第4章 物體的彈性

第4章

物體的彈性正應(yīng)力與正應(yīng)變4.1切應(yīng)力與切應(yīng)變4.24.1正應(yīng)力與正應(yīng)變4.1.1正應(yīng)力

組成物體的微觀粒子之間在力的作用下，其相對(duì)位置會(huì)發(fā)生改變，即物體發(fā)生了形變，分子之間的作用力稱為內(nèi)力。

力學(xué)上稱垂直與任一截面的拉伸內(nèi)力為張力，而垂直與任一截面的相互擠壓的內(nèi)力為壓力。

如圖4-1所示，設(shè)勻質(zhì)圓棒兩端受到相等的拉力作用，并假定拉力均勻地分布在兩個(gè)端面上，棒在拉力作用下有所伸長(zhǎng)。

設(shè)在棒的某處一個(gè)橫斷面將棒分為m、n兩段，n段保持平衡，則它在橫斷面處受到m段的拉力Fm滿足圖4-1垂直于任一截面的拉伸內(nèi)力 Fm就是橫斷面上的張力。同樣m段也會(huì)受到n段所施加的張力，它們互為作用力與反作用力。

如果上述圓棒的材料是勻質(zhì)的，所受的張力應(yīng)該均勻分布在橫截面上，這個(gè)張力與橫截面面積S之比稱為該橫截面上的正應(yīng)力。用表示為

如果物體受力不均勻或者內(nèi)部材料不均勻，可以取微小的面元，其面積為dS，設(shè)這個(gè)面元上的張力為dF，則該面元上的正應(yīng)力為

正應(yīng)力分為張應(yīng)力（

0）與壓應(yīng)力（

0）兩種。正應(yīng)力的單位是Pa(帕斯卡)。4.1.2線應(yīng)變

當(dāng)物體受到外力時(shí)，其長(zhǎng)度會(huì)發(fā)生改變。設(shè)一根直棒在不受外力作用時(shí)為長(zhǎng)度l0，兩端受到拉力時(shí)會(huì)伸長(zhǎng)，受到壓力時(shí)會(huì)縮短，其長(zhǎng)度的增量用l表示，伸長(zhǎng)時(shí)l為正，縮短時(shí)l為負(fù)。

如果該物體各部分的長(zhǎng)度變化是均勻的，則

稱為線應(yīng)變。用表示4.1.3正應(yīng)力與線應(yīng)變的關(guān)系1．低碳鋼正應(yīng)力與線應(yīng)變的關(guān)系

低碳鋼是工程技術(shù)中常用材料，其應(yīng)力與應(yīng)變曲線如圖4-2所示。

圖中橫坐標(biāo)表示線應(yīng)變，縱坐標(biāo)表示正應(yīng)力。

從圖中可將拉伸分為彈性、屈服、硬化和頸縮四個(gè)階段。圖4-2應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系曲線2．骨的正應(yīng)力和正應(yīng)變的關(guān)系

骨作為一種彈性材料，在正比極限范圍內(nèi)，它的正應(yīng)力和正應(yīng)變成正比關(guān)系，如圖4-3所示。

圖中3條曲線分別表示濕潤(rùn)而致密的成人橈骨、腓骨和肱骨的正應(yīng)力與線應(yīng)變的關(guān)系。

在應(yīng)變小于0.5%的條件下，這3種四肢骨的應(yīng)力—應(yīng)變曲線皆為直線，成正比關(guān)系。圖4-3濕潤(rùn)的成人四肢骨應(yīng)力—應(yīng)變曲線3．主動(dòng)脈彈性組織正應(yīng)力與線應(yīng)變關(guān)系

主動(dòng)脈彈性組織正應(yīng)力與線應(yīng)變關(guān)系并不服從胡可定律，曲線沒有直線部分。

如圖4-4所示，主動(dòng)脈彈性組織的彈性極限十分接近斷裂點(diǎn)，這說(shuō)明只要它沒有被拉斷，在外力消失后都能恢復(fù)原狀。

另外，從圖中可見，應(yīng)變可達(dá)到1.0。這說(shuō)明它可以伸長(zhǎng)到原有長(zhǎng)度的兩倍。這一點(diǎn)和橡膠是類似的。圖4-4主動(dòng)脈彈性組織的正應(yīng)力—線應(yīng)變曲線4.1.4彎曲

彎曲是一種比較復(fù)雜的形變，在此只討論平面彎曲。

所謂平面彎曲是指物體具有一個(gè)縱向的對(duì)稱面，所有外力的合力都集中在這個(gè)對(duì)稱面里。

也就是說(shuō)，物體除了受到自身的重力和支持力以外，往往受到其他物體的橫向壓力或拉力作用，而這些力是集中作用在這個(gè)對(duì)稱面上的。因此，可以用這個(gè)對(duì)稱面來(lái)代替整個(gè)物體。圖4-6平面彎曲現(xiàn)象4.2切應(yīng)力與切應(yīng)變4.2.1切應(yīng)力

