2022-2023學(xué)年安徽省馬鞍山市高二年級上冊學(xué)期階段聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)等校高二上學(xué)期階段聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在長方體中，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量加法的幾何意義，結(jié)合長方體的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】，故選：B2．下列說法正確的是（

）A．在相同條件下，進(jìn)行大量重復(fù)試驗，可以用頻率來估計概率B．?dāng)S一枚骰子次，“出現(xiàn)點(diǎn)”與“出現(xiàn)點(diǎn)”是對立事件C．甲?乙兩人對同一個靶各射擊一次，記事件“甲中靶”，“乙中靶”，則“恰有一人中靶”D．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若前次均正面向上，則第次正面向上的概率小于【答案】A【分析】根據(jù)頻率與概率、互斥與對立、并事件、概率等知識對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】對于A，在相同條件下，進(jìn)行大量重復(fù)試驗，可以用頻率來估計概率，A正確；對于B，擲一枚骰子次，“出現(xiàn)點(diǎn)”與“出現(xiàn)點(diǎn)”是互斥事件，但不是對立事件，B錯誤；對于C，“靶被擊中”，C錯誤；對于D，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，無論哪一次，正面向上的概率都等于，D錯誤.故選：A.3．已知直線的方向向量分別為，若，則（

）A．1 B．2 C．0 D．3【答案】D【分析】由線線垂直可知其方向向量垂直，再利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示即可求得答案.【詳解】因為，所以，故，所以，則.故選：D.4．“事件與事件相互獨(dú)立”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)相互獨(dú)立的定義結(jié)充分條件必要條件的定義分析判斷.【詳解】當(dāng)事件與事件相互獨(dú)立時，，當(dāng)時，事件與事件相互獨(dú)立，所以“事件相互獨(dú)立”是“”的充要條件.故選：C.5．某小組有1名男生和2名女生，從中任選2名學(xué)生參加圍棋比賽，事件“至少有1名男生”與事件“至少有1名女生”（

）A．是對立事件 B．都是不可能事件C．是互斥事件但不是對立事件 D．不是互斥事件【答案】D【分析】根據(jù)對立事件、互斥事件的定義判斷即可判斷.【詳解】事件“至少有1名男生”與事件“至少有1名女生”能同時發(fā)生，即兩名學(xué)生正好一名男生，一名女生，故兩事件既不是對立事件也不是互斥事件.故選：D.6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在側(cè)棱PC上，且，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的三角形法則運(yùn)算求解．【詳解】解：在平行四邊形ABCD中，，在中，，，，，在中，．故選：B．7．編號為1，2，3的三位學(xué)生隨意坐入編號為1，2，3的三個座位，每個座位坐一位學(xué)生，則三位學(xué)生所坐的座位號與學(xué)生的編號恰好都不同的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】所有的排列法共有種，用列舉法求得滿足條件的排列數(shù)只有2種，由此可求得滿足條件的概率.【詳解】編號為1，2，3的三位學(xué)生隨意坐入編號為1，2，3的三個座位時，1號學(xué)生有3種坐法，2號學(xué)生有2種坐法，3號學(xué)生只有1種坐法，所以一共有6種坐法，其中座位號與學(xué)生的編號恰好都不同的坐法只有2種，所以所求的概率.故選：B.8．如圖，在四棱錐中，PD底面，底面為正方形，PD=DC=2，Q為PC上一點(diǎn)，且PQ=3QC，則異面直線AC與BQ所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線所成的角即可【詳解】因為PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，所以DP，DC，DA兩兩互相垂直，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由，得，，，，，所以，，設(shè)異面直線AC與BQ所成的角為，則，又，所以異面直線AC與BQ所成的角為．故選：A．二、多選題9．中國籃球職業(yè)聯(lián)賽（CBA）中，某男籃球運(yùn)動員在最近幾次比賽中的得分情況如下表:投籃次數(shù)投中兩分球的次數(shù)投中三分球的次數(shù)沒投中100551827記該運(yùn)動員在一次投籃中，投中兩分球為事件A，投中三分球為事件B，沒投中為事件C，用頻率估計概率的方法，得到的下述結(jié)論中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】依題意事件與事件為對立事件，且事件，，互斥，根據(jù)和事件和對立事件的概率公式計算可得；【詳解】解：由題意可知，，，事件與事件為對立事件，且事件，，互斥，所以，，，故選：AC.10．已知不共面的三個向量都是單位向量，且夾角都是，則下列結(jié)論正確的是（

