自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第一頁，共六十五頁，2022年，8月28日本章概述

2.1動態(tài)微分方程式的編寫

2.2傳遞函數(shù)

2.4系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖

2.6系統(tǒng)傳遞函數(shù)的求取

2.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

2.5系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換和化簡第二頁，共六十五頁，2022年，8月28日本章重點

本章介紹了建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型和簡化的相關(guān)知識。包括線性定常系統(tǒng)微分方程的建立、傳遞函數(shù)概念與應(yīng)用、方框圖及其等效變換、梅遜公式的應(yīng)用等。通過本章學(xué)習(xí)，應(yīng)著重準(zhǔn)確掌握傳遞函數(shù)的概念及其求取方法、控制系統(tǒng)方框圖的構(gòu)成和等效變換方法、典型閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的基本概念和梅遜公式的應(yīng)用。本章主要內(nèi)容第三頁，共六十五頁，2022年，8月28日概述微分方程（時域數(shù)學(xué)模型）傳遞函數(shù)（復(fù)域數(shù)學(xué)模型）頻率特性（頻域數(shù)學(xué)模型）動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(幾何模型)

返回1.數(shù)學(xué)模型------描述系統(tǒng)變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式2.建模的基本方法:(1)解析法

(2)實驗辯識法3.經(jīng)典控制理論常用數(shù)學(xué)模型的主要形式:第四頁，共六十五頁，2022年，8月28日2.1系統(tǒng)的微分方程式

步驟：1.確定系統(tǒng)輸入量(給定量和擾動量)

與輸出量(被控制量,也稱系統(tǒng)響應(yīng))2.

列寫系統(tǒng)各部分的微分方程

3.消去中間變量,求出系統(tǒng)的微分方程

4.將微分方程整理成標(biāo)準(zhǔn)形式。一、線性系統(tǒng)微分方程的建立第五頁，共六十五頁，2022年，8月28日圖2-1RC電路例2.1編寫如圖2-1所示RC電路的微分方程式第六頁，共六十五頁，2022年，8月28日

解:(1)確定輸入、輸出量

ui(t)----輸入量

uo(t)----輸出量(2)列寫微分方程（3）消去中間變量,可得電路微分方程式第七頁，共六十五頁，2022年，8月28日圖2-2直流電動機(jī)電樞電路例2-2編寫電樞控制的他激直流電動機(jī)的微分方程式第八頁，共六十五頁，2022年，8月28日

(2)列寫微分方程式：解：(1)確定輸入量和輸出量：取輸入量為電動機(jī)的電樞電壓ua，取輸出量為電動機(jī)的轉(zhuǎn)速n。第九頁，共六十五頁，2022年，8月28日（3）消去中間變量并予以標(biāo)準(zhǔn)化后得電樞回路的電磁時間常數(shù)：電動機(jī)的機(jī)電時間常數(shù)：第十頁，共六十五頁，2022年，8月28日若不考慮電動機(jī)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL，即設(shè)TL=0，則有返回第十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日1、疊加定理：兩個函數(shù)代數(shù)和的拉氏變換等于兩個函數(shù)拉氏變換的代數(shù)和。即

L[f1(t)±f2(t)]=L[f1(t)±L[f2(t)]=F1(s)±F2(s)復(fù)習(xí)拉普拉斯變換一、拉氏變換的定義二、拉氏變換的運(yùn)算定理其中，原來的實變量函數(shù)f(t)——原函數(shù)變換后的復(fù)變量函數(shù)F(s)——象函數(shù)第十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日5、終值定理：2、比例定理：

K倍原函數(shù)的拉氏變換等于原函數(shù)拉氏變換的倍。即

L[Kf(t)]=KL[f(t)]=KF(s)3、微分定理：在零初始條件下4、延遲定理：L[f(t-τ)]=e-sτF(s)第十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日通過查表，已知原函數(shù)f(t)，可求得象函數(shù)F(s)；同理，已知象函數(shù)f(t)，可求得原函數(shù)F(s)。三、原函數(shù)和象函數(shù)之間的變換第十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日2.2控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一、傳遞函數(shù)的定義當(dāng)初始條件為零時，輸出量c(t)的拉氏變換式C(s)與輸入量r(t)的拉氏變換式R(s)的之比。即

二、傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式設(shè)系統(tǒng)的輸入量為r(t)，輸出量為c(t)，則系統(tǒng)微分方程一般形式為第十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日當(dāng)初始條件為零時，對方程兩邊取拉氏變換，有

第十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日

1、直接變換法先建立微分方程，然后在零初始條件下，對微分方程進(jìn)行拉氏變換，即可根據(jù)傳遞函數(shù)的定義求得傳遞函數(shù)。根據(jù)傳遞函數(shù)的定義，得傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式為：三、傳遞函數(shù)的求取方法第十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日解：初始條件為零時，拉氏變換為該電路的傳遞函數(shù)為式中——RC電路的時間常數(shù)。，求此電路的傳遞函數(shù)。例2-3圖2-1所示RC電路的微分方程式為第十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日解：在零初始條件下，對微分方程進(jìn)行拉氏變換，有

s2C(s)+10sC(s)+100C(s)=100R(s)

