.2xyeos(xy2)

D.y2cos(xy2)

7.二次積分等于()A.A.

B.

C.

D.

8.如圖所示兩楔形塊A、B自重不計，二者接觸面光滑，受大小相等、方向相反且沿同一直線的兩個力的作用，則()。

A.A平衡，B不平衡B.A不平衡，B平衡C.A、B均不平衡D.A、B均平衡

9.設f(xo)=0，f(xo)<0，則下列結論中必定正確的是

A.xo為f(x)的極大值點

B.xo為f(x)的極小值點

C.xo不為f(x)的極值點

D.xo可能不為f(x)的極值點

10.下列命題中正確的有（）A.A.

B.

C.

D.

11.設y1(x)，y2(x)二階常系數線性微分方程y＋py＋qy=0的兩個線性無關的解，則它的通解為（）A.A.y1(x)＋c2y2(x)

B.c1y1(x)＋y2(x)

C.y1(x)＋y2(x)

D.c1y1(x)＋c2y2(x)注．c1，C2為任意常數．

12.

13.在空間直角坐標系中，方程2+3y2+3x2=1表示的曲面是()．

A.球面

B.柱面

C.錐面

D.橢球面

14.

15.設f(x)在點x0的某鄰域內有定義，且，則f'(x0)等于()．A.-1B.-1/2C.1/2D.116.下列結論正確的有A.若xo是f(x)的極值點，則x0一定是f(x)的駐點

B.若xo是f(x)的極值點，且f’(x0)存在，則f’(x)=0

C.若xo是f(x)的駐點，則x0一定是f(xo)的極值點

D.若f(xo)，f(x2)分別是f(x)在(a，b)內的極小值與極大值，則必有f(x1)<f(x2)

17.微分方程y′-y=0的通解為()．

A.y=ex+C

B.y=e-x+C

C.y=Cex

D.y=Ce-x

18.A.1B.0C.2D.1/2

19.

20.

二、填空題(20題)21.

22.23.設z=ln(x2+y)，則全微分dz=__________。

24.

則F(O)=_________．

25.

26.

27.28.

29.

30.31.32.

33.

34.35.

36.

37.

38.

39.

40.

三、計算題(20題)41.

42.求曲線在點(1，3)處的切線方程．43.求微分方程的通解．

44.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

45.

46.

47.求函數一的單調區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點．48.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發(fā)散，其中常數a>0．49.50.證明：51.52.設平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．53.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．54.求函數y=x-lnx的單調區(qū)間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

55.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

56.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區(qū)間和極值．57.58.

59.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

60.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則四、解答題(10題)61.給定曲線y=x3與直線y=px-q(其中p＞0)，求p與q為何關系時，直線y=px-q是y=x3的切線.

62.求微分方程y"-3y'+2y=0的通解。

63.

64.

65.(本題滿分8分)

66.求∫xsin(x2+1)dx。

67.

68.

69.求二元函數z=x2-xy+y2+x+y的極值。

70.求五、高等數學(0題)71.已知某廠生產x件產品的成本為

問：若使平均成本最小，應生產多少件產品?

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.D由于Y=lnx，可得知，因此選D．

2.B本題考查的知識點為二階常系數齊次微分方程的求解。微分方程為y"-y'=0特征方程為r2-r=0特征根為r1=1，r2=0方程的通解為y=C1ex+c2可知應選B。

3.C所給問題為反常積分問題，由定義可知

因此選C．

4.D解析：

5.Bf(x)=2x3-9x2+12x-3的定義域為(-∞，+∞)

f'(x)=6x2-18x+12=6(x23x+2)=6(x-1)(x-2)。

令f'(x)=0得駐點x1=1，x2=2。

當x＜1時，f'(x)＞0，f(x)單調增加。

當1＜x＜2時，f'(x)＜0，f(x)單調減少。

當x＞2時，f'(x)＞0，f(x)單調增加。因此知應選B。

6.D本題考查的知識點為偏導數的運算。由z=sin(xy2)，知可知應選D。

7.A本題考查的知識點為交換二次積分的積分次序．

由所給二次積分限可知積分區(qū)域D的不等式表達式為：

0≤x≤1，0≤y≤1-x，

其圖形如圖1-1所示．

交換積分次序，D可以表示為

0≤y≤1，0≤x≤1-y，

因此

可知應選A．

8.C

9.A

10.B

11.D

12.B

13.D對照標準二次曲面的方程可知x2+3y2+3x2=1表示橢球面，故選D．

14.B

15.B由導數的定義可知

可知，故應選B。

16.B

17.C所給方程為可分離變量方程．

18.C

19.A解析：

20.B

21.22.5．

本題考查的知識點為二元函數的偏導數．

解法1

解法2

23.

24.

25.

26.

27.

28.本題考查的知識點為連續(xù)性與極限的關系．

由于為初等函數，定義域為(-∞，0)，(0，+∞)，點x=2為其定義區(qū)間(0，+∞)內的點，從而知

29.

30.31.132.1/6

本題考查的知識點為計算二重積分．

33.2yex+x

34.35.

36.

解析：

37.3yx3y-13yx3y-1

解析：38.1．

本題考查的知識點為反常積分，應依反常積分定義求解．

39.2

40.41.由一階線性微分方程通解公式有

42.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

43.

44.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

45.

46.

47.

列表：

說明

48.

49.

50.

51.52.由二重積分物理意義知

53.

54.

55.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％56.函數的定義域為

注意

57.

58.

則

59.

60.由等價無窮小量的定義可知

61.

62.y"-3y'+2y=0特征方程為r2-3r+2=0(r-1)(r-2)=0。特征根為r1=1r2=2。方程的通解為y=C1ex+C2e2x。y"-3y'+2y=0，特征方程為r2-3r+2=0，(r-1)(r-2)=0。特征根為r1=1，r2