）A．不是空間的一組基底B．不是空間的一組基底C．向量的模是2D．向量和的夾角為【答案】BD【分析】對于AB，利用共面向量定理判斷，對于C，利用求解，對于D，利用向量的夾角公式計算.【詳解】假設(shè)共面，則，所以，方程組無解，所以假設(shè)不成立，所以空間向量不共面，所以是空間的一組基底，A錯誤；假設(shè)共面，則，即，解得，所以三個向量共面，不是空間的一組基底，B正確；由題意，得，所以，C錯誤；，設(shè)向量和的夾角為，則，又，所以，D正確.故選：BD.11．已知甲罐中有四個相同的小球，標(biāo)號為1，2，3，4；乙罐中有五個相同的小球，標(biāo)號為1，2，3，5，6，現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個小球，記事件“抽取的兩個小球標(biāo)號之和大于5”，事件“抽取的兩個小球標(biāo)號之積大于8”，則（

）A．事件發(fā)生的概率為B．事件發(fā)生的概率為C．事件發(fā)生的概率為D．從甲罐中抽到標(biāo)號為2的小球的概率為【答案】BC【分析】根據(jù)題意，分別列舉出事件和事件所包含的基本事件，再逐項判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個小球，共包含個基本事件；“抽取的兩個小球標(biāo)號之和大于5”包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共個基本事件；“抽取的兩個小球標(biāo)號之積大于8”包含的基本事件有：，，，，，，，，共個基本事件；即事件是事件的子事件；因此事件發(fā)生的概率為，故A錯；事件包含的基本事件個數(shù)為個，所以事件發(fā)生的概率為；故B正確；事件包含的基本事件個數(shù)為個，所以事件發(fā)生的概率為，故C正確；從甲罐中抽到標(biāo)號為2的小球，包含的基本事件為：，，，，共個基本事件，故從甲罐中抽到標(biāo)號為2的小球的概率為，即D錯誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】本題主要考查求古典概型的概率，考查求并事件和交事件的概率，屬于基礎(chǔ)題型.12．已知空間中不共面的四點(diǎn)，，，，則（