根據(jù)傳遞函數(shù)的定義，有可見，只要將微分方程中的微分式d(i)/dt(i)換成相應(yīng)的s(i)，即可求得傳遞函數(shù)。求此環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。例2-4已知某環(huán)節(jié)的微分方程為第十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日在電工基礎(chǔ)中，對于電阻、電感、電容，有電阻u=iR拉氏變換式為U(s)=I(s)R電感拉氏變換式為U(s)=LsI(s)電容拉氏變換式為I(s)=CsU(s)由以上討論可見，將電工基礎(chǔ)復(fù)數(shù)阻抗中的jω?fù)Q成s即可。

2、電路復(fù)阻抗法第二十頁，共六十五頁，2022年，8月28日解：例2-5用復(fù)數(shù)阻抗法求RC串聯(lián)電路的傳遞函數(shù)。第二十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日解：根據(jù)電子技術(shù)基礎(chǔ)學(xué)過的知識，有Ii(s)+I(s)=If(s)又因為A點為虛地，即UA≈0，所以I(s)≈0，因此有所以例2-6求圖2-3所示運(yùn)算放大器的傳遞函數(shù)G(s)。第二十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日四、傳遞函數(shù)的性質(zhì)（1）傳遞函數(shù)和微分方程存在一一對應(yīng)關(guān)系，對于一個確定的系統(tǒng)，微分方程是唯一的，其傳遞函數(shù)也是唯一的。（2）傳遞函數(shù)取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入信號的大小、形式無關(guān)。（3）傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)抽象，因此不能反映系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。不同性質(zhì)的物理結(jié)構(gòu)，完全可以有相同的傳遞函數(shù)。（4）傳遞函數(shù)的分母是它所對應(yīng)的系統(tǒng)的微分方程的特征方程式。而特征方程的根反映系統(tǒng)動態(tài)過程的性質(zhì)，所以由系統(tǒng)傳遞函數(shù)可以研究系統(tǒng)的動態(tài)特性。返回第二十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日2.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)比例環(huán)節(jié)：其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下面的代數(shù)方程式來表示

式中——環(huán)節(jié)的放大系數(shù)，為一常數(shù)。傳遞函數(shù)為：比例環(huán)節(jié)第二十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)可以寫成如下表達(dá)式?，F(xiàn)求輸入量為單位躍階函數(shù)時，慣性環(huán)節(jié)輸出量的函數(shù)關(guān)系求拉氏反變換得第二十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為：當(dāng)輸入量為階躍函數(shù)時，則輸出量為：理想微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為：第二十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日比例微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為：振蕩環(huán)節(jié)微分方程為：其傳遞函數(shù)為：自然振蕩角頻率阻尼比第二十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日

當(dāng)輸入量為階躍函數(shù)時，輸出量的拉氏變換為：

當(dāng)時，上式特征方程的根為共軛復(fù)數(shù)輸出量為：第二十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日延遲環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為：微分方程為：返回第二十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日2.4系統(tǒng)的動態(tài)框圖（結(jié)構(gòu)圖）框圖又稱結(jié)構(gòu)圖，是傳遞函數(shù)的一種圖形描述式，可以形象地描述系統(tǒng)各單元之間和各作用量之間的相互關(guān)系，比較直觀。、框圖的組成1、信號線：帶有箭頭的直線，，線上標(biāo)注信號的象函數(shù)名稱，箭頭表示信號的流向。2、比較點：表示對兩個或兩個以上的信號進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，輸入信號處應(yīng)標(biāo)明極性。第三十頁，共六十五頁，2022年，8月28日3、功能框：表示環(huán)節(jié)對信號的變換，框中寫入環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)4、引出點：表示信號從該點取出，從同一信號線上引出的信號，大小和性質(zhì)完全相同功能框比較點引出點第三十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日二、框圖的畫法1、由輸入到輸出，依次列寫系統(tǒng)的全部運(yùn)動方程，并整理成C(s)=G(s)R(s)的形式。2、從輸入開始，由左向右，根據(jù)相互作用的順序，依次畫出各個環(huán)節(jié)，直至所需的輸出量3、由內(nèi)向外，畫出反饋環(huán)節(jié)第三十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日解：直流電動機(jī)的基本工作原理：ua→