當(dāng)物體兩端同時(shí)受到反向平行的拉力F作用時(shí)會(huì)發(fā)生形變，如圖4-7所示。

發(fā)生錯(cuò)位的這些平面稱為剪切面，平行于這個(gè)平面的外力稱為剪切力。

任一剪切面兩邊材料之間存在相互作用并且大小相等的切向內(nèi)力。

把通過(guò)某個(gè)截面的切向內(nèi)力與該截面的面積之比稱為切應(yīng)力，用

表示。即：

當(dāng)內(nèi)力在上下底面上分布不均勻時(shí)，可以在截面上取微小的面元，其面積為dS，設(shè)這個(gè)面元上的切向內(nèi)力為dF，則該面元上的切應(yīng)力為：

上式中：S為圖4-7中長(zhǎng)方體上面或下底的面積。4.2.2切應(yīng)變

彈性體在平行于某個(gè)截面的一對(duì)方向相反的平行力作用下，其內(nèi)部與該截面平行的平面發(fā)生錯(cuò)位，使原來(lái)與這些截面正交的線段變得不再正交，這樣的形變稱為切應(yīng)變。圖4-7切應(yīng)變4.2.3切應(yīng)力與切應(yīng)變的關(guān)系

實(shí)驗(yàn)證明，在一定的限度內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，這種正比關(guān)系稱為切變的胡可定律。

即：

G

G

4.2.4扭轉(zhuǎn)

扭轉(zhuǎn)狀態(tài)人們都有所體會(huì)，如使用過(guò)螺絲刀、螺絲等。

若使圓柱體兩端分別受到對(duì)中心軸的力矩，且方向相反，則圓柱體便會(huì)發(fā)生扭轉(zhuǎn)現(xiàn)象。

扭轉(zhuǎn)是一種比較復(fù)雜的形變，本節(jié)討論圓桿的扭轉(zhuǎn)。

如圖4-8所示，將結(jié)構(gòu)均勻的圓桿下端固定，對(duì)中心軸的力矩作用其上端，使桿的各個(gè)橫截面發(fā)生一定的角位移，母線AA發(fā)生傾斜變?yōu)锳A。圖4-8圓柱體的扭轉(zhuǎn)現(xiàn)象

人體骨骼的抗扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度最小，因而過(guò)大的扭轉(zhuǎn)很容易造成扭轉(zhuǎn)性骨折。

表4-3所示為有關(guān)人體的四肢骨的斷裂力矩和相應(yīng)的扭轉(zhuǎn)角度。4.3體應(yīng)力與體應(yīng)變4.3.1體應(yīng)力

物體在外力作用下發(fā)生體積變化時(shí)，如果物體是各向同性的，則其內(nèi)部各個(gè)方向的截面積上都有同樣大小的壓應(yīng)力，或者說(shuō)具有同樣的壓強(qiáng)。因此，體應(yīng)力可以用壓強(qiáng)來(lái)表示。4.3.2體應(yīng)變

物體各部分在各個(gè)方向上受到同等壓強(qiáng)時(shí)體積發(fā)生變化而形狀不變，則體積變化V與原體積V0之比稱為體應(yīng)變，以

表示。即：4.3.3體應(yīng)力與體應(yīng)變的關(guān)系

在體積形變中，壓強(qiáng)與體應(yīng)變的比值稱為體變模量，用K表示。4.4生物材料的黏彈性

生物材料包括天然生物材料和人工合成生物材料，天然生物材料即活體器官、組織、部件及體液等，人工合成生物材料是用化學(xué)合成方法制成的人造生物材料，它能用于與人體活組織或生物流體直接相接觸的部位，具有天然器官組織或部件的功能，如人工血管、心臟、關(guān)節(jié)、血液代用品等。

研究生物材料的力學(xué)性質(zhì)，對(duì)判斷人體器官組織的疾病及研究制作人工器官組織等生物材料都有重要意義。4.4.1生物材料的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

生物材料多數(shù)是高分子聚合物。其分子間可以形成多種不同的三維結(jié)構(gòu)，大致可分為3類。（1）分子不交聯(lián)的無(wú)定形聚合態(tài)。（2）分子交聯(lián)的無(wú)定形聚合態(tài)。（3）分子交聯(lián)成定型的結(jié)構(gòu)。4.4.2生物材料的黏彈性

彈性體的特點(diǎn)是其內(nèi)部任一點(diǎn)、任一時(shí)刻的應(yīng)力完全取決于當(dāng)時(shí)當(dāng)?shù)氐膽?yīng)變，與應(yīng)變的歷史過(guò)程無(wú)關(guān)