）A．直線與所成角的余弦值是 B．二面角的正弦值是C．點(diǎn)D到平面的距離是 D．四面體的體積是【答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量求出線線角、面面角、點(diǎn)到平面的距離判斷A，B，C，再求出四面體的體積判斷D作答.【詳解】依題意，，，，所以直線與所成角的余弦值是，A正確；，令是平面的一個法向量，則，令，得，令是平面的一個法向量，則，令，得，則，二面角的正弦值是，B錯誤；由選項B知，點(diǎn)D到平面的距離，C正確；，則，于是得的面積，所以四面體的體積，D正確.故選：ACD三、填空題13．在100件產(chǎn)品中，有95件一級品，5件二級品，給出下列事件：①在這100件產(chǎn)品中任意選出6件，全部是一級品；②在這100件產(chǎn)品中任意選出6件，全部是二級品；③在這100件產(chǎn)品中任意選出6件，不全是一級品；④在這100件產(chǎn)品中任意選出6件，至少一件是一級品，其中__________是隨機(jī)事件.（如果沒有，請?zhí)睢盁o”；如果有，請?zhí)钚蛱枺敬鸢浮竣佗邸痉治觥扛鶕?jù)隨機(jī)事件的定義分析判斷即可.【詳解】對于①，因為100件產(chǎn)品中，有95件一級品，5件二級品，所以在這100件產(chǎn)品中任意選出6件，全部是一級品是橢機(jī)事件，對于②，因為100件產(chǎn)品中，有95件一級品，5件二級品，所以在這100件產(chǎn)品中任意選出6件，全部是二級品是不可能事件，對于③，因為100件產(chǎn)品中，有95件一級品，5件二級品，所以在這100件產(chǎn)品中任意選出6件，不全是一級品是隨機(jī)事件，對于④，因為100件產(chǎn)品中，有95件一級品，5件二級品，所以在這100件產(chǎn)品中任意選出6件，至少一件是一級品是必然事件，故答案為：①③.14．已知甲?乙兩球落入盒子的概率分別為和.假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲?乙兩球都落入盒子的概率為__________.【答案】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)甲?乙兩球落入盒子分別為事件，因為兩球是否落入盒子互不影響，所以相互獨(dú)立，所以甲?乙兩球都落入盒子的概率為.故答案為：15．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，，若四點(diǎn)共面，則___________.【答案】6【分析】先由點(diǎn)的坐標(biāo)求得向量，再利用共面向量定理得到，由此列出方程組即可求得.【詳解】由題意，得，又四點(diǎn)共面，則存在，使得，即，即，解得，所以.故答案為：6.16．如圖，在三棱錐中，點(diǎn)G為底面的重心，點(diǎn)M是線段上靠近點(diǎn)G的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)M的平面分別交棱，，于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若，，，則_______.【答案】##4.5【分析】由空間向量基本定理得，因為D，E，F(xiàn)，M四點(diǎn)共面，由平面向量基本定理得，可解得的值.【詳解】由題意可知，因為D，E，F(xiàn)，M四點(diǎn)共面，所以存在實數(shù)，，使，所以，所以，所以所以.故答案為：四、解答題17．已知向量，，.（1）若，求的值；（2）若，，求的值.【答案】（1）7；（2）或.【分析】（1）根據(jù)題意，偶，列出方程求得的值，求得，得到，利用模的公式，即可求解；（2）由，求得，又由，求得，分類討論，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】（1）由，則存在實數(shù)，使，即，所以，解得，所以.則，所以.（2）由，可得，即，解得，又由，可得，解得，當(dāng)時，，，所以.當(dāng)時，，，所以.18．某校有甲?乙兩個數(shù)學(xué)興趣小組，甲組有男生3名，女生2名，乙組有男生2名，女生2名.(1)若從甲數(shù)學(xué)興趣小組任選2人參加學(xué)校數(shù)學(xué)競賽，求參賽學(xué)生恰好有1名男生的概率；(2)若從甲?乙數(shù)學(xué)興趣小組各選1人參加市級數(shù)學(xué)競賽，求參賽學(xué)生至少有1名男生的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用列舉法和古典概型問題的應(yīng)用求出結(jié)果；（2）直接利用列舉法和古典概型問題的應(yīng)用求出結(jié)果；【詳解】（1）記“參賽學(xué)生恰好有1名男生”是事件.記甲組的3名男生分別為，，，2名女生分別是，，則基本事件有，，，，，，，，，，共種.事件發(fā)生的有，，，，，，共6種.因此由古典概型的概率計算公式可得.（2）記“參賽學(xué)生至少有1名男生”是事件.記甲組的3名男生分別為，，，2名女生分別是，，乙組的2名男生分別為，，2名女生分別是，，則基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20種.事件不發(fā)生的有，，，，共4種.因此由古典概型的概率計算公式可得.所以.19．已知四棱錐的底面為直角梯形，，，底面，且，是的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接、，即可證明四邊形是平行四邊形，從而得到，即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)為，連接、，因為、分別是、的中點(diǎn)，所以且，又且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：因為，底面，所以兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，則，設(shè)平面的一個法向量為，所以，即，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.20．某班級需要從甲?乙兩名學(xué)生中選一人參加學(xué)校數(shù)學(xué)競賽，抽取了近期兩人6次數(shù)學(xué)考試的成績，統(tǒng)計結(jié)果如下表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次甲的成績（分）798671938782乙的成績（分）897775928283(1)若從甲?乙兩名學(xué)生中選一人參加數(shù)學(xué)競賽，請從統(tǒng)計學(xué)的角度考慮，你認(rèn)為選誰參加數(shù)學(xué)競賽較合適？并說明理由；(2)若數(shù)學(xué)競賽分初賽和復(fù)賽，在初賽中有兩種答題方案：方案一：每人從5道備選題中任意抽出1道，若答對，則可參加復(fù)賽，否則被淘汰.方案二：每人從5道備選題中任意抽出3道，若至少答對其中2道，則可參加復(fù)賽，否則被淘汰.已知學(xué)生甲?乙都只會5道備選題中的3道，那么你推薦的選手選擇哪種答題方案進(jìn)入復(fù)賽的可能性更大？并說明理由.【答案】(1)選派乙參加數(shù)學(xué)競賽較合適，理由見解析(2)推薦的選手選擇方案二進(jìn)入復(fù)賽的可能性更大，理由見解析【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的運(yùn)算公式，結(jié)合方差的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)古典概型計算公式，結(jié)合列舉法進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）選派乙參加數(shù)學(xué)競賽較合適.由題意得，，，，由，可知甲?乙的平均分相同，但乙的成績比甲穩(wěn)定，故選派乙參加數(shù)學(xué)競賽較合適；（2）5道備選題中學(xué)生會的3道分別記為，不會的2道分別記為，方案一：學(xué)生從5道備選題中任意抽出1道的結(jié)果有：，共5種，抽中會的備選題的結(jié)果有，共3種，所以此方案學(xué)生可參加復(fù)賽的概率.方案二：學(xué)生從5道備選題中任意抽出3道的結(jié)果有：，，共10種，抽中至少2道會的備選題的結(jié)果有：，共7種，所以此方案學(xué)生可參加復(fù)賽的概率.因為，所以推薦的選手選擇方案二進(jìn)入復(fù)賽的可能性更大.21．甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球.甲先投且先投中者獲勝，約定有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響.(1)求甲獲勝的概率；(2)求投籃結(jié)束時乙只投