ia→

Te→

n根據(jù)得例2.7畫出他勵直流電動機(jī)的框圖。第三十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日第三十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日按照信號傳遞關(guān)系依次連接各環(huán)節(jié)，即可得到直流電動機(jī)的框圖：第三十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日例2-8畫出圖2-6所示系統(tǒng)的系統(tǒng)框圖。第三十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日返回解：系統(tǒng)由3個運(yùn)算放大器串聯(lián)組成。第三十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日2.5系統(tǒng)框圖的等效變換和化簡任何復(fù)雜的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，各方框之間的基本連接方式只有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接三種。方框結(jié)構(gòu)圖的簡化是通過移動引出點、比較點，交換比較點，進(jìn)行方框運(yùn)算后，將串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接的方框合并。變換前后的變量之間關(guān)系保持不變等效變換的原則第三十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日1、串聯(lián)等效一、典型連接的等效傳遞函數(shù)2、并聯(lián)等效第三十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日3、反饋等效第四十頁，共六十五頁，2022年，8月28日1、相加點從單元的輸入端移到輸出端，如圖2-5圖2-5相加點后移變位運(yùn)算二、相加點及分支點的換位運(yùn)算原則：移動前后保持信號的等效性第四十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日圖2-6相加點前移變位運(yùn)算2、相加點從單元的輸出端移到輸入端，如圖2-6所示第四十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日3、分支點從單元的輸入端移到輸出端，如圖2-7所示圖2-7分支點后移的變位運(yùn)算第四十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日4、分支點從單元的輸出端移到輸入端，如圖2-8所示圖2-8分支點前移的變位運(yùn)算第四十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日5、非單位反饋的等效變換第四十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日例2-9化簡下圖所示的多回環(huán)系統(tǒng)第四十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日第四十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日返回第四十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日2.6系統(tǒng)傳遞函數(shù)的求取一、系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)1、開環(huán)傳遞函數(shù)：2、前向通道傳遞函數(shù)：反饋引入點斷開時，輸入端對應(yīng)比較器輸出E(s)到輸入端對應(yīng)的比較器的反饋信號B(s)之間所有傳遞函數(shù)的乘積，記為Go(s),Go(s)=G(s)H(s)輸入端對應(yīng)比較器輸出E(s)到輸出端輸出C(s)所有傳遞函數(shù)的乘積，記為G(s)

第四十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日3、反饋通道傳遞函數(shù)：輸出C(s)到輸入端比較器的反饋信號B(s)之間的所有傳遞函數(shù)之乘積，記為H(s)第五十頁，共六十五頁，2022年，8月28日二、系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)在初始條件為零時，系統(tǒng)的輸出量與輸入量的拉氏變換之比稱為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。閉環(huán)傳遞函數(shù)是分析系統(tǒng)動態(tài)性能的主要的數(shù)學(xué)模型。例2-10試簡化圖示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)第五十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日三、系統(tǒng)對給定作用和擾動作用的閉環(huán)傳遞函數(shù)圖2-11所示系統(tǒng)中有兩個輸入量——給定作用量和擾動作用量，同時作用于系統(tǒng)。對于線性系統(tǒng)來說，可以對每一個輸入量分別求出輸出量，然后再進(jìn)行疊加，就得到系統(tǒng)的輸出量2-11Rr(s)和D(s)同時作用于系統(tǒng)第五十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日1、只有給定作用時的閉環(huán)傳遞函數(shù)和輸出量為：第五十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日因此當(dāng)兩個輸入量同時作用于系統(tǒng)時，則輸出量為：2、只有擾動作用時的閉環(huán)傳遞函數(shù)和輸出量為：第五十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日四、系統(tǒng)對給定作用和擾動作用的誤差傳遞函數(shù)誤差的定義：單回環(huán)系統(tǒng)中，給定輸入r(t)與反饋信號

b(t)的差值，以e(t)表示，即

e(t)=r(t)-b(t)

或E(s)=R(s)-B(s)當(dāng)只有給定信號R(s)作用下的誤差傳遞函數(shù)和系統(tǒng)誤差R(s)作用時，可認(rèn)為D(s)=0，所以有第五十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日當(dāng)只有擾動信號D(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)和系統(tǒng)輸出D(s)作用時，可認(rèn)為R(s)=0，所以有第五十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日五、梅遜增益公式從輸入端到輸出端的前向通路總數(shù)Δ的余子式，即在Δ中，除去與第k條前向通道相接觸的所有回路的L項主特征式從輸入端到輸出端第k條前向通路的總增益（或傳遞函數(shù)之積）閉環(huán)傳遞函數(shù)（或總增益）第五十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日所有單獨(dú)回路之和兩、兩不接觸回路增益的乘積之和三、三不接觸回路增益的乘積之和系統(tǒng)的主特征式第五十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日例2-11求如圖2-11所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。第五十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日解：（1）該系統(tǒng)只有一條通道，即n=1，所以P1=G1G2G3G4G5G6。

(2)該系統(tǒng)有4個負(fù)反饋回路，

L1=-G1G2G3G4G5G6H1L2=-G2G3H2

L3=-G4G5H3L4=-G3G4H4

并且只有兩個回路互不接觸，即

L2L3=(-G2G3H2)(-G4G5H3)=G