作差法與作商法比較大小

作差法與作商法比較大小第一頁，共26頁。[讀教材·填要點]比較法證明不等式可分為作差比較法和作商比較法兩種a－b>0a－b<0第二頁，共26頁。[小問題·大思維]1．作差比較法的主要適用類型是什么？實質是什么？提示：作差比較法尤其適用于具有多項式結構特征的不等式的證明．實質是把兩個數(shù)或式子的大小判斷問題轉化為一個數(shù)(或式子)與0的大小關系.2．作商比較法主要適用類型是什么？實質是什么？提示：作商比較法主要適用于積、商、冪、對數(shù)、根式形式的不等式證明．實質是把兩個數(shù)或式子的大小判斷問題轉化為一個數(shù)(或式子)與1的大小關系．第三頁，共26頁。[悟一法](1)作差比較法中，變形具有承上啟下的作用，變形的目的在于判斷差的符號，而不用考慮差能否化簡或值是多少．

(2)變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運用一切有效的恒等變形的方法．

(3)因式分解是常用的變形手段，為了便于判斷“差式”的符號，常將“差式”變形為一個常數(shù)，或幾個因式積的形式，當所得的“差式”是某字母的二次三項式時，常用判別式法判斷符號．有時會遇到結果符號不能確定，這時候要對差式進行分類討論．第四頁，共26頁。[研一題][例1]求證：(1)a2＋b2≥2(a－b－1)；(2)若a>b>c，則bc2＋ca2＋ab2<b2c＋c2a＋a2b.[精講詳析]

本題考查作差比較法的應用．解答本題的步驟為作差→因式分解→判斷符號→得出結論．(1)a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)．第五頁，共26頁。(2)bc2＋ca2＋ab2－(b2c＋c2a＋a2b)＝(bc2－c2a)＋(ca2－b2c)＋(ab2－a2b)＝c2(b－a)＋c(a－b)(a＋b)＋ab(b－a)＝(b－a)(c2－ac－bc＋ab)＝(b－a)(c－a)(c－b)，∵a>b>c，∴b－a<0，c－a<0，c－b<0.∴(b－a)(c－a)(c－b)<0.∴bc2＋ca2＋ab2<b2c＋c2a＋a2b.第六頁，共26頁。第七頁，共26頁。第八頁，共26頁。第九頁，共26頁。第十頁，共26頁。第十一頁，共26頁。[通一類]第十二頁，共26頁。例1證明:上面的證明方法稱比差法.其步驟是:作差--變形--判斷--結論

三、例題講解

第十三頁，共26頁。例3證明:三、例題講解

用作差比較法證明不等式的步驟為：作差—變形—定號.常用的變形方法有：配方法，通分法，因式分解法，有時把差變形為常數(shù)或變形為常數(shù)與幾個數(shù)的平方和的形式或變形為幾個因式積的形式.變形到可判斷符號為止.第十四頁，共26頁。作商法第十五頁，共26頁。[悟一法]第十六頁，共26頁。2、比較代數(shù)式的大小例：試比較6x2+3x+5與5x2+3x+2的大小

∴2x2+3x+5–(5x2+3x+2)>0∴2x2+3x+5>5x2+3x+2=6x2+3x+5–5x2-3x-2=x2+3解：6x2+3x+5–(5x2+3x+2)把整體看著實數(shù)軸上的一個a把整體看著實數(shù)軸上的一個b作差整理變形定號下結論第十七頁，共26頁。第十八頁，共26頁。第十九頁，共26頁。第二十頁，共26頁。第二十一頁，共26頁。第二十二頁，共26頁。[研一題][例2]已知a＞2，求證